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{{NoteTA|G1=Math}}

单位又被称为可逆元。在[[數學]]裡，於一([[有单位的]])[[環]] <math>R \,</math>內的'''可逆元'''是指一 <math>R \,</math>的可逆元素，即一元素 <math>u \,</math>使得存在一於 <math>R \,</math>內的 <math>v \,</math>有下列性質：
<math>uv = vu = 1_R \,</math>，其中 <math>1_R \,</math>是乘法[[單位元]]。

亦即， <math>u \,</math>是 <math>R \,</math>內乘法[[么半群|-{zh-hant: 么半群; zh-hans: 幺半群}-]]的一''可逆''元素。

==可逆元群==
<math>R \,</math>的可逆元組成了一於乘法下的[[群]]<math>U(R) \,</math> ，稱做 <math>R \,</math>的'''可逆元群'''。可逆元群''U''(''R'')有時亦被標記成''R''<sup>*</sup>或''R''<sup>&times;</sup>。

在一可交換單作環''R''內，可逆元群''U''(''R'')以乘法[[群作用|作用]]於''R''上頭。此一作用的[[群作用|軌道]](orbit)被稱為''結合''集合；換句話說，存在一於''R''上的[[等價關係]] ~ ，且當''r''~''s''時，表示存在一可逆元''u''使得''r''=''us''。

''U''是一由[[環範疇]]至[[群範疇]]的[[函子]]：每一個[[環同態]] ''f'' : ''R'' &rarr; ''S'' 都可導出一[[群同態]]''U''(''f'') : ''U''(''R'') &rarr; ''U''(''S'')，當''f''會將可逆元映射至可逆元時。此一函數子有為整數[[群環]]結構的[[伴隨函數子|左伴隨]]。

一個環''R''是一個[[除環]]若且唯若''R''<sup>*</sup> = ''R'' \ {0}。

==例子==
* 在[[整數環]]<math>\mathbb{Z}</math>裡，可逆元為&plusmn;1。其每一軌道內都有兩個元素''n''和&minus;''n''。

* 任一[[單位根]]均是某一單作環<math>R</math>內的可逆元。（若<math>r</math>是一單位根，且<math>r^n = 1</math>，則<math>r^{-1} = r^{n-1}</math>亦為<math>R</math>的元素）。
* 在[[代數數論]]裡，[[狄利克雷单位定理]]證明了許多[[代數整數]]環內可逆元的存在域。例如，在環<math>\mathbb{Z}(\sqrt{5})</math>，<math>(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2) = 1</math>，因此<math> (\sqrt{5} + 2),(\sqrt{5} - 2),1</math>都是可逆元。
* 在環<math>M(n,F)</math>，於一[[體]]<math>F</math>上的<math>n \times n</math>[[矩陣]]內，其可逆元恰好就是[[可逆矩陣]]。

{{二元運算的性質}}

[[Category:環論|D]]
[[Category:群论|D]]