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在[[经典逻辑]]中，'''否定后件'''（{{lang-la|modus tollens}}）有如下论证形式：
:如果P，则Q。
:非Q。
:所以，非P。

它也可也被认为是[[否定]]结论，是一种有效的认证形式。

否定后件有时会与[[歸謬法]] (Proof by contradiction)（假设[[命题]]的否定成立，[[证明]]这会导致矛盾）或者[[反證法]] (Proof by contrapositive)（证明如果P则Q，通过证明如果非Q则非P的方法实现）相混淆。

==例子==
歸謬法的例子如下：

* 假定<math>G</math>是一個有限[[循環群]]，且<math>G</math>是[[單群]]，則<math>G</math>的[[階 (群論)|階]]為[[質數]]。
* 也就是說，
* 若<math>G</math>的[[階 (群論)|階]]不是[[質數]]，則<math>G</math>不是有限[[循環群]]，或者<math>G</math>不是單群。
* 證明：
** 假定原論述不成立，那麼就表示「<math>G</math>的[[階 (群論)|階]]不是[[質數]]」是錯的
** 也表示說「若<math>G</math>的[[階 (群論)|階]]不是[[質數]]，則<math>G</math>不是有限[[循環群]]，或者<math>G</math>不是單群。」是錯的
** 這就表示「有個集合<math>G</math>是有限[[循環群]]，且<math>G</math>是[[單群]]」，而且「<math>G</math>的[[階 (群論)|階]]不是[[質數]]」
** 現在假定<math>G</math>的階是<math>n</math>，生成元是<math>a</math>，<math>G</math>單位元則記做<math>e</math>，因此有<math>e = a^n</math>
** 由於<math>G</math>是[[循環群]]，因此<math>G</math>且<math>a</math>是生成元，因此<math>G</math>的所有元素都可表示成<math>a^k</math>的形式，其中<math>0 \leq k < n</math>；又<math>n</math>不是不是質數，因此存在兩個大於等於2的正整數<math>p</math>和<math>q</math>，使得<math>n = pq</math>
** 由此可知，<math>a^p</math>是<math>G</math>的元素，且<math>(a^p)^q = a^{pq} = a^n = e</math>
** 所有形如<math>(a^p)^y = a^{py}</math>的元素可構成<math>G</math>的一個真子群<math>H</math>，且<math>H \neq \{e\}</math>。
** 由於<math>G</math>是循環群，因此<math>G</math>是一個[[交換群]]。
** 由於<math>G</math>是交換群，因此<math>G</math>的所有子群都是[[正規子群]]。
** <math>H</math>是<math>G</math>的一個真子群。
** <math>H</math>是<math>G</math>的一個正規子群。
** <math>G</math>有<math>\{e\}</math>和自身以外的正規子群，此與<math>G</math>是[[單群]]的假設矛盾。
** 這表示先前的假設「『若<math>G</math>的[[階 (群論)|階]]不是[[質數]]，則<math>G</math>不是有限[[循環群]]，或者<math>G</math>不是單群。』是錯的」這條是錯的。
** 因此原論述「假定<math>G</math>是一個有限[[循環群]]，且<math>G</math>是[[單群]]，則<math>G</math>的[[階 (群論)|階]]為[[質數]]。」是對的。

==证明==
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:45%"
|+ ''' '''
|- style="background:paleturquoise"
! style="width:5%" | ''步骤''
! style="width:15%" | ''命题''
! style="width:25%" | ''推论''
|-
| 1 || <math>P\rightarrow Q</math> || 已知
|-
| 2 || <math>\neg Q</math> || 已知
|-
| 3 || <math>\neg P\lor Q</math> || [[實質條件]] (1)
|-
| 4 || <math>\neg P</math> || [[選言三段論]] (2,3)
|}

== 参见 ==
* [[肯定前件]]
* [[肯定後件]]（一種邏輯上無效的論證形式）
* [[否定前件]]（一種邏輯上無效的論證形式）
* [[推理规则]]

[[Category:邏輯|F]]
[[Category:拉丁語邏輯短語]]