查看“可加性”的源代码

{{Unreferenced|time=2019-03-01T09:53:23+00:00}}
'''可加性'''是指对于某种变换来说，特定的“加法”和该变换的顺序可颠倒而不影响结果，这样一种性质。

例如对于两个[[实数]] x 和 y，我们可以先执行加法 x+y、后把结果乘以二；也可以先各自乘以二然后再相加，[[分配律|两边结果是一样的]]。那么我们说变换“乘以二”具有可加性。
==定义==
一个[[函数]]f:A→B，其定义域A和陪域B上分别定义了某种[[加法]]<math>+_A</math>和<math>+_B</math>。若该函数满足：∀x,y∈A，有<math>f(x+_Ay)= f(x)+_Bf(y)</math>。则称f对于<math>+_A</math>和<math>+_B</math>满足'''可加性'''。在上下文对于<math>+_A</math>和<math>+_B</math>都很明确的情况下，通常简称为 f 满足'''可加性'''，亦称f为'''可加函数'''。

若上述函数f满足：∀有限集<math>\{x_i|x_i \in A,i=1\cdots n\}</math>，有<math>f \left( \sum_{k=1}^n x_i \right) = \sum_{k=1}^n f(x_i)</math>，则称f满足'''有限可加性'''。

若上述函数f满足：∀可列集<math>\{x_i|x_i \in A,i=1\cdots \infty\}</math>，有<math>f \left( \sum_{k=1}^\infty x_i \right) = \sum_{k=1}^\infty f(x_i)</math>，则称f满足'''可列可加性'''。
==示例==
*[[定积分]]的可加性：设 <math>a\leqslant b\leqslant c</math>，那么<math>\int_{a}^{b} f(x)\operatorname{d}\!x + \int_{b}^{c} f(x)\operatorname{d}\!x = \int_{a}^{c} f(x)\operatorname{d}\!x</math>——积分区间是可加的。
*'''集函数的可加性'''：定义域为集类S，值域为[0, ∞]上的广义实值集函数f，若：
**<math>\forall A, B \in S</math>，有<math>f(A \cup B) = f(A) + f(B)</math>，则称f为可加的。
**<math>\forall {A_i} \in S, i=1\cdots n</math>，有<math>f\left(\bigcup_{i=1}^n A_i\right) = \sum_{i=1}^{n} f(A_i)</math>，则称f为有限可加的。
**<math>\forall {A_i} \in S, i=1\cdots \infty</math>，有<math>f\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right) = \sum_{i=1}^{\infty} f(A_i)</math>，则称f为可列可加的。

[[Category:數學]]