查看“双伽玛函数”的源代码

[[File:Complex Polygamma 0.jpg|right|thumb|300px|[[复平面]]上的双伽玛函数<math> \psi(s) </math>。点<math> s </math>的颜色与<math> \psi(s) </math>的值有关。强烈的颜色意味着接近于零的值，而色彩则与[[辐角]]有关。]]

'''双伽玛函数'''是[[伽玛函数]]的[[对数导数]]。

:<math>\psi(x) =\frac{d}{dx} \ln{\Gamma(x)}= \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}.</math>

它是第一个[[多伽玛函数]]。

== 与调和数的关系 ==

双伽玛函数，通常用ψ<sub>0</sub>(''x'')、ψ<sup>0</sup>(''x'')或<math>\Digamma</math>来表示，与[[调和数]]有以下的关系：

:<math>\psi(n) = H_{n-1}-\gamma\!</math>

其中''H''<sub>''n''</sub>是第''n''个调和数，γ是[[欧拉-马歇罗尼常数]]。对于半整数的值，它可以表示为：

:<math>\psi\left(n+{\frac{1}{2}}\right) = -\gamma - 2\ln 2 + 
\sum_{k=1}^n \frac{2}{2k-1}</math>

== 积分表示法 ==
它有以下的[[积分]]表示法：

:<math>\psi(x) = \int_0^{\infty}\left(\frac{e^{-t}}{t} - \frac{e^{-xt}}{1 - e^{-t}}\right)\,dt</math>

也可以写为

:<math>\psi(s+1)= -\gamma + \int_0^1 \frac {1-x^s}{1-x} dx</math>

这可以从调和数的欧拉积分公式得出。

== 泰勒级数 ==
双伽玛函数有一个[[有理ζ级数]]，由''z''=1的泰勒级数给出。这是

:<math>\psi(z+1)= -\gamma -\sum_{k=1}^\infty \zeta (k+1)\;(-z)^k</math>,

当|''z''|<1时收敛。在这里，<math>\zeta(n)</math>是[[黎曼ζ函数]]。这个级数可以很容易从[[赫尔维茨ζ函数]]的泰勒级数推导出。

== 牛顿级数 ==
双伽玛函数的[[牛顿级数]]可从欧拉积分公式得出：

:<math>\psi(s+1)=-\gamma-\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{k} {s \choose k}</math>

其中<math>\textstyle{s \choose k}</math>是[[二项式系数]]。

== 反射公式 ==
双伽玛函数满足一个[[反射公式]]，类似于[[伽玛函数]]的反射公式：

:<math>\psi(1 - x) - \psi(x) = \pi\,\!\cot{ \left ( \pi x \right ) }</math>

== 递推关系 ==
双伽玛函数满足以下的[[递推关系]]：

:<math>\psi(x + 1) = \psi(x) + \frac{1}{x}</math>

== 高斯和 ==
双伽玛函数具有以下形式的[[高斯和]]：

:<math>\frac{-1}{\pi k} \sum_{n=1}^k 
\sin \left( \frac{2\pi nm}{k}\right) \psi \left(\frac{n}{k}\right) =
\zeta\left(0,\frac{m}{k}\right) = -B_1 \left(\frac{m}{k}\right) = 
\frac{1}{2} - \frac{m}{k}</math>

其中m是整数，且<math>0<m<k</math>。在这里，ζ(''s'',''q'')是[[赫尔维茨ζ函数]]，<math>B_n(x)</math>是一个[[伯努利多项式]]。[[乘法定理]]的一种特殊情况是：

:<math>\sum_{n=1}^k \psi \left(\frac{n}{k}\right)
 =-k(\gamma+\log k),</math>

一个推广为：

:<math>\sum_{p=0}^{q-1}\psi\left(a+\frac{p}{q}\right)=q[\psi(qa)-\ln(q)],</math>

其中假设了''q''是自然数，而1-''qa''则不是。

== 高斯双伽玛定理 ==
对于正整数<math> m \,</math>和<math> k \,</math> <math> \left(m<k \right)\,</math>，双伽玛函数可以用[[初等函数]]来表示：

:<math>\psi\left(\frac{m}{k}\right) = -\gamma -\ln(2k) 
-\frac{\pi}{2}\cot\left(\frac{m\pi}{k}\right)
+2\sum_{n=1}^{\lfloor \frac{k-1}{2}\rfloor}
\cos\left(\frac{2\pi nm}{k} \right)
\ln \sin\left(\frac{n\pi}{k} \right)
</math>

== 特殊值 ==
双伽玛函数有以下的特殊值：

: <math> \psi(1) = -\gamma\,\!</math>

: <math> \psi\left(\frac{1}{2}\right) = -2\ln{2} - \gamma</math>

: <math> \psi\left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{\pi}{2\sqrt{3}} -\frac{3}{2}\ln{3} - \gamma</math> 

: <math> \psi\left(\frac{1}{4}\right) = -\frac{\pi}{2} - 3\ln2 - \gamma</math>

: <math> \psi\left(\frac{1}{6}\right) = -\frac{\pi}{2}\sqrt{3} -2\ln{2} -\frac{3}{2}\ln3 - \gamma</math>

: <math> \psi\left(\frac{1}{8}\right) = -\frac{\pi}{2} - 4\ln{2} - \frac{\sqrt2}{2} \left[\pi + \ln(3+2\sqrt{2})\right] - \gamma</math>

: <math> \psi\left(\frac{3}{4}\right) = \frac{\pi}{2} - 3\ln{2} - \gamma</math>

== 参见 ==
* [[伽玛函数]]
* [[三伽玛函数]]
* [[多伽玛函数]]

== 参考文献 ==
* Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, ''[[Handbook of Mathematical Functions]]'', (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4 . 参见第[http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_258.htm §6.3]节。
* {{mathworld|urlname=DigammaFunction|title=Digamma function}}

[[Category:伽玛及相关函数]]

[[km:អនុគមន៍ ឌីហ្គាំម៉ា]]