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{{NoteTA
|G1 = Math
}}
{{dablink|“外積”重定向至此，關於常稱作'''外積'''的相關二元運算，参见[[外積 (消歧義)]]。}}
{{Linear algebra}}
在[[数学]]和[[向量代数]]领域，'''叉積'''（{{lang-en|Cross product}}）又称'''向量积'''（{{lang-en|Vector product}}），是对[[三维空间]]中的两个[[向量]]的[[二元运算]]，使用符号 <math>\times</math>。与[[点积]]不同，它的运算结果是[[向量]]。对于[[线性无关]]的两个向量 <math>\mathbf{a}</math> 和 <math>\mathbf{b}</math>，它们的叉积写作 <math>\mathbf{a} \times \mathbf{b}</math>，是 <math>\mathbf{a}</math> 和 <math>\mathbf{b}</math> 所在平面的[[法线]]向量，与 <math>\mathbf{a}</math> 和 <math>\mathbf{b}</math> 都[[垂直]]。叉积被广泛运用于数学、[[物理]]、[[工程学]]、[[计算机科学]]领域。

如果两个向量方向相同或相反（即它们非线性无关），亦或任意一个的长度为零，那么它们的叉积为零。推广开来，叉积的[[模长]]和以这两个向量为边的[[平行四边形]]的面积相等；如果两个向量成直角，它们叉积的模长即为两者长度的乘积。

叉积和[[点积]]一样依赖于[[欧几里德空间]]的[[度量空间|度量]]，但与点积之不同的是，叉积还依赖于[[定向_(向量空間)|定向]]或[[右手定則]]。

[[Image:Cross product vector.svg|thumb|right|在右手坐标系中的向量积]]

== 定义 ==
[[File:Right hand rule cross product.svg|thumb|使用[[右手定則]]确定叉积的方向]]
两个向量 <math>\mathbf{a}</math> 和 <math>\mathbf{b}</math> 的叉积仅在[[三维空间]]中有定义，写作 <math>\mathbf{a} \times \mathbf{b}</math>。在[[物理学]]中，叉积有时也被写成<math>\mathbf{a} \wedge \mathbf{b}</math>，但在数学中 <math>\mathbf{a} \wedge \mathbf{b}</math> 是[[外代数]]中的外积。

叉积 <math>\mathbf{a} \times \mathbf{b}</math> 是与 <math>\mathbf{a}</math> 和 <math>\mathbf{b}</math> 都垂直的向量 <math>\mathbf{c}</math>。其方向由[[右手定則]]决定，[[模长]]等于以两个向量为边的[[平行四边形]]的面积。

叉积可以定义为：

:<math>\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \| \mathbf{a}  \| \| \mathbf{b}  \| \sin(\theta) \ \mathbf{n}</math>

其中 <math>\theta</math> 表示 <math>\mathbf{a}</math> 和 <math>\mathbf{b}</math> 在它们所定义的平面上的[[角度|夹角]]（<math>0^\circ \le \theta \le 180^\circ</math>）。<math>\| \mathbf{a} \|</math> 和 <math>\| \mathbf{b} \|</math> 是向量 <math>\mathbf{a}</math> 和 <math>\mathbf{b}</math> 的[[模长]]，而 <math>\mathbf{n}</math> 则是一个与 <math>\mathbf{a}</math>、<math>\mathbf{b}</math> 所构成的平面[[垂直]]的[[单位向量]]，方向由[[右手定則]]决定。根据上述公式，当 <math>\mathbf{a}</math> 与 <math>\mathbf{b}</math> 平行（即 <math>\theta</math> 为 0° 或 180°）时，它们的叉积为[[零向量]] <math>\mathbf{0}</math>。

[[File:Cross product.gif|thumb|叉积{{nowrap|'''a''' × '''b'''}}（垂直方向、紫色）随着向量 '''a'''（蓝色）和 '''b'''（红色）的夹角变化。 叉积垂直于两个向量，模长在两者平行时为零、在两者垂直时达到最大值‖'''a'''‖‖'''b'''‖。]]

