查看“向量空间”的源代码

{{NoteTA
|G1 = Math
|1 = zh-cn:域; zh-tw:體;
}}
{{线性代数}}
[[File:Vector space illust.svg|right|thumb|向量空間是可以縮放和相加的（叫做[[向量]]的）對象的[[集合]]。]]

'''向量空間'''是现代[[数学]]中的一个基本概念。是[[線性代數]]研究的基本对象。

向量空间的一个直观模型是向量几何，[[幾何]]上的[[向量]]及相关的運算即向量加法，標量乘法，以及对運算的一些限制如[[封闭性]]，[[结合律]]，已大致地描述了“向量空間”这个數學概念的直观形象。

在现代数学中，“向量”的概念不仅限于此，满足下列[[公理]]的任何数学对象都可被当作向量处理。譬如，實系數多項式的集合在定义适当的运算后构成向量空間，在代数上处理是方便的。单变元实函数的集合在定义适当的运算后，也构成向量空间，研究此类函数向量空间的数学分支称为[[泛函分析]]。

== 公理化定義 ==
給定[[域 (數學)|域]]{{math|''F''}}，{{math|''F''}}上的向量空間{{math|''V''}}是一个[[集合 (數學)|集合]]，其上定义了两种[[二元运算]]：

* '''向量加法''' {{math| + : ''V'' × ''V'' → ''V''}}，把{{math|''V''}}中的两个元素 {{math|'''u'''}} 和 {{math|'''v'''}} 映射到{{math|''V''}}中另一个元素，记作 {{math|'''u + v'''}}；
* '''标量乘法''' {{math| · : ''F'' × ''V'' → ''V''}}，把{{math|''F''}}中的一个元素 {{math|''a''}} 和 {{math|''V''}} 中的一个元素{{math|'''u'''}}变为{{math|''V''}}中的另一个元素，記作 {{math|''a'' '''·u'''}}。

{{math|''V''}}中的元素称为向量，相对地，{{math|''F''}}中的元素称为标量。

而集合{{math|''V''}}[[公理]]<ref>{{Harvard citations|last = Roman|year = 2005|nb = yes|loc=ch. 1, p. 27}}</ref>才构成一个向量空间（对{{math|''F''}}中的任意元素{{math|''a''}}、{{math|''b''}}以及{{math|''V''}}中的任意元素{{math|'''u'''}}、{{math|'''v'''}}、{{math|'''w'''}}都成立）：

{| border="0" style="width:100%;" class="wikitable"
|-
! 公理 || 说明
|-
| 向量加法的[[结合律]] || {{math|1='''u''' + ('''v''' + '''w''') = ('''u''' + '''v''') + '''w'''}}
|- style="background:#F8F4FF;"
| 向量加法的[[交换律]] || {{math|1='''u''' + '''v''' = '''v''' + '''u'''}}
|-
| 向量加法的[[单位元]] || 存在一个叫做[[零向量]]的元素{{math|'''0''' ∈ ''V''}}，使得对任意{{math|'''u''' ∈ ''V''}}都满足{{math|1='''u''' + '''0''' = '''u'''}}
|- style="background:#F8F4FF;"
| 向量加法的[[逆元素]] || 对任意{{math|'''v''' ∈ ''V''}}都存在其逆元素{{math|−'''v''' ∈ ''V''}}使得{{math|1='''v''' + (−'''v''') = '''0'''}}
|-
| 标量乘法与标量的域乘法相容 || {{math|1=''a''(''b'''''v''') = (''ab'')'''v'''}} 
|- style="background:#F8F4FF;"
| 标量乘法的[[单位元]] || 域{{math|''F''}}存在乘法单位元{{math|1}}满足{{math|1=1'''v''' = '''v'''}}
|-
| 标量乘法对向量加法的[[分配律]] || {{math|1=''a''('''u''' + '''v''') = ''a'''''u''' + ''a'''''v'''}}
|- style="background:#F8F4FF;"
| 标量乘法对域加法的[[分配律]] || {{math|1=(''a'' + ''b'')'''v''' = ''a'''''v''' + ''b'''''v'''}}
|}

前四個公理說明装备了向量加法的{{math|''V''}}是[[交換群]]，餘下的四个公理應用於标量乘法。需要注意的是向量之间的加法“{{math|'''+'''}}”和标量之间的加法“{{math|+}}”是不一样的，标量与向量之间的标量乘法{{math|'''·'''}}和两个标量之间的乘法（域{{math|''F''}}中自带的乘法）也是不一样的。

