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{{NoteTA
|G1 = Math
}}
在[[数学]]中，'''周期函数'''是無論任何独立[[变量]]上經過一个确定的'''[[周期]]'''之后数值皆能重复的[[函数]]。我们日常所见的[[钟表]]指针以及[[月亮]]的[[月相]]都呈现出周期性的特点。'''周期性运动'''是系统的运动位置呈现周期性的运动。

对于[[实数]]或者[[整数]]函数来说，周期性意味着按照一定的间隔重复一个特定部分就可以绘制出完整的函数图。如果在函数<math>f</math>中所有的位置<math>x</math>都满足

:<math>f(x + T) = f(x)</math>

那么，<math>f</math>就是周期为<math>T</math>的周期函数。'''非周期函数'''就是没有类似周期<math>T</math>的函数。

如果周期函数<math>f</math>的周期为<math>T</math>，那么对于<math>f</math>中的任意<math>x</math>以及任意整数<math>n</math>，有

:<math>f(x + Tn) = f (x)</math>

若<math>T = 1</math>，則<math>f(x) = f(x + 1) = f(x + 2) = \cdots</math>。但是函数周期不一定是满足上述等式的最小值，<math>T</math>也可以是<math>2</math>。

[[File:Sine cosine plot.svg|300px|thumb|<math>f(x) = \sin x</math>与<math>f(x) = \cos x</math>的图，二者的周期都是<math>2 \pi</math>。]]

一个简单的例子是<math>f</math>的小数变量：

:<math>f(0.5) = f(1.5) = f(2.5) = \cdots = 0.5</math>

其中有一些例子是[[锯齿波]]、[[方波]]以及[[三角形波]]。

[[三角函数]][[正弦函数]]与[[余弦函数]]都是常见的周期函数，其周期为<math>2 \pi</math>。[[傅立叶级数]]研究的就将任意的周期函数用合适的三角函数的和来表示。

[[复数]]函数可能会有两个不相称的周期，[[椭圆函数]]就是类似的函数。

== 通用定义 ==
设<math>E</math>为[[封闭性]]运算[[加法|<math>\color{blue}{+}</math>]]上的一个集合，在<math>E</math>中周期为<math>T</math>的周期函数是满足如下条件的函数<math>f</math>集合<math>F</math>：
:对于<math>E</math>中的所有<math>x</math>，满足<math>f(x + T) = f(x)</math>且<math>T \ne 0</math>。

注意：除非<math>+</math>是[[交換律|可交换]]的，否则<math>T</math>必须位于右侧。

周期<math>T</math>不是唯一的，<math>T</math>的所有整数倍都是函数的周期。若最小正週期<math>T</math>存在，則稱<math>T</math>為函數的'''基本週期'''。

== 周期序列 ==
一些自然出现的[[序列]]也是周期性的，如一些[[有理数]]中的[[循环小数]]，因此我们可以说序列中的'''周期'''只是通用定义的一种特例。

== 平移对称 ==
如果用周期函数描述一件物体，如用位置的函数表示无限图像的颜色，那么函数的周期性就对应于物体的[[对称性|平移对称]]。

== 参见 ==
* [[概周期函数]]
* [[振幅]]
* [[Definite pitch]]
* [[频率]]
* [[振动]]
* [[准周期函数]]
* [[波长]]

== 外部链接 ==
* [http://mathworld.wolfram.com/PeriodicFunction.html MathWorld的周期函数]

{{Authority control}}
[[Category:初等数学]]
[[Category:微积分]]
[[Category:函数]]