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[[最优控制]]中的'''哈密頓量'''（Hamiltonian）是由[[列夫·庞特里亚金]]所發展，是[[庞特里亚金最小化原理]]的一部份<ref>{{cite book |first=Avinash K. |last=Dixit |title=Optimization in Economic Theory |location=New York |publisher=Oxford University Press |year=1990 |isbn=0-19-877210-6 |pages=145–161 }}</ref>。哈密頓量的概念是由[[古典力學]]中的[[哈密顿力学]]所引發，但兩者是不同的概念。庞特里亚金證明了求解最优控制問題的必要條件，就是要選擇可使哈密頓量最小化的控制輸入。細節可參考[[庞特里亚金最小化原理]]。

== 問題的敘述 ==

最佳控制的問題，是要選擇控制輸入<math>u(t)</math>，使以下的目標函數有最小值

:<math>
J(u)=\Psi(x(T))+\int^T_0 L(x,u,t) dt
</math>

其中<math>x(t)</math>為系統狀態，滿足狀態方程式

:<math>
\dot{x}=f(x,u,t) \qquad x(0)=x_0 \quad t \in [0,T]
</math>

控制需滿足以下的限制條件

:<math>
a \le u(t) \le b \quad t \in [0,T]
</math>

== 哈密頓量的定義 ==

: <math>
H(x,\lambda,u,t)=\lambda^T(t)f(x,u,t)+L(x,u,t) \,
</math>

其中<math>\lambda(t)</math>為[[協態方程|協態變數]]組成的向量，其維度和狀態變數<math>x(t)</math>相同。

若要進一步瞭解哈密頓量的性質，可參考[[庞特里亚金最小化原理]]。

== 離散時間下的哈密頓量==

若問題是在離散時間下，其哈密頓量定義為：

:<math>
H(x,\lambda,u,t)=\lambda^T(t+1)f(x,u,t)+L(x,u,t) \,
</math>

而[[協態方程]]為

:<math>
\lambda(t+1)=-\frac{\partial H}{\partial x} + \lambda(t)
</math>
（注意此處提到，離散哈密頓量在時間<math>t</math>的值和協態變數在時間<math>t+1</math>的值有關<ref>Varaiya, Chapter 6</ref>。這個小差異很重要，在對<math>x</math>微分後，可以在協態方程右邊得到和<math>\lambda(t+1)</math>有關的算式。若寫法有誤，所得的協態方程不是後向的差分方程，會帶來錯誤的結果。）

== 控制哈密頓量和力學哈密頓量的比較 ==

[[威廉·哈密頓]]定義力學中的[[哈密頓量]]為三個變數的函數：

:<math>\mathcal{H} = \mathcal{H}(p,q,t) = \langle p,\dot{q} \rangle -L(q,\dot{q},t)</math>

其中<math>\dot{q}</math>定義如下

:<math>p = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}</math>

哈密頓再將方程改為

:<math>\frac{ d}{ dt}p(t) = -\frac{\partial}{\partial q}\mathcal{H}</math>
:<math>\frac{ d}{ dt}q(t) =~~\frac{\partial}{\partial p}\mathcal{H}</math>

最佳控制中的哈密頓量則是四個變數的函數：

:<math>H(q,u,p,t)= \langle p,\dot{q} \rangle -L(q,u,t)</math>

其要有最大值的相關條件為

:<math>\frac{dp}{dt} = -\frac{\partial H}{\partial q}</math>

:<math>\frac{dq}{dt} = ~~\frac{\partial H}{\partial p}</math>

:<math>\frac{\partial H}{\partial u} = 0</math>

上述定義和Sussmann及Willems論文所提的一致<ref>{{cite paper |url=http://yima.csl.illinois.edu/psfile/ECE553/sussmann-willems.pdf |last=Sussmann |last2= Willems |title=300 Years of Optimal Control |work=IEEE Control Systems |date=June 1997 }}</ref><!--see p.&nbsp;39, equation 14-->。Sussmann及Willems證明了控制哈密頓量可以用在動力學上，例如[[最速降線問題]]，不過沒有提到[[康斯坦丁·卡拉西奥多里]]較早時期在此領域的貢獻<ref>See {{cite journal |first=H. J. |last=Pesch |first2=R. |last2=Bulirsch |title=The maximum principle, Bellman's equation, and Carathéodory's work |journal=Journal of Optimization Theory and Applications |volume=80 |year=1994 |issue=2 |pages=199–225 |doi=10.1007/BF02192933 }}</ref>。

== 參考資料 ==
{{reflist}}

== 外部連結 ==
* {{cite web |first=P. |last=Varaiya |title=Lecture Notes on Optimization |edition=2nd |year=1998 |url=http://paleale.eecs.berkeley.edu/~varaiya/papers_ps.dir/NOO.pdf |archivedate=April 10, 2003 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20030410164534/http://paleale.eecs.berkeley.edu/~varaiya/papers_ps.dir/NOO.pdf }}

<!--{{DEFAULTSORT:Hamiltonian (Control Theory)}}-->
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