查看“可除群”的源代码

{{Unreferenced |time=2010-02-10T06:59:59+00:00 }}
在[[群論]]中，一個'''可除群'''是一個滿足以下條件的[[阿貝爾群]] <math>G</math>：對每個正整數 <math>n</math> 及元素 <math>g \in G</math>，存在 <math>h \in G</math> 使得 <math>nh = g</math>。等價的表法是：<math>\forall n>0, \; nG=G</math>。事實上，可除群恰好是 <math>\Z</math> 上的[[內射模]]，所以有時也稱之為'''內射群'''。

==例子==
* [[有理數]] <math>\mathbb{Q}</math> 對加法構成可除群。
* 一般而言，任何 <math>\mathbb{Q}</math>-[[向量空間]]對加法都構成可除群。
* 可除群的[[商群]]仍可除，如 <math>\mathbb{Q}/\mathbb{Z}</math>。
* p-Prüfer 群 <math>\Z(p^\infty) := \{ e^\frac{2i\pi}{p^m} : m \in \N_{\geq 0} \}</math> 是可除群
* 在[[模型論]]中，任何[[存在性封閉]]的群皆可解。

==可除群結構定理==
令 <math>G</math> 為可解群，則其[[撓子群]] <math>\mathrm{Tor}(G)</math> 亦可除。由於可解群是 <math>\Z</math>-[[內射模]]，<math>\mathrm{Tor}(G)</math> 是直和項，即：

:<math>G = \mathrm{Tor}(G) \oplus  G/\mathrm{Tor}(G).</math>

商群 <math>G/\mathrm{Tor}(G)</math> 亦可解，而且其中沒有撓元，所以它是 <math>\mathbb{Q}</math>-上的[[向量空間]]：存在集合 <math>I</math> 使得

:<math>G/\mathrm{Tor}(G) = \oplus_{i \in I} \mathbb Q = \mathbb Q^{(I)}.</math>

撓子群的結構稍複雜，然而可以證明對所有[[素數]] <math>p</math>，存在 <math>I_p</math> 使得

:<math>(\mathrm{Tor}(G))_p = \oplus_{i \in I_p} \mathbb Z[p^\infty] = \mathbb Z[p^\infty]^{(I_p)},</math>

其中 <math>\mathrm{Tor}(G))_p</math> 是 <math>\mathrm{Tor}(G)</math> 是的 <math>p</math>-準素部分。於是：

:<math>G = (\oplus_P \mathbb Z[p^\infty]^{(I_p)}) \oplus \mathbb Q^{(I)}.</math>

==推廣==

一個[[環]] <math>R</math> 上的左可除模是滿足 <math>\forall r \neq 0 \in R, \; rM=M</math> 的模 <math>M</math>。可除群不外是可除 <math>\Z</math>-模。[[主理想域]]上的可除模恰好是[[內射模]]。

[[Category:群的性質]]
[[Category:阿貝爾群論]]