按照惯例，向量 <math>\mathbf{n}</math> 的方向由[[右手定則]]决定：将右手[[食指]]指向 <math>\mathbf{a}</math> 的方向、[[中指]]指向 <math>\mathbf{b}</math> 的方向，则此时[[拇指]]的方向即为 <math>\mathbf{n}</math> 的方向。使用这一定则意味着叉积满足[[反交换律]]，<math>\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -(\mathbf{b} \times \mathbf{a})</math>：将右手食指指向 <math>\mathbf{b}</math>、中指指向 <math>\mathbf{a}</math>，那么拇指就必定指向相反方向，即翻转了叉积的符号。

由此可以看出，使用叉积需要考虑坐标系的利手性（{{lang-en|Handedness}}），如果使用的是[[笛卡尔坐标系#三維空間|左手坐标系]]，向量 <math>\mathbf{n}</math> 的方向需要使用[[左手定则]]决定，与右手坐标系中的方向相反。

这样就会带来一个问题：[[参照系]]的变换不应该影响 <math>\mathbf{n}</math> 的方向（例如从右手坐标系到左手坐标系的镜像变换）。因此，两个向量的叉积并不是（真）向量，而是[[伪向量]]。

== 计算 ==

=== 坐标表示 ===

[[File:3D Vector.svg|300px|thumb|right|[[基向量]]（'''i'''、'''j'''、'''k'''，也记作 '''e'''<sub>1</sub>、'''e'''<sub>2</sub>、'''e'''<sub>3</sub>）和[[向量]] '''a''' 的分解（'''a'''<sub>x</sub>、'''a'''<sub>y</sub>、'''a'''<sub>z</sub>，也记作 '''a'''<sub>1</sub>、'''a'''<sub>2</sub>、'''a'''<sub>3</sub>)]]

右手坐标系中，[[基向量]] <math>\mathbf{i}</math>、<math>\mathbf{j}</math>、<math>\mathbf{k}</math> 满足以下等式：
:<math>\begin{align}
 \mathbf{i}\times\mathbf{j} &= \mathbf{k}\\
 \mathbf{j}\times\mathbf{k} &= \mathbf{i}\\
 \mathbf{k}\times\mathbf{i} &= \mathbf{j}
\end{align}</math>

根据[[反交换律]]可以得出：
:<math>\begin{align}
 \mathbf{j\times i} &= -\mathbf{k}\\
 \mathbf{k\times j} &= -\mathbf{i}\\
 \mathbf{i\times k} &= -\mathbf{j}
\end{align}</math>

根据叉积的定义可以得出：
:<math>\mathbf{i}\times\mathbf{i} = \mathbf{j}\times\mathbf{j} = \mathbf{k}\times\mathbf{k} = \mathbf{0}</math>（[[零向量]]）。

根据以上等式，结合叉积的[[分配律]]和[[线性关系]]，就可以确定任意向量的叉积。

向量 <math>\mathbf{u}</math> 和 <math>\mathbf{v}</math> 可以定义为平行于[[基向量]]的三个正交元素之和：
:<math>\begin{align}
  \mathbf{u} &= u_1\mathbf{i} + u_2\mathbf{j} + u_3\mathbf{k} \\
  \mathbf{v} &= v_1\mathbf{i} + v_2\mathbf{j} + v_3\mathbf{k}
\end{align}</math>

两者的叉积 <math>\mathbf{u} \times \mathbf{v}</math> 可以根据[[分配律]]展开：
:<math> \begin{align}
 \mathbf{u}\times\mathbf{v} = {} &(u_1\mathbf{i} + u_2\mathbf{j} + u_3\mathbf{k}) \times (v_1\mathbf{i} + v_2\mathbf{j} + v_3\mathbf{k})\\
                            = {} &u_1v_1(\mathbf{i} \times \mathbf{i}) + u_1v_2(\mathbf{i} \times \mathbf{j}) + u_1v_3(\mathbf{i} \times \mathbf{k}) + {}\\
                                 &u_2v_1(\mathbf{j} \times \mathbf{i}) + u_2v_2(\mathbf{j} \times \mathbf{j}) + u_2v_3(\mathbf{j} \times \mathbf{k}) + {}\\
                                 &u_3v_1(\mathbf{k} \times \mathbf{i}) + u_3v_2(\mathbf{k} \times \mathbf{j}) + u_3v_3(\mathbf{k} \times \mathbf{k})\\
\end{align}</math>

