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[[File:HyperboloidProjection.png|thumb|紅色圓孤為[[庞加莱圆盘模型]]上的測地線，投影到綠色双曲面模型上的棕色測地線。]]
在[[幾何學]]中，'''雙曲面模型'''（{{lang|en|hyperboloid model}}），也稱為'''閔可夫斯基模型'''（{{lang|en|Minkowski model}}）或'''洛倫茲模型'''（{{lang|en|Lorentz model}}），分別冠以[[赫爾曼·閔可夫斯基]]與[[亨德里克·洛倫茲]]的名字。是 ''n''-維[[雙曲幾何]]的一個模型，其中點由 (''n''+1)-維[[閔可夫斯基空間]]中雙葉[[雙曲面]]的向前葉 ''S''<sup>+</sup> 中的點表示，而 ''m''-維平面由閔可夫斯基空間中的 (''m''+1)-維平面與 ''S''<sup>+</sup> 的交集表示。雙曲距離函數在這個模型中有一個簡單的表達式。''n''-維雙曲空間的雙曲面模型與[[凱萊-克萊因模型]]密切相關：兩者都是射影模型，它們的[[等距群]]是[[射影群]]的一個子群。
== 闵可夫斯基二次型 == 
{{main|闵可夫斯基空间}}

如果 (''x''<sub>0</sub>, ''x''<sub>1</sub>, &hellip;, ''x''<sub>''n''</sub>) 是 (''n''+1)-维坐标空间 '''R'''<sup>''n''+1</sup> 中一个向量，'''闵可夫斯基[[二次型]]'''定义为

:<math> Q(x_0, x_1, \ldots, x_n) = x_0^2 - x_1^2 - \ldots - x_n^2.</math>

向量 ''v''&isin; '''R'''<sup>''n''+1</sup> 使得 ''Q''(''v'') = 1 构成一个 ''n''-维[[双曲面]] ''S''，由两个[[连通分支]]（或说叶）组成：向前或未来叶  ''S''<sup>+</sup>，其中 ''x''<sub>0</sub>>0 与向后叶或过去叶 ''S''<sup>&minus;</sup>，其中 ''x''<sub>0</sub><0。''n''-维双曲面模型中的点是向前叶 ''S''<sup>+</sup> 上的点。

'''闵可夫斯基[[双线性形式]]''' ''B'' 是闵可夫斯基二次型 ''Q'' 的[[极化恒等式|极化]]，

:<math>B(u, v) = (Q(u+v)-Q(u)-Q(v))/2.</math>

具体地
:<math>B((x_0, x_1, \ldots, x_n), (y_0, y_1, \ldots, y_n)) = x_0y_0 - x_1 y_1 - \ldots - x_n y_n.</math>

''S''<sup>+</sup> 中两点 ''u'' 与 ''v'' 的'''双曲距离'''由公式

:<math>d(u, v) = \cosh^{-1}(B(u, v))</math>

给出。

== 等距==

[[不定正交群]] ''O''(1,''n'')，也称为 (''n''+1)-维[[洛伦兹群]]，是保持闵可夫斯基双线性形式的[[实数|实]] (''n''+1)&times;(''n''+1) [[矩阵]]形成的[[李群]]。换种语言说，它是[[闵可夫斯基空间]]的线性[[等距]]群。特别地，这个群保持双曲面 ''S''。''O''(1,''n'') 保持第一个坐标的符号的子群是'''正时洛伦兹群'''，记作 ''O''<sup>+</sup>(1,''n'')。它的行列式为 1 矩阵的子群 ''SO''<sup>+</sup>(1,''n'') 是一个 ''n''(''n''+1)/2 维连通李群，通过线性自同构作用在 ''S''<sup>+</sup> 上且保持双曲距离。这个作用是传递的，向量 (1,0,&hellip;,0) 的稳定子由如下形式矩阵组成

:<math>\begin{pmatrix}  
1      & 0 & \ldots & 0 \\
0      &   &        &   \\
\vdots &   & A      &   \\
0      &   &        &   \\
\end{pmatrix}</math>

这里 ''A'' 属于紧[[特殊正交群]] ''SO''(''n'')（推广了 ''n''=3 的[[旋转群]]）。从而 ''n''-维[[双曲空间]]是一个[[齐性空间]]以及秩为 1 的[[黎曼对称空间]]，

: <math> \mathbb{H}^n=SO^{+}(1,n)/SO(n).</math>

事实上，群 ''SO''<sup>+</sup>(1,''n'') 是 ''n''-维双曲空间保持定向的整个等距群。

==相关条目==

* [[庞加莱圆盘模型]]
* [[双曲四元数]]

==参考文献==
* {{Citation | last1=Alekseevskij | first1=D.V. | last2=Vinberg | first2=E.B. | last3=Solodovnikov | first3=A.S. | title=Geometry of Spaces of Constant Curvature | publisher=Springer-Verlag | location=Berlin, New York | series=Encyclopaedia of Mathematical Sciences | isbn=3-540-52000-7 | year=1993}}
* {{Citation | last1=Anderson | first1=James | title=Hyperbolic Geometry  | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | edition=2nd | series=Springer Undergraduate Mathematics Series | isbn=978-1-85233-934-0 | year=2005}}
* {{Citation | last1=Ratcliffe | first1=John G. | title=Foundations of hyperbolic manifolds | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | isbn=978-0-387-94348-0 | year=1994}}, Chapter 3
* {{Citation | last1=Ryan | first1=Patrick J. | title=Euclidean and non-Euclidean geometry: An analytical approach | publisher=[[Cambridge University Press]] | location=Cambridge, London, New York, New Rochelle, Melbourne, Sydney | isbn=0-521-25654-2 | year=1986 }}

[[Category:多维几何]]
[[Category:双曲几何]]