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在[[随机过程]]， [[混沌理论]]和[[時間序列|时间序列分析]]中， '''去趋势波动分析'''（英文：Detrended Fluctuation Analysis, DFA）是一种判断信号的统计[[自相似]]性质的方法。 它可以用于分析类似长记忆过程的时间序列（以发散的相关时间为特征，例如幂率衰减的[[自相关函数]]）或[[粉红噪声|1/f噪音]]。

所获得的指数类似于[[赫斯特指数|Hurst指数]]，但去趋势波动分析还可以应用于[[平稳过程|非平稳]]信号，即信号的统计量（例如平均值和方差）或动态是不固定的（随时间变化）。 它与基于谱分析的方法有关，如[[自相关函数]]和[[傅里叶变换]]。

Peng等人于1994年发表论文提出了这种方法，至2013年该论文已获超过2000次引用<ref>{{Cite journal|title=Mosaic organization of DNA nucleotides|url=http://prola.aps.org/pdf/PRE/v49/i2/p1685_1|last=Peng|first=C.K.|journal=Phys. Rev. E|doi=10.1103/physreve.49.1685|year=1994|volume=49|pages=1685–1689|display-authors=etal}}</ref>。这种方法是（一般性）波动分析的拓展，特别用于处理非平稳信号。

==计算方法==
给定一个受约束的[[時間序列|时间序列]]<math>x_t</math>，其长度为<math>N</math>, 其中 <math>t \in \mathbb{N}</math>。首先对其做积分或求和，化为无约束过程<math>X_t</math>:

:<math>X_t=\sum_{i=1}^t (x_i-\langle x\rangle)</math>

其中<math>\langle x\rangle</math>代表时间序列的均值。<math>X_t</math>称为[[累积和]]。这个过程会将[[独立同分布]]的[[白雜訊|白噪声]]变换为[[隨機漫步|随机游走]]。

接下来，将<math>X_t</math>分为不同长度的时间窗口，窗口长度记为<math>n</math>，然后在每个时间窗口内最小化平方误差，得到局部[[最小二乘法|最小二乘]]的拟合直线（局部趋势）。令<math>Y_t</math>代表得到的拟合直线序列。接着计算与趋势的均方根偏差，即'''波动'''，如下：

:<math>F( n ) = \sqrt{\frac{1}{N}\sum_{t = 1}^N \left( X_t - Y_t \right)^2}.</math>

最后，将这个去趋势、波动分析的过程对不同的窗口大小<math>n</math>重复计算，得到<math>F(n)</math>关于<math>n</math>的[[雙對數圖|双对数坐标图]]。<ref>{{cite journal|last=Peng|first=C.K.|title=Quantification of scaling exponents and crossover phenomena in nonstationary heartbeat time series|journal=Chaos|year=1994|volume=49|pages=82–87|doi=10.1063/1.166141|display-authors=etal|pmid=11538314}}</ref><ref>{{cite journal|last1=Bryce|first1=R.M.|last2=Sprague|first2=K.B.|title=Revisiting detrended fluctuation analysis|journal=Sci. Rep.|year=2012|volume=2|page=315|doi=10.1038/srep00315|pmc=3303145|pmid=22419991}}</ref>

== 参考文献 ==
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[[Category:分形]]