即把 <math>\mathbf{u} \times \mathbf{v}</math> 分解为九个仅涉及 <math>\mathbf{i}</math>、<math>\mathbf{j}</math>、<math>\mathbf{k}</math> 的简单叉积之和。九个叉积各自所涉及的向量，要么相互平行、要么相互正交。将最前面所述的几个等式带入其中，然后合并同类项，可以得到：
:<math>\begin{align}
 \mathbf{u}\times\mathbf{v} = {} &- u_1v_1\mathbf{0} + u_1v_2\mathbf{k} - u_1v_3\mathbf{j} \\
                                 &- u_2v_1\mathbf{k} - u_2v_2\mathbf{0} + u_2v_3\mathbf{i} \\
                                 &+ u_3v_1\mathbf{j} - u_3v_2\mathbf{i} - u_3v_3\mathbf{0} \\
                            = {} &(u_2v_3 - u_3v_2)\mathbf{i} + (u_3v_1 - u_1v_3)\mathbf{j} + (u_1v_2 - u_2v_1)\mathbf{k}\\
\end{align}</math>

即结果向量 <math>\mathbf{s} = s_1\mathbf{i} + s_2\mathbf{j} + s_3\mathbf{k} = \mathbf{u} \times \mathbf{v} </math> 的三个[[标量]]元素为：
:<math>\begin{align}
  s_1 &= u_2v_3-u_3v_2\\
  s_2 &= u_3v_1-u_1v_3\\
  s_3 &= u_1v_2-u_2v_1
\end{align}</math>

也可以记作[[列向量]]的形式：
:<math>\begin{pmatrix}s_1\\s_2\\s_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}u_2v_3-u_3v_2\\u_3v_1-u_1v_3\\u_1v_2-u_2v_1\end{pmatrix}</math>

=== 矩阵表示 ===

[[File:Sarrus rule cross product.svg|thumb|根据[[萨吕法则]]确定 '''u''' 和 '''v''' 的叉积]]

叉积可以表达为这样的[[行列式]]：
:<math>\mathbf{u\times v} = \begin{vmatrix}
  \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\
  u_1&u_2&u_3\\
  v_1&v_2&v_3\\
\end{vmatrix}</math>

这个行列式可以使用[[萨吕法则]]或[[拉普拉斯展开]]计算。使用萨吕法则可以展开为：
:<math>\begin{align}
  \mathbf{u\times v} &=(u_2v_3\mathbf{i}+u_3v_1\mathbf{j}+u_1v_2\mathbf{k}) - (u_3v_2\mathbf{i}+u_1v_3\mathbf{j}+u_2v_1\mathbf{k})\\
                     &=(u_2v_3 - u_3v_2)\mathbf{i} +(u_3v_1 - u_1v_3)\mathbf{j} +(u_1v_2 - u_2v_1)\mathbf{k}
\end{align}</math>

使用拉普拉斯展开可以沿第一行展开为：<ref name=Cullen2>{{cite book |title=''cited work'' |url=https://books.google.com/?id=x7uWk8lxVNYC&pg=PA321 |page=321 |chapter= Equation 7: '''a''' × '''b''' as sum of determinants |isbn=0-7637-4591-X |author1=Dennis G. Zill |author2=Michael R. Cullen |publisher=Jones & Bartlett Learning |year=2006}}</ref>
:<math>\begin{align}
\mathbf{u\times v} &=
  \begin{vmatrix}
    u_2&u_3\\
    v_2&v_3
  \end{vmatrix}\mathbf{i} -
  \begin{vmatrix}
     u_1&u_3\\
     v_1&v_3
  \end{vmatrix}\mathbf{j} +
  \begin{vmatrix}
    u_1&u_2\\
    v_1&v_2
  \end{vmatrix}\mathbf{k} \\

 &=(u_2v_3 - u_3v_2)\mathbf{i} -(u_1v_3 - u_3v_1)\mathbf{j} +(u_1v_2 - u_2v_1)\mathbf{k}
\end{align}</math>
都可以直接得到结果向量。

