查看“双重梅森数”的源代码

{{Expand|time=2013-02-14T05:08:49+00:00 }}
'''双重梅森数'''（{{lang-en|'''double Mersenne number'''}}）是指可以用以下形式表示的[[梅森數]]：

:<math>M_{M_n} = 2^{2^n-1}-1</math>

其中''n''為正整數。

双重梅森数的[[數列]]如下
:<math>M_{M_1} = M_1 = 1 </math>
:<math>M_{M_2} = M_3 = 7 </math>
:<math>M_{M_3} = M_7 = 127 </math>
:<math>M_{M_4} = M_{15} = 32767 </math>
:<math>M_{M_5} = M_{31} = 2147483647 </math> {{OEIS|id=A077585}}

双重梅森数的2倍加3是[[費馬數]]。

== 雙重梅森質數 ==

若雙重梅森數本身也是質數，則稱為'''雙重梅森質數'''。由於梅森數''M''<sub>''p''</sub>為質數的必要條件是''p''為質數，因此雙重梅森數<math>M_{M_p}</math>為質數的必要條件是<math>M_p</math>為梅森質數。

頭幾個雙重梅森質數如下<ref name="Caldwell"/>：
:<math>M_{M_2} = M_3 = 7 </math>
:<math>M_{M_3} = M_7 = 127 </math>
:<math>M_{M_5} = M_{31} = 2147483647 </math>
:<math>M_{M_7} = M_{127} = 170141183460469231731687303715884105727 </math> {{OEIS|id=A077586}}.

頭幾個使''M''<sub>''p''</sub>為質數的p值為''p'' = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127{{OEIS|id=A000043}}。在p為2, 3, 5, 7時，<math>M_{M_p}</math>為質數，但在''p'' = 13, 17, 19及31時，<math>M_{M_p}</math>不是質數，下一個雙重梅森數<math>M_{M_{61}}</math>還不確定是否是質數，其數值為2<sup>2305843009213693951</sup> − 1，大約是1.695{{e|694127911065419641}}，目前已知的[[素性测试]]無法處理這麼大的數字，已知在小於4×10<sup>33</sup>的整數中，沒有<math>M_{M_{61}}</math>的質因數。<ref>Tony Forbes, [http://anthony.d.forbes.googlepages.com/mm61prog.htm A search for a factor of MM61. Progress: 9 October 2008]. This reports a high-water mark of 204204000000×(10019+1)×(2<sup>61</sup>−1), above 4×10<sup>33</sup>. Retrieved on 2008-10-22.</ref>可能除了上述的四個雙重梅森質數外，不存在其他的雙重梅森質數。<ref name="Caldwell">Chris Caldwell, [http://primes.utm.edu/mersenne/index.html#unknown ''Mersenne Primes: History, Theorems and Lists''] at the Prime Pages.</ref><ref>[http://www.ams.org/journals/mcom/1955-09-051/S0025-5718-1955-0071444-6/S0025-5718-1955-0071444-6.pdf I. J. Good. Conjectures concerning the Mersenne numbers. Mathematics of Computation vol. 9 (1955) p. 120-121] [retrieved 2012-10-19]</ref>。

==和大眾娛樂的關係==
在[[乃出個未來]]電影版《The Beast with a Billion Backs》中，雙重梅森數<math>M_{M_7}</math>出現在「[[哥德巴赫猜想]]的大略證明」中，其中該數字被稱為「火星素數」（martian prime）。

==相關條目==
* [[完全數]]
* [[費馬數]]
* [[韋伊費列治素數]]
* [[雙重指數]]

==參考資料==
{{Reflist}}

==延伸閱讀==
*{{Citation  |last=Dickson |first=L. E. |title=History of the Theory of Numbers |origyear=1919 |publisher=Chelsea Publishing |location=New York |year=1971 |isbn= }}.

==外部連結 ==
* {{MathWorld|urlname=DoubleMersenneNumber|title=Double Mersenne Number}}
* Tony Forbes, [http://anthony.d.forbes.googlepages.com/mm61.htm A search for a factor of MM61].
* [https://web.archive.org/web/20141015012140/http://www.garlic.com/~wedgingt/MMPstats.txt Status of the factorization of double Mersenne numbers]
* [http://www.doublemersennes.org Double Mersennes Prime Search]
* [http://www.mersenneforum.org/forumdisplay.php?f=99 Operazione Doppi Mersennes]

<!--{{Prime number classes|state=collapsed}}
-->
[[Category:整数数列|S]]
[[Category:大数]]