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{{线性代数}}
在[[線性代數]]中，'''反對稱矩陣'''（或稱'''斜對稱矩陣'''）是一個[[方形矩陣]]，其[[轉置矩陣]]和自身的[[加法逆元]]相等。其滿足：

:''A''<sup>T</sup> = − ''A''

或寫作<math>A = (a_{ij})</math>，各元素的關係為：

:<math>a_{ij} = -a_{ji} \,\!</math>

例如，下例為一個斜對稱矩陣：

:<math>\begin{bmatrix}
0 & 2 & -1 \\
-2 & 0 & -4 \\
1 & 4 & 0\end{bmatrix}</math>

在非偶数域中，斜對稱矩陣中的[[主對角線]]元素皆為0。

== 例子 ==
:<math>\begin{pmatrix}
0 & 2 & -1 \\
-2 & 0 & -4 \\
1 & 4 & 0\end{pmatrix}
,
\begin{pmatrix}
0 & 2 \\
-2 & 0 \end{pmatrix}
</math>
== 特性 ==
* 斜對稱矩陣自身相乘的積是[[對稱矩陣]]。
* 任意矩陣<math>A</math>，<math>A^T - A</math>是斜對稱矩陣。
* 若<math>A</math>是斜對稱矩陣，<math>x</math>是[[向量]]，<math>x^T A x = 0</math>
* 斜對稱矩陣的[[主對角線]]元素必是零，所以其[[跡數]]為零。

=== 行列式 ===
若<math>A</math>是<math>n \times n</math>的斜對稱矩陣，其[[行列式]]滿足
: <math>\operatorname{det}(A)=\operatorname{det}(A^T)=\operatorname{det}(-A)=(-1)^n \operatorname{det}(A)</math>。
* 若<math>n</math>是奇數，行列式等於零。這個結果叫[[雅可比矩阵|'''雅可比定理''']]。
* 若<math>n</math>是偶數，行列式可以寫成部分元素的多項式的平方：<math>\operatorname{det}(A)=\operatorname{Pf}(A)^2</math>。

這個多項式<math>\operatorname{Pf}(A)</math>叫<math>A</math>的[[普法夫值|普法夫行列式]]。任意實斜對稱矩陣的行列式是非負數。

=== 譜理論 ===
斜對稱矩陣的特征根永遠以成對的形式（±λ）出現，因此一個實數斜對稱矩陣的非零特征根為純虛數將會如下：''i''λ<sub>1</sub>, −''i''λ<sub>1</sub>, ''i''λ<sub>2</sub>, −''i''λ<sub>2</sub>, …，其中 λ<sub>''k''</sub> 是實數。

实斜对称矩阵是[[正规矩阵]]（它们与[[伴随矩阵]]可交换），因此满足[[谱定理]]的条件，它说明任何实斜对称矩阵都可以用一个[[酉矩阵]]对角化。由于实斜对称矩阵的特征值是复数，因此无法用实矩阵来对角化。然而，通过[[正交矩阵|正交变换]]，可以把每一个斜对称矩阵化为[[方块矩阵|方块对角线]]的形式。特别地，每一个2''n''&nbsp;×&nbsp;2''n''的实斜对称矩阵都可以写成''A'' = ''Q'' Σ ''Q''<sup>T</sup>的形式，其中''Q''是正交矩阵，且：
:<math>\Sigma = \begin{bmatrix}
\begin{matrix}0 & \lambda_1\\ -\lambda_1 & 0\end{matrix} &  0 & \cdots & 0 \\
0 & \begin{matrix}0 & \lambda_2\\ -\lambda_2 & 0\end{matrix} &  & 0 \\
\vdots &  & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \begin{matrix}0 & \lambda_r\\ -\lambda_r & 0\end{matrix} \\
& & & & \begin{matrix}0 \\ & \ddots \\ & & 0 \end{matrix}
\end{bmatrix}</math>
对于实数λ<sub>''k''</sub>。这个矩阵的非零特征值是±''i''λ<sub>''k''</sub>。在奇数维的情况中，Σ总是至少有一个行和一个列全是零。

== 无穷小旋转 ==
斜对称矩阵形成了[[正交群]]O(''n'')在单位矩阵的[[切空间]]。在某种意义上，斜对称矩阵可以视为''无穷小旋转''。

另外一种说法是，斜对称矩阵的空间形成了[[李群]]O(''n'')的[[李代数]]o(''n'')。这个空间上的李括号由[[交换子]]给出：

:<math>[A,B] = AB - BA.\,</math>

很容易验证，两个斜对称矩阵的交换子也是斜对称的。

于是，斜对称矩阵''A''的[[矩阵指数]]，是[[正交矩阵]]''R''：

:<math>R=\exp(A)=\sum_{n=0}^\infty \frac{A^n}{n!}.</math>

李代数的[[指数映射]]的像总是位于含有单位元的李群的[[连通空间|连通分支]]内。在李群O(''n'')的情况中，这个连通分支是[[特殊正交群]]SO(''n'')，由所有行列式为1的正交矩阵组成。因此''R'' = exp(''A'')的行列式为+1。于是，每一个行列式为1的正交矩阵都可以写成某个斜对称矩阵的指数。

== 參見 ==
* [[斜埃尔米特矩陣]]
* [[辛矩阵]]

== 参考文献 ==

* {{cite book
 |last=Eves
 |first=Howard
 |authorlink=Howard Eves
 |title=Elementary Matrix Theory
 |publisher=Dover Publications
 |year=1980
 |isbn=978-0-486-63946-8}}

[[Category:矩陣|X]]