查看“哈代-李特爾伍德圓法”的源代码

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在[[數學]]裡，'''哈代-勒特伍德圓法'''是在[[解析數論]]中最常被使用的技術之一。其是以[[高德菲·哈羅德·哈代]]和[[約翰·恩瑟·李特爾伍德]]來命名的，他們是在一連討論[[華林問題]]的論文中發展了此一技術。這個觀念一開始的起源通常被歸功於哈代在1916年和1917年中和[[拉馬努金]]在[[整數分拆]]的[[漸進分析]]中之研究。這被許多其他的研究者們所使用，包括[[哈羅德·達芬波特]]和[[維諾格拉多夫]]，他們稍微地修改了其公式（由[[複分析]]移至[[指數和]]），但沒有改變大略的內容。上千篇論文使用著此一方法，且直到2005年，這個方法仍然被使用來產生新的成果。

問題中的圓一開始是在複數平面上的[[單位圓]]。假定問題一開始是一連串的複數

:''a''<sub>''n''</sub>, ''n'' = 0, 1, 2, 3, ...

想要求得其中的一些可能的漸進類型

:''a''<sub>''n''</sub> ~ ''F''(''n'')

其中有一些[[啟發法|啟發]]性的方法可以用來猜測''F''可能的類型，先寫下

:<math>f(z)= \sum a_n  z^n </math>

，一個[[冪級數]][[生成函數]]。其中有些有趣的例子在於''f''的[[收斂半徑]]等於1的條件下，故將問題假裝已調整至承現出滿足此一條件。

經由此規劃之後，便可以直接由[[留數定理]]得出對每個整數 ''n'' &ge; 0，

:<math>I_n=\int f(z)z^{-(n+1)}\,dz=2 \pi ia_n</math>

其中這個積分是繞著圓心為0且半徑為0 < ''r'' < 1之''r''的圓來積的。

亦即，這是一個[[閉軌積分]]，其軌道是一個以逆時鐘方向繞了一圈的圓。為了使其較易回答，可以直接將''r''的值取1，即使用單位圓閉軌。但在複變分析中卻有著一些問題，因為''f''在單位圓上不一定總是會有定義。

圓法在其問題上的做法是強迫將''r''值取1，以對''f''在單位圓上之奇點的性質有足夠的了解之方式。對其基本的了解可以使用有理數的[[法里數列]]，或是等價地使用[[單位根]]

:<math> \zeta\ = \exp \left ( \frac{2 \pi ir}{s} \right ) </math>

這裡的[[分母]]''s''是在''r/s''為[[最簡分數]]下之分母，可以決定在&zeta;附近之''f''主要奇點的行為之相對的重要性。

'''哈代-勒特伍德圓法'''因此可以用[[複分析]]的方式來表現出來。當''r'' 趨近 1時的''I''<sub>''n''</sub>的值的分佈可以被分成兩個部份，傳統上稱之為'''大弧'''和'''小弧'''。可以將&zeta;分成兩部份，分別是''s''&le;''N''和''s''&gt;''N''兩部份，其中的''N''是一個依方便選定之''n''的函數。積分''I''<sub>''n''</sub>可以將其積分範圍分成長度為''s''的長度（一樣是依方便選定的），和&zeta;相連的弧。這些弧可以形成整個圓圈，而其在「大弧」上積分的總和會是2&pi;''iF''(''n'')（實際上，會存在一個可掌控的剩餘項）。剩下在「小弧」上的積分總和則可以被一個[[上界]]所取代，而且這個上界會數量級地小於''F''(''n'')。

==外部链接==
* [[陶哲轩]]，[http://terrytao.wordpress.com/2012/05/20/heuristic-limitations-of-the-circle-method/ Heuristic limitations of the circle method]

[[Category:解析數論|H]]