==性质 ==
===代数性质 ===

對於任意三個向量 <math>\mathbf{a}</math>、<math>\mathbf{b}</math>、<math>\mathbf{c}</math>，
*<math>\mathbf{a} \times \mathbf{a} = \mathbf{0}</math>
*<math>\mathbf{a} \times \mathbf{0} = \mathbf{0}</math>
*<math>\mathbf{a} \times \mathbf{b} = - (\mathbf{b} \times \mathbf{a})</math>（[[反交换律]]）
*<math>\mathbf{a} \times (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \times \mathbf{b} + \mathbf{a} \times \mathbf{c}</math>（加法的左[[分配律]]）
*<math>(\mathbf{a} + \mathbf{b}) \times \mathbf{c} = \mathbf{a} \times \mathbf{c} + \mathbf{b} \times \mathbf{c}</math>（加法的右[[分配律]]）
*<math>(\lambda \mathbf{a}) \times \mathbf{b} = \lambda ( \mathbf{a} \times \mathbf{b}) = \mathbf{a} \times (\lambda \mathbf{b})</math>
*<math>\mathbf{a} \times \mathbf{b} + \mathbf{c} \times \mathbf{d} = (\mathbf{a} - \mathbf{c}) \times (\mathbf{b} - \mathbf{d}) + \mathbf{a} \times \mathbf{d} + \mathbf{c} \times \mathbf{b}</math>
*<math>| \mathbf{a} \times \mathbf{b}| = | \mathbf{b} \times \mathbf{a}| </math>
*<math>| \mathbf{a} \times \mathbf{b}|^2 = |\mathbf{a}|^2 |\mathbf{b}|^2 - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2 = \begin{vmatrix}
\mathbf{a} \cdot  \mathbf{a} & \mathbf{a} \cdot \mathbf{b}  \\
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} & \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} \\
\end{vmatrix}</math>（[[拉格朗日恆等式]]）

一般來說，向量叉積不遵守[[約簡律]]，即 <math>\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{a} \times \mathbf{c}</math> 不表示 <math>\mathbf{b} = \mathbf{c}</math>。此外，<math>\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{0}</math> 不表示 <math>\mathbf{a} = \mathbf{0}</math> 或 <math>\mathbf{b} = \mathbf{0}</math>。

但對於两个非零向量 <math>\mathbf{a}</math> 和 <math>\mathbf{b}</math>，
*<math>\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{0}</math> [[當且僅當]] <math>\mathbf{a}</math> 平行於 <math>\mathbf{b}</math>

=== 几何意义 ===
{{main|三重積}}
[[Image:Cross_product_parallelogram.svg|thumb|right|图1：平行四边形面积即叉积的模长]]
[[File:Parallelepiped volume.svg|right|thumb|240px|图2：三个向量定义平行六面体]]

如果以向量 <math>\mathbf{a}</math> 和 <math>\mathbf{b}</math> 为边构成一个[[平行四边形]]，那么这两个向量叉积的[[模长]]与这个平行四边形的正[[面积]]相等（如图1）：
:<math> \left\| \mathbf{a} \times \mathbf{b} \right\| = \left\| \mathbf{a} \right\| \left\| \mathbf{b} \right\| \sin \theta .</math>

同时，如果以向量 <math>\mathbf{a}</math>、<math>\mathbf{b}</math>、<math>\mathbf{c}</math> 为棱构成一个[[平行六面体]]，那么这个平行六面体的[[体积]] <math>\mathbf{V}</math> 也可以通过叉积和点积的组合得到，这种积称作[[三重积#标量三重积|标量三重积]]（如图2）：
:<math>
  \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c})=
  \mathbf{b}\cdot(\mathbf{c}\times \mathbf{a})=
  \mathbf{c}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b}).
</math>

因为标量三重积可能为负，平行六面体的体积需要取其绝对值：
:<math>V = |\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})|</math>

因为叉积的模长与其参数夹角的正弦有关，可以认为叉积是「垂直度」的度量，正如[[点积]]是「平行度」的度量一样。对于任意两个[[单位向量]]，叉积为1意味着它们互相垂直，叉积为0意味着它们互相平行。点积则相反：点积为0意味着它们互相垂直。

单位向量还能带来两个特性：两个单位向量的点积是它们夹角的余弦（可正可负）；它们叉积的模长则为夹角的正弦（始终为正）。

===向量微分===
對於實數 <math>t</math> 和兩個向量值函數 <math>\mathbf{a}(t)</math>、<math>\mathbf{b}(t)</math>，[[乘積法則]]成立：
*<math>\frac{d}{dt}(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = \frac{d\mathbf{a}}{dt} \times \mathbf{b} + \mathbf{a} \times \frac{d\mathbf{b}}{dt}</math>

