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{{Veil|time=2015-09-12T07:11:17+00:00}}
'''卢津（{{lang|ru|Лузин}}）定理'''是[[实分析]]的定理。約略來說，這定理指[[可測函數]]差不多是[[連續函數]]。

==定理敘述==
===一維形式===
設<math>f:[a,b]\to\mathbb C</math>是[[可測函數]]，對任何<math>\epsilon>0</math>，都存在[[緊緻集]]<math>E\subset[a,b]</math>，使得<math>\lambda([a,b]\setminus E)<\epsilon</math>，而且''f''限制到''E''上是連續函數。此處<math>\lambda</math>是[[勒貝格測度]]。

===證明===
因為''f''可測，所以在一個測度任意小的開集以外，''f''是[[有界函數]]。在開集上重定義''f''為0，那麼''f''在[''a'',''b'']上有界，因而是[[可積函數]]。因為連續函數在可積函數的空間<math>\mathrm L^1([a,b])</math>中[[稠密]]，存在連續函數序列<math>g_i</math>依[[Lp空間|L<sup>1</sup>範數]]收斂至''f''，即<math>\int_a^b\left|g_i-f\right|\to 0</math>。故此有子序列<math>g_{i_k}</math>[[幾乎處處]]收斂至''f''。從[[葉戈羅夫定理]]可知，除了一個測度任意小的開集外，<math>g_{i_k}</math>[[一致收斂]]至''f''。因為連續函數的一致收斂極限仍是連續的，故此''f''在此開集外連續。取''E''為以上兩個開集的[[並集]]在[''a'',''b'']中的[[補集]]，那麼原本的''f''在''E''上連續。

===多維形式===
設<math>\mu</math>是<math>\mathbb{R}^n </math>上的正則[[博雷爾測度]]，<math>f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m</math>是<math>\mu</math>[[可測函數]]。''X''是<math>\mathbb{R}^n </math>中的<math>\mu</math>[[可測集]]，而且<math>\mu(X) < \infty</math>，那麼對任意<math>\epsilon>0</math>，''X''中存在[[緊緻集]]''K''，使得<math>\mu(X\backslash K) < \epsilon</math>，而且''f''限制到''K''上是[[連續函數]]。

{{HideH|證明}}
首先，對每個正整數''i''，構造緊緻集<math>K_i</math>和在其上的連續函數<math>g_i</math>，使得
::<math>\mu(X\setminus K_i)<\epsilon/2^i</math>
且在<math>K_i</math>上有
::<math>\left|f(x)-g_i(x)\right| < 1/i</math>

構造方法如下：

將<math>\mathbb R^m</math>分成[[不交集|兩兩不交]]的[[博雷爾集]]<math>(Y_{ij})_{j=1}^\infty</math>，使得每個集的[[直徑]]都小於1/''i''。函數''f''可測，所以每個集的[[原像]]<math>f^{-1}(Y_{ij})</math>是可測集。令<math>X_{ij}=X\cap f^{-1}(Y_{ij})</math>，則<math>X_{ij}</math>將''X''分成兩兩不交的可測集。

由於<math>\mu</math>是博雷爾正則測度，且<math>\mu(X)<\infty</math>，於是<math>\mu</math>限制到''X''上是[[拉東測度]]。由拉東測度的[[內正則測度|內正則性]]，在<math>X_{ij}</math>中存在緊緻子集<math>K_{ij}</math>，使得
::<math>\mu(X_{ij}\setminus K_{ij})<\epsilon/2^{i+j}</math>
所以全部子集<math>X_{ij}\setminus K_{ij}</math>的[[不交並]]集的測度
::<math>\mu(X\setminus\bigcap_{j=1}^\infty K_{ij}) <\epsilon/2^i</math>

因為<math>\mu(X\setminus\bigcap_{j=1}^\infty K_{ij}) =\lim_{n\to\infty}\mu(X\setminus\bigcap_{j=1}^n K_{ij})</math>，可以取足夠大的''N''使得
::<math>\mu(X\setminus\bigcap_{j=1}^N K_{ij}) <\epsilon/2^i</math>

令<math>K_i=\bigcap_{j=1}^N K_{ij}</math>。有限個緊緻集的並集是緊緻集，所以<math>K_i</math>緊緻。因此<math>K_i</math>滿足要求。

對''j''=1,..., ''N''，在<math>Y_{ij}</math>中任取一點<math>y_{ij}</math>，並在<math>K_{ij}</math>上定義<math>g_i(x)=y_{ij}</math>。

因為在<math>K_{ij}</math>上，''f''的值包含在<math>Y_{ij}</math>中，故此''f''和<math>g_i</math>相差小於1/''i''。而<math>K_{ij}</math>是兩兩不交的緊緻集，故兩兩間的距離都是正數，所以<math>g_i</math>在<math>K_i</math>上是連續函數。因此<math>g_i</math>滿足要求。

取<math>K=\bigcap_{i=1}^\infty K_i</math>，''K''是緊緻集，並有
::<math>\mu(X\setminus K)\leq \sum_{i=1}^\infty\mu(X\setminus K_i)<\epsilon</math>
函數列<math>g_i</math>在''K''上[[一致收斂]]到''f''。一致收斂保持函數的連續性，所以''f''在''K''上連續。
{{HideF}}

==參考==
*Evans, Lawrence C.; Gariepy, Ronald F. (1992). ''Measure theory and fine properties of functions''. CRC Press. 


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