簡而言之，向量空間是一個{{math|''F''}}{{minus}}[[模 (數學)|模]]。

===基本性质===
以下是一些可以从向量空间的公理直接推出的性质：
*零向量'''0'''是唯一的；
*对任意{{math|''a'' ∈ ''F''}}，{{math|''a'' '''·'''}} ''' 0''' {{=}} '''0'''；
*对任意{{math|'''u''' ∈ ''V''}}，'''0'''{{=}}0 {{math|'''·u'''}}  （0是{{math|''F''}}的加法單位元）。
*如果{{math|''a'' '''·u'''}} {{=}} '''0'''，则要么{{math|''a''}} {{=}} 0，要么{{math|'''u'''}} {{=}} '''0'''。
*向量加法的[[逆元|逆]]向量{{math|'''v'''}}是唯一的，记作{{math|'''{{minus}} v'''}}。{{math|'''u +''' ('''{{minus}} v''')}}也可以写成{{math|'''u {{minus}} v'''}}，两者都是标准的。
*对任意{{math|'''u''' ∈ ''V''}}， '''{{minus}} u'''{{=}}{{minus}}1 {{math|'''·u''' .}}
*对任意{{math|''a'' ∈ ''F''}}以及{{math|'''u''' ∈ ''V''}}，{{math| ({{minus}}''a'') '''·u'''{{=}}''' {{minus}}'''(''a'' '''·u''') {{=}} ''a'' '''·''' ('''{{minus}} u''').}}

== 例子 ==
對一般域{{math|''F''}}，{{math|''V''}}记為{{math|''F''}}-'''向量空間'''。若{{math|''F''}}是[[實數域]]{{math|ℝ}}，则{{math|''V''}}稱為'''實數向量空間'''；若{{math|''F''}}是[[複數域]]{{math|ℂ}}，则{{math|''V''}}稱為'''複數向量空間'''；若{{math|''F''}}是[[有限域]]，则{{math|''V''}}稱為'''有限域向量空間'''。

最简单的{{math|''F''}}-向量空間是{{math|''F''}}自身。只要定义向量加法为域中元素的加法，标量乘法为域中元素的乘法就可以了。例如当{{math|''F''}}是实数域{{math|ℝ}}时，可以验证对任意实数{{math|''a''}}、{{math|''b''}}以及任意实数{{math|'''u'''}}、{{math|'''v'''}}、{{math|'''w'''}}，都有：
# {{math|'''u +''' ('''v + w''') {{=}} ('''u + v''') '''+ w'''}}，
# {{math|'''v + w''' {{=}} '''w + v'''}}，
# 零元素存在：零元素{{math|'''0'''}}满足：对任何的向量元素{{math|'''v'''}}，{{math|'''v''' + '''0''' {{=}} '''v'''}}，
# 逆元素存在：对任何的向量元素{{math|'''v'''}}，它的相反数{{math|'''w''' {{=}} '''{{minus}}v'''}}就满足{{math|'''v''' + '''w''' {{=}} '''0'''}}。
# 标量乘法对向量加法满足[[分配律]]：{{math|''a''('''v + w''') {{=}} ''a'' '''v''' '''+''' ''a''' ''w'''}}.
# 向量乘法对标量加法满足[[分配律]]：{{math|(''a'' + ''b'')'''v''' {{=}} ''a'' '''v''' '''+''' ''b'' '''v'''}}.
# 标量乘法与标量的域乘法相容：{{math|''a''(''b'''''v''') {{=}}(''ab'')'''v'''}}。
# 标量乘法有[[單位元]]：{{math|ℝ}}中的乘法单位元，也就是实数“1”满足：对任意实数{{math|'''v'''}}，{{math|1'''v''' {{=}} '''v'''}}。

更为常见的例子是给定了直角坐标系的[[欧几里得空间|平面]]：平面上的每一点<math>P</math>都有一个坐标<math>P(x, y)</math>，并对应着一个向量<math>(x, y)</math>。所有普通意义上的平面向量组成了一个空间，记作ℝ²，因为每个向量都可以表示为两个实数构成的有序数组<math>(x, y)</math>。可以验证，对于普通意义上的向量加法和标量乘法，ℝ²满足向量空间的所有公理。实际上，向量空间是ℝ²的推广。