== 三維坐標 ==
给定直角坐标系的[[单位向量]]<math>\mathbf{i}</math>，<math>\mathbf{j}</math>，<math>\mathbf{k}</math>满足下列等式：

:<math>\mathbf{i}\times\mathbf{j} =\mathbf{k}</math>、<math>\mathbf{j} \times \mathbf{k} = \mathbf{i}</math>、<math>\mathbf{k} \times \mathbf{i} = \mathbf{j}</math>

通过这些规则，两个向量的叉积的坐标可以方便地计算出来，不需要考虑任何角度：设

:<math>\mathbf{a} = a_1\mathbf{i} + a_2\mathbf{j} + a_3\mathbf{k}</math> 

:<math>\mathbf{b} = b_1\mathbf{i} + b_2\mathbf{j} + b_3\mathbf{k}</math>

则

:<math>\begin{align}
\mathbf{a} \times \mathbf{b}  & = (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i}+(a_3b_1 - a_1b_3)\mathbf{j}+(a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}\\ 
 &=  \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{vmatrix}
\end{align}</math>

叉积也可以用[[四元数]]来表示。注意到上述 <math>\mathbf{i}</math>、<math>\mathbf{j}</math>、<math>\mathbf{k}</math> 之间的叉积满足四元数的乘法。一般而言，若将向量[''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, ''a''<sub>3</sub>]表示成四元数''a''<sub>1</sub>''i'' + ''a''<sub>2</sub>''j'' + ''a''<sub>3</sub>''k''，两个向量的叉积可以这样计算：计算两个四元数的乘积得到一个四元数，并将这个四元数的实部去掉，即为结果。更多关于四元数乘法，向量运算及其几何意义请参见[[四元数与空间旋转]]。

== 高维情形 ==
七维向量的叉积可以通过[[八元数]]得到，与上述的四元数方法相同。

七维叉积具有与三维叉积相似的性质：
* [[双线性算子|双线性性]]：
:<math>\mathbf{x} \times (a\mathbf{y} + b\mathbf{z}) = a\mathbf{x} \times \mathbf{y} + b\mathbf{x} \times \mathbf{z}</math>
:<math>(a\mathbf{y} + b\mathbf{z}) \times \mathbf{x} = a\mathbf{y} \times \mathbf{x} + b\mathbf{z} \times \mathbf{x}</math>

*[[反交换律]]：
:<math>\mathbf{x} \times \mathbf{y} + \mathbf{y} \times \mathbf{x} = \mathbf{0}</math>

*<math>\mathbf{x} \times \mathbf{y}</math> 同时与 <math>\mathbf{x}</math> 和 <math>\mathbf{y}</math> 垂直：
:<math>\mathbf{x} \cdot (\mathbf{x} \times \mathbf{y}) = \mathbf{y} \cdot (\mathbf{x} \times \mathbf{y}) = \mathbf{0}</math>

*[[拉格朗日恒等式]]：
:<math>| \mathbf{x} \times \mathbf{y}|^2 = |\mathbf{x}|^2 |\mathbf{y}|^2 - (\mathbf{x} \cdot \mathbf{y})^2 </math>

*不同于三维情形，它并不满足[[雅可比恒等式]]：
:<math>\mathbf{x}\times (\mathbf{y}\times \mathbf{z}) \; + \mathbf{y}\times (\mathbf{z}\times \mathbf{x}) \; + \mathbf{z}\times (\mathbf{x}\times \mathbf{y}) \ne \mathbf{0}</math>

== 应用 ==
另外，在物理学[[力学]]、[[电磁学]]、[[光学]]和[[计算机图形学]]等理工学科中，叉积应用十分广泛。例如[[力矩]]、[[角动量]]、[[洛伦兹力]]等矢量都可以由向量的叉积求解。在进行这些物理量的计算时，往往可以借助[[右手定则]]辅助判断方向。

==参见==
* [[純量积]]
* [[三重積]]
* [[右手定则]]
* [[外代数]]：叉乘的实质，赝矢量与赝标量

[[Category:向量]]
[[Category:二元運算|C]]
[[Category:双线性算子]]