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在[[计算机视觉]]中，'''卢卡斯-卡纳德方法'''是一种广泛使用的[[光流]]估计的差分方法，这个方法是由[[Bruce D. Lucas]]和[[Takeo Kanade]]发明的。它假设光流在像素点的邻域是一个常数，然后使用[[最小平方法]]对邻域中的所有像素点求解基本的光流方程。<ref name=LKproc>
  B. D. Lucas and T. Kanade (1981), ''[http://www-cse.ucsd.edu/classes/sp02/cse252/lucaskanade81.pdf An iterative image registration technique with an application to stereo vision.]'' Proceedings of Imaging Understanding Workshop, pages 121--130
</ref>
<ref name=Lthesis>
  Bruce D. Lucas (1984) ''[http://www.ri.cmu.edu/pubs/pub_5610.html Generalized Image Matching by the Method of Differences] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20070611072842/http://www.ri.cmu.edu/pubs/pub_5610.html |date=2007-06-11 }}'' (doctoral dissertation)
</ref>

通过结合几个邻近像素点的信息，卢卡斯-卡纳德方法(简称为''L-K方法'')通常能够消除光流方程里的多义性。而且，与逐点计算的方法相比，L-K方法对图像噪声不敏感。不过，由于这是一种局部方法，所以在图像的均匀区域内部，L-K方法无法提供光流信息。

== 基本原理 ==
L-K方法假设两个相邻帧的图像内容位移很小，且位移在所研究点''p''的邻域内为大致为常数。所以，可以假设[[光流法|光流方程]] 在以''p''点为中心的窗口内对所有的像素都成立。也就是说，局部图像流（速度）向量<math>(V_x,V_y)</math>须满足：

:<math>I_x(q_1) V_x + I_y (q_1) V_y = -I_t(q_1)</math>

:<math>I_x(q_2) V_x + I_y (q_2) V_y = -I_t(q_2)</math>

:<math>\vdots</math>

:<math>I_x(q_n) V_x + I_y (q_n) V_y = -I_t(q_n)</math>

其中，<math>q_1,q_2,\dots,q_n</math> 是窗口中的像素，<math>I_x(q_i),I_y(q_i),I_t(q_i)</math>是图像在点<math>q_i</math>和当前时间对位置''x''，''y''和时间''t''的偏导。

这些等式可以写成[[矩阵]]的形式<math>A v = b</math>，此处
:<math>A = \begin{bmatrix}
I_x(q_1) & I_y(q_1) \\[10pt]
I_x(q_2) & I_y(q_2) \\[10pt]
\vdots  & \vdots  \\[10pt]
I_x(q_n) & I_y(q_n) 
\end{bmatrix},
\quad\quad
v = 
\begin{bmatrix}
V_x\\[10pt]
V_y
\end{bmatrix},
\quad \mbox{and}\quad
b = 
\begin{bmatrix}
-I_t(q_1) \\[10pt]
-I_t(q_2) \\[10pt]
\vdots  \\[10pt]
-I_t(q_n)
\end{bmatrix} 
</math>

此方程组的等式个数多于未知数个数，所以它通常是[[线性方程组|over-determined]]的。L-K方法使用[[最小平方法]]获得一个近似解，即计算一个2x2的方程组：
:<math>A^T A v=A^T b</math> 或
:<math>	\mathrm{v}=(A^T A)^{-1}A^T b</math>
其中，<math>A^T</math>是矩阵<math>A</math>的[[转置矩阵|转置]]。即计算：

:<math>\begin{bmatrix}
V_x\\[10pt]
V_y
\end{bmatrix} 
=
\begin{bmatrix}
\sum_i I_x(q_i)^2      & \sum_i I_x(q_i)I_y(q_i) \\[10pt]
\sum_i I_y(q_i)I_x(q_i) & \sum_i I_y(q_i)^2 
\end{bmatrix}^{-1}
\begin{bmatrix}
-\sum_i I_x(q_i)I_t(q_i) \\[10pt]
-\sum_i I_y(q_i)I_t(q_i)
\end{bmatrix}
</math>
对''i''=1 到 ''n''求和。

矩阵<math>A^T A</math>通常被称作图像在点''p''的 [[结构张量]]。

[[Category:计算机视觉]]

== 参考文献 ==
<references />

==外部链接==
* [http://www.cs.cmu.edu/~kangli/code/Image_Stabilizer.html The image stabilizer plugin for ImageJ] based on the Lucas–Kanade method
* [http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/24677 Mathworks Lucas-Kanade] Matlab implementation of inverse and normal [[affine]] Lucas-Kanade
* [https://web.archive.org/web/20091014150930/http://www.onera.fr/dtim-en/gpu-for-image/folkigpu.php FolkiGPU :] GPU implementation of an iterative Lucas-Kanade based optical flow
* [http://www.success-ware.com/150842/Lucas-Kanade-Detection-for-the-iPhone Lucas-Kanade for the iPhone]{{dead link|date=2018年5月 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }} by Success Labs. A modified and enhanced port of the OpenCV lkdemo sample application to the iPhone.
* [http://www.ces.clemson.edu/~stb/klt/ KLT]: An Implementation of the Kanade–Lucas–Tomasi Feature Tracker 
* [http://www.ri.cmu.edu/people/kanade_takeo.html Takeo Kanade]