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'''可测函数'''是[[可测空间]]之间的保持（可測集合）結構的[[函数]]，也是[[勒貝格積分]]或實分析中主要討論的函數。[[数学分析]]中的不可测函数一般视为病态的。 

如果&Sigma;是[[集合]]''X''上的[[&sigma;代数]]，''&Tau;''是''Y''上的[[&sigma;代数]]，则函数''f'' : ''X'' &rarr; ''Y''是''&Sigma;/&Tau;可测的''，如果''&Tau;''内的所有集合的[[原像]]都在''&Sigma;''内。

根据惯例，如果''Y''是某个[[拓扑空间]]，例如[[实数]]空间<math>\mathbb{R}</math>，或[[复数]]空间<math>\mathbb{C}</math>，则我们通常使用''Y''上的开集所生成的[[波莱尔代数|波莱尔&sigma;代数]]，除非另外说明。在这种情况下，[[可测空间]](X,&Sigma;)又称为波莱尔空间。

如果从上下文很清楚&Tau;和&Sigma;是什么，则函数''f''可以称为''&Sigma;可测''的，或干脆称为''可测''的。

==特殊可测函数==

如果(''X'', ''&Sigma;'')和(''Y'', ''&Tau;'')是波莱尔空间，则可测函数''f''又称为波莱尔函数。所有[[连续函数 (拓扑学)|连续函数]]都是波莱尔函数，但不是所有波莱尔函数都是连续函数。然而，可测函数几乎是连续函数；参见[[卢辛定理]]。

根据定义，[[随机变量]]是定义在[[样本空间]]上的可测函数。

==可测函数的性质==
*两个可测的实函数的和与积也是可测的。
*如果函数''f''是<math>\Sigma_1/\Sigma_2</math>可测的，函数''g''是<math>\Sigma_2/\Tau</math>可测的，那么复合函数<math>g \circ f</math>是<math>\Sigma_1/T</math>可测的。<ref>{{cite book |last= Billingsley |first=  Patrick |title= Probability and Measure |year= 1995 |publisher= Wiley |isbn=0-471-00710-2 }} </ref>
*可数个可测函数的最小上界也是可测的。如果<math>(f_n)</math>是一个可测函数序列，在[&minus;∞,&nbsp;+∞]中取值，那么<math>\limsup_n f_n</math>也是可测的。
*可测函数的[[逐点]]极限是可测的。（连续函数的对应命题需要比逐点收敛更强的条件，例如一致收敛。） 
*只有可测函数可以进行[[勒贝格积分]]。
*一个'''勒贝格可测函数'''是一个实函数''f'' : '''R''' &rarr; '''R'''，使得对于每一个实数''a''，集合
::<math>\{x \in \R : f(x)>a \} </math>
:都是[[勒贝格测度|勒贝格可测]]的集合。勒贝格可测函数的一个有用的特征，是f是可测的[[当且仅当]]mid{-g,f,g}对于所有非负的[[勒贝格积分|勒贝格可积]]函数g都是可积的。

==不可测函数==
不是所有的函数都是可测的。例如，如果<math>A</math>是实数轴<math>\R</math>的一个[[不可测集|不可测]]子集，那么它的[[指示函数]]<math>1_A(x)</math>是不可测的。

==参见==
*可测函数的向量空间：[[Lp空间|<math>L^p</math>空间]]
*[[保测动态系统]]

== 参考文献 ==
{{Reflist}}

[[Category:测度论]]
[[Category:函数]]