同样地，高维的[[欧几里得空间]]ℝ<sup>n</sup>也是向量空间的例子。其中的向量表示为<math>v = (a_1, a_2, \cdots, a_n)</math>，其中的<math>a_1, a_2, \cdots, a_n</math>都是实数。定义向量的加法和标量乘法是：
<center><math>\forall \lambda \in \mathbb{R}, \, v = (a_1, a_2, \cdots, a_n) \in \mathbb{R}^n, \, w = (b_1, b_2, \cdots, b_n) \in \mathbb{R}^n</math>，</center>
<center><math>v + w = (a_1, a_2, \cdots, a_n) + (b_1, b_2, \cdots, b_n) = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, \cdots, a_n + b_n)</math></center>
<center><math>\lambda v = \lambda (a_1, a_2, \cdots, a_n) = (\lambda a_1, \lambda a_2, \cdots, \lambda a_n)</math></center>
可以验证这也是一个向量空间。

再考虑所有系数为实数的[[多项式]]的集合<math>\mathbb{R}[X]</math>。对于通常意义上的多项式加法和标量乘法，<math>\mathbb{R}[X]</math>也构成一个向量空间。更广泛地，所有从实数域射到实数域的[[连续函数]]的集合<math>\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math>也是向量空间，因为两个连续函数的和或差以及连续函数的若干倍都还是连续函数。

===方程组与向量空间===
向量空间的另一种例子是齐次线性方程组（常数项都是'''0'''的线性方程组）的解的集合。例如下面的方程组：
:<math>3x + 2y - z = 0</math>
:<math>x + 5y + 2z = 0</math>
如果<math>(x_1, y_1, z_1)</math>和<math>(x_2, y_2, z_2)</math>都是解，那么可以验证它们的“和”<math>(x_1+x_2, y_1+y_2, z_1+z_2)</math>也是一组解，因为：
:<math>3(x_1+x_2) + 2(y_1+y_2) - (z_1+z_2) = (3x_1 + 2y_1 - z_1) + (3x_2 + 2y_2 - z_2) = 0</math>
:<math>(x_1+x_2) + 5(y_1+y_2) + 2(z_1+z_2) = (x_1 + 5y_1 + 2z_1) + (x_2 + 5y_2 + 2z_2) = 0</math>
同样，将一组解乘以一个常数后，仍然会是一组解。可以验证这样定义的“向量加法”和“标量乘法”满足向量空间的公理，因此这个方程组的所有解组成了一个向量空间。

一般来说，当齐次线性方程组中未知数个数大于方程的个数时，方程组有无限多组解，并且这些解组成一个向量空间。

对于齐次线性[[微分方程]]，解的集合也构成向量空间。比如说下面的方程：
:<math>f'' + 4xf' + \cos(x)f = 0</math>
出于和上面类似的理由，方程的两个解<math>f_1</math>和<math>f_2</math>的和函数<math>f_1 + f_2</math>也满足方程。可以验证，这个方程的所有解构成一个向量空间。

== 子空間基底 ==
如果一個向量空間'''V'''的一個非空子集合'''W'''对于'''V'''的加法及標量乘法都封闭（也就是说任意'''W'''中的元素相加或者和标量相乘之后仍然在'''W'''之中），那么将'''W'''称为'''V'''的'''線性子空間'''（简称子空间）。'''V'''的子空间中，最平凡的就是空間'''V'''自己，以及只包含'''0'''的子空间<math>{0}</math>。

給出一個向量集合'''B'''，那么包含它的最小子空間就稱為它的'''[[生成子空間]]'''，也称'''[[線性包络]]'''，记作span('''B''')。

給出一個向量集合'''B'''，若它的生成子空间就是向量空間'''V'''，则稱'''B'''為'''V'''的一个'''[[生成集]]'''。如果一个向量空間'''V'''拥有一个元素个数有限的生成集，那么就稱'''V'''是一个有限维空间。

可以生成一個向量空間'''V'''的[[線性獨立]]子集，稱為這個空間的'''[[基 (線性代數)|基]]'''。若'''V'''={'''0'''}，约定唯一的基是[[空集]]。對非零向量空間'''V'''，基是'''V'''“最小”的生成集。向量空间的基是对向量空间的一种刻画。确定了向量空间的一组基'''B'''之后，空間內的每個向量都有唯一的方法表達成基中元素的[[線性組合]]。如果能够把基中元素按下标排列：<math>\mathbf{B} = \left\{ e_1, e_2, \cdots, e_n, \cdots \right\}</math>，那么空间中的每一个向量'''v'''便可以通过座標系統來呈現：
:<math>v = \lambda_1 e_1 + \lambda_2 e_2 + \cdots + \lambda_n e_n + \cdots </math>

这种表示方式必然存在，而且是唯一的。也就是说，向量空间的基提供了一个坐标系。

可以证明，一个向量空間的所有基都擁有相同[[基數]]，稱為該空間的'''[[維度]]'''。当'''V'''是一个有限维空间时，'''任何一组基中的元素个数都是定值，等于空间的维度'''。例如，各种實數向量空間：ℝ⁰, ℝ¹, ℝ², ℝ³,…, ℝ<sup>∞</sup>,…中，  ℝ<sup>n</sup>的維度就是''n''。在一个有限维的向量空间（维度是'''n'''）中，'''确定一组基<math>\mathbf{B} = \left\{ e_1, e_2, \cdots, e_n \right\}</math>，那么所有的向量都可以用'''n'''个标量来表示'''。比如说，如果某个向量'''v'''表示为：
<center><math>v = \lambda_1 e_1 + \lambda_2 e_2 + \cdots + \lambda_n e_n </math></center>

那么v可以用数组<math>v = (\lambda_1 ,\lambda_2 , \cdots , \lambda_n )</math>来表示。这种表示方式称为向量的坐标表示。按照这种表示方法，基中元素表示为：
<center><math>e_1 = (1, 0, \cdots ,0) </math></center>
<center><math>e_2 = (0, 1, \cdots ,0) </math></center>
<center><math>e_n = (0, 0, \cdots ,1) </math></center>
可以证明，存在从任意一个'''n'''维的<math>\mathbf{F}</math>-向量空间到空间<math>\mathbf{F}^n</math>的[[双射]]。这种关系称为同构。

== 線性映射 ==
給定兩個系数域都是'''F'''的向量空間V和W,定义由V到W的[[線性變換]]（或称线性映射）为所有从V射到W并且它保持向量加法和标量乘法的运算的函数'''f'''：
<center><math>f : \, V \rightarrow W</math></center>
<center><math>\forall a \in F, u,v \in V, \, f(u+v) = f(u) + f(v), \, f(a \cdot v) = a \cdot f(v)</math></center>
所有线性变换的集合记为<math> \mathcal{L}(V, W)</math>，这也是一个系数域为'''F'''的向量空间。在确定了V和W上各自的一组基之后，<math> \mathcal{L}(V, W)</math>中的线性变换可以通过[[矩阵]]来表示。

如果两个向量空間V和W之间的一个線性映射是[[一一映射]]，那么这个线性映射称为（线性）'''[[同构]]'''，表示两个空间构造相同的意思。如果在V和W之間存在同構，那么稱這兩個空間為'''同構的'''。如果向量空間V和W之间存在同构<math>f : \, V \rightarrow W</math>，那么其逆映射<math>g : \, W \rightarrow V</math>也存在，即对所有的<math>x \in V, \, y \in W</math>，都有：
<center><math>g \circ f (x) = x, \, f \circ g (y) = y</math></center>

== 概念化及額外結構 ==
研究向量空間很自然涉及一些額外結構。額外結構如下：
* 一個實數或複數向量空間加上長度概念（就是[[範數]]）則成為'''[[賦範向量空間]]'''。
* 一個實數或複數向量空間加上長度和角度的概念則成為'''[[內積空間]]'''。
* 一個向量空間加上[[拓撲結構]]并滿足連續性要求（加法及標量乘法是[[連續映射]]）則成為'''[[拓撲向量空間]]'''。
* 一個向量空間加上[[雙線性算子]]（定義為向量乘法）則成為'''[[域代數]]'''。

== 參考文獻 == <!--
=== 引用 ===
{{Reflist|2}}

=== 书籍 === -->
* 《[[中国大百科全书]]》
* Howard Anton and Chris Rorres. ''Elementary Linear Algebra'', Wiley, 9th edition, ISBN 0-471-66959-8.
* Kenneth Hoffmann and Ray Kunze. ''Linear Algebra'', Prentice Hall, ISBN 0-13-536797-2.
* Seymour Lipschutz and Marc Lipson. ''Schaum's Outline of Linear Algebra'', McGraw-Hill, 3rd edition, ISBN 0-07-136200-2.
* Gregory H. Moore. The axiomatization of linear algebra: 1875-1940, ''Historia Mathematica'' '''22''' (1995), no. 3, 262-303.
* Gilbert Strang.  "Introduction to Linear Algebra, Third Edition", Wellesley-Cambridge Press, ISBN 0-9614088-9-8

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