查看“卢卡斯数列”的源代码

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{{distinguish|卢卡斯数}}

'''卢卡斯数列'''是[[斐波那契数]]和[[卢卡斯数]]的推广，以法国数学家[[爱德华·卢卡斯]]命名。

==递推关系==                   

给定两个整数''P''和''Q''，满足：

:<math>P^2 - 4Q \neq 0</math>

则第一类卢卡斯数列''U''<sub>''n''</sub>(''P'',''Q'')和第二类卢卡斯数列''V''<sub>''n''</sub>(''P'',''Q'')由以下[[递推关系]]定义：

:<math>U_0(P,Q)=0 \,</math>

:<math>U_1(P,Q)=1 \,</math>

:<math>U_n(P,Q)=P\cdot U_{n-1}(P,Q)-Q\cdot U_{n-2}(P,Q) \,\, , \, n>1 \,</math>

以及

:<math>V_0(P,Q)=2 \,</math>

:<math>V_1(P,Q)=P \,</math>

:<math>V_n(P,Q)=P\cdot V_{n-1}(P,Q)-Q\cdot V_{n-2}(P,Q) \,\, , \, n>1 \,</math>

==代数关系==

卢卡斯数列的[[特征方程]]是：
:<math>x^2 - Px + Q=0 \,</math>

它的[[判别式]]是<math>D=P^2 - 4Q</math>，它的根是：
:<math>a = \frac{P+\sqrt{D}}2\quad , \quad b = \frac{P-\sqrt{D}}2. \,</math>
注意''a''和''b''是不同的，因为<math>D\ne 0.</math>

卢卡斯数列的项可以用''a''和''b''的项定义如下：

:<math>U_n(P,Q)= \frac{a^n-b^n}{a-b} = \frac{a^n-b^n}{ \sqrt{D}}</math>

:<math>V_n(P,Q)=a^n+b^n \,</math>

从中我们可以推出以下关系：

:<math>a^n = \frac{V_n + U_n \sqrt{D}}{2}</math>

:<math>b^n = \frac{V_n - U_n \sqrt{D}}{2}</math>

==其他关系==

不少斐波那契数和卢卡斯数所满足的关系，在卢卡斯数列中也有类似的形式。例如：

{|class="wikitable" style="background: #fff"

!一般!!P=1, Q=-1
|-
|<math>U_n = \frac{V_{n+1} - Q V_{n-1}}{P^2-4Q}</math>||<math>U_n = \frac{V_{n+1} + V_{n-1}}{5}</math>
|-
|<math>V_n = U_{n+1} - Q U_{n-1}</math>||<math>V_n = U_{n+1} + U_{n-1}</math>
|-
|<math>U_{2n} = U_n V_n</math>||<math>U_{2n} = U_n V_n</math>
|-
|<math>V_{2n} = V_n^2 - 2Q^n</math>||<math>V_{2n} = V_n^2 - 2(-1)^n</math>
|-
|<math>U_{n+m} = U_n U_{m+1} - Q U_m U_{n-1}</math>||<math>U_{n+m} = U_n U_{m+1} + U_m U_{n-1}</math>
|-
|<math>V_{n+m} = V_n V_m - Q^m V_{n-m} \,</math>||<math>V_{n+m} = V_n V_m - (-1)^m V_{n-m} \,</math>
|}

==特殊名称==

对于某些''P''和''Q''的值，卢卡斯数列有特殊名称：

:''U<sub>n</sub>''(1,&minus;1)：[[斐波那契数]]

:''V<sub>n</sub>''(1,&minus;1)：[[卢卡斯数]]

:''U<sub>n</sub>''(2,&minus;1)：[[佩尔数]]

:''U<sub>n</sub>''(1,&minus;2)：[[Jacobsthal数]]

==应用==
* [[LUC (密码学)|LUC]]是一个基于卢卡斯数列的[[密码系统]]。

==参考文献==
*{{cite book | first=Paulo | last=Ribenboim | authorlink=Paulo Ribenboim | coauthors= | year=2000 | title=My Numbers, My Friends: Popular Lectures on Number Theory | edition= | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=New York | id=0-387-98911-0 }}
*{{cite book | title=Proofs that Really Count | author=Arthur T. Benjamin | coauthors=Jennifer J. Quinn | publisher=[[Mathematical Association of America]] | year=2003 | isbn=0883853337 | pages=35 }}
* Hrant Arakelian. ''Mathematics and History of the Golden Section'', Logos 2014, 404 p. ISBN 978-5-98704-663-0 (rus.).

[[Category:整数数列|L]]