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|G1=物理學
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[[File:WilliamRowanHamilton.jpeg|right|thumb|150px|威廉·哈密顿]]
[[File:Carl Jacobi.jpg|right|thumb|150px|卡爾·雅可比]]
在[[物理學]]裏，'''哈密頓-雅可比方程''' （Hamilton-Jacobi equation，HJE） 是[[經典力學]]的一種表述。哈密顿-雅可比方程、[[牛頓力學]]、[[拉格朗日力學]]、[[哈密頓力學]]，這幾個表述是互相全等的。而哈密顿-雅可比方程在辨明[[守恆定律|守恆]]的[[物理量]]方面，特別有用處。有時候，雖然物理問題的本身無法完全解析，哈密顿-雅可比方程仍舊能夠正確的辨明守恆的物理量。

HJE 是[[哈密顿力学|经典哈密顿量]]一个[[正则变换]]，经过该变换得到的结果是一个一阶非线性[[偏微分方程]]，方程式之解描述了系统的行为。与[[哈密顿方程|哈密顿运动方程]]的不同之处在于 HJE 是一个偏微分方程，每个变量对应于一个坐标，而哈密顿方程是一个一阶线性方程组，每两个方程对应于一个坐标。HJE 可以漂亮地解析一些重要问题，例如[[开普勒问题]]。

HJE 是唯一能夠將粒子運動表達為[[波動]]的一種力學表述。因此，HJE 滿足了一個長久以來理論物理的研究目標（早至 18 世紀，[[約翰·白努利]]和他的學生[[皮埃爾·莫佩爾蒂]]的年代）；那就是，尋找[[波傳播]]與粒子運動的相似之處。力學系統的[[波動方程式]]與[[薛丁格方程式]]很相似；但並不相同。稍後會有詳細說明。HJE 被認為是從經典力學進入[[量子力學]]最近的門階。

== 數學表述 ==
哈密頓-雅可比方程是一個一階非线性[[偏微分方程式]]。用數學表達
:<math>\mathcal{H}\left(q_{1},\ \dots,q_{N};\ \frac{\partial S}{\partial q_{1}},\ \dots,\ \frac{\partial S}{\partial q_{N}};\ t\right) + \frac{\partial S}{\partial t}=0</math> ；

其中，<math>\mathcal{H}</math> 是[[哈密頓量]]，未知函數 <math>S(q_{1},\ \dots,\ q_{N};\   a_{1},\ \dots,\  a_{N};\  t)</math> 稱為'''哈密頓主函數'''，<math>(q_{1},\ \dots,\ q_{N})</math> 是[[廣義座標]]，<math>( a_{1},\ \dots,\  a_{N})</math> 是積分常數，<math>t</math> 是時間。 

假若能夠找到哈密頓主函數 <math>S</math> 的形式，就可以計算出廣義坐標 <math>(q_{1},\ \dots,\ q_{N})</math> 與[[廣義動量]] <math>(p_{1},\ \dots,\ p_{N})</math> 隨時間的演變。這樣，可以完全地解析物理系統隨時間的演化。

== 各種力學表述的比較 ==
哈密頓-雅可比方程是一個一階非线性[[偏微分方程式]]；其中，函數 <math>S(q_{1},\ \dots,\ q_{N};\   a_{1},\ \dots,\  a_{N};\  t)</math> 有 <math>N</math> 個廣義坐標 <math>q_{1},\dots,q_{N}</math> ，和 <math>N</math> 個獨立的積分常數<math>( a_{1},\ \dots,\  a_{N})</math> 。在 HJE 中，哈密頓主函數 <math>S</math> 有一个很有意思的属性，它是一種[[作用量|经典作用量]]。

與拉格朗日力學的[[拉格朗日方程]]比較，哈密頓力學裏使用[[共軛動量]]而非[[廣義速度]]。並且，[[哈密頓方程]]乃是一組 <math>2N</math> 個一階微分方程式，用來表示 <math>N</math> 個廣義坐標和 <math>N</math> 個廣義動量隨時間的演變，而[[拉格朗日方程]]則是一組 <math>N</math> 個二階微分方程式，用來表示 <math>N</math> 個廣義坐標隨時間的演變。

因為 HJE 等價於一個最小積分問題（像[[哈密頓原理]]）， HJE 可以用於許多關於[[變分法]]的問題。更推廣地，在數學與物理的其它分支，像[[動力系統]]、[[辛幾何]]、[[混沌理論|量子混沌理論]]，都可以用 HJE 來解析問題。例如，HJE 可以用來找尋[[黎曼流形]]的[[測地線]]，這是[[黎曼幾何]]一個很重要的變分法問題。

== 導引 ==
在[[哈密頓力學]]裏，[[正則變換]]將一組[[正則坐標]] <math>(\mathbf{q},\ \mathbf{p})</math> 變換為一組新的正則坐標 <math>(\mathbf{Q},\ \mathbf{P})</math> ，而同時維持哈密頓方程式的型式（稱為'''型式不變性'''）。舊的哈密頓方程式為
:<math>\dot{\mathbf{q}} =~~\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \mathbf{p}}</math> ，
:<math>\dot{\mathbf{p}} = - \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \mathbf{q}} </math> ；

新的哈密頓方程式為
:<math>\dot{\mathbf{Q}} =~~\frac{\partial \