查看“反射 (数学)”的源代码

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|T=zh-hans:反射 (数学); zh-hant:鏡射 (數學);
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[[File:Simx2=traslOK.png|right|thumb|在针对一个轴的反射之后的针对另一个平行于前一个轴的轴的反射导致是[[平移]]的总和运动。]]
[[File:Simx2=rotOK.png|right|thumb|在针对一个轴的反射之后的针对不平行于前一个轴的反射导致是绕两个轴的交点的[[旋转]]的一个总和运动。]]

在[[数学]]中，'''反射'''是把一个物体变换成它的[[镜像]]的[[函数|映射]]。要反射一个平面图形，需要“镜子”是一条直线（反射轴），对于三维空间中的反射就要使用[[平面 (数学)|平面]]作为镜子。反射有时被认为是[[反演|圆反演]]的特殊情情况，参考圆有无限半径。

在几何上说，要找到一个点的反射，可从这个点向反射轴画一条[[垂线]]。并在另一边延续相同的距离。要找到一个图形的反射，需要反射这个图形的每个点。

两次反射回到原来的地方。反射保持在点之间的距离。反射不移动在镜子上的点，镜子的维数比发生反射的空间的维数要小1。这些观察允许我们形式化反射的定义：反射是[[欧几里得空间]]的[[对合]][[等距同构]]，它的[[不动点]]集合是[[余维数]]为1的[[仿射空间|仿射子空间]]。

在经历特定反射后不改变的图形被称为有[[反射对称性]]。

密切关联于反射的是[[斜反射]]和[[反演|圆反演]]。这些变换仍对合于有余维数1的不动点的集合，但它们不再是等距的。

==豪斯霍尔德变换==
{{main|豪斯霍尔德变换}}

给定在[[欧几里得空间]]'''R'''<sup>''n''</sup>中的一个向量''a''，在通过原点的[[正交]]于''a''的[[超平面]]中的反射的公式是
:<math>\mathrm{Ref}_a(v) = v - 2\frac{v\cdot a}{a\cdot a}a</math>
这里的''v''·''a''指示''v''和''a''的[[点积]]。注意在上面等式中的第二项就是''v''在''a''上的[[投影]]的两倍。可以轻易的检查
*Ref<sub>''a''</sub>(''v'') = − ''v''，如果''v''平行于''a''，
*Ref<sub>''a''</sub>(''v'') = ''v''，如果''v''垂直于''a''。

因为这些反射是欧几里得空间的固定原点的等距同构，它们可以表示为[[正交矩阵]]。对应于上面反射的正交矩阵是有如下元素的矩阵
:<math>R_{ij} = \delta_{ij} - 2\frac{a_i a_j}{\|a\|^2}</math>
这里的δ<sub>''ij''</sub>是[[克罗内克δ]]。

在仿射超平面<math>v\cdot a = c</math>中的反射的公式是
:<math>\mathrm{Ref}_{a,c}(v) = v - 2\frac{v\cdot a - c}{a\cdot a}a.</math>

任何一个'''R'''<sup>''n''</sup>中正交变换都能写成一些反射的[[映射的复合|复合]]，且映射的个数可以不多于''n''个，这是[[嘉当-迪厄多内定理]]的结论。对于不定空间'''R'''<sup>''p,q''</sup>也是成立的。

==参见==

*[[坐标旋转和反射]]
*[[反射旋转]]
*[[旋转]]
*[[反演]]
*[[平移]]
*[[点反演]]
*[[缩放]]

==外部链接==

* [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Reflection.shtml Reflection in Line] at [[cut-the-knot]]

[[Category:函数|F]]
[[Category:欧几里得对称|F]]
[[Category:线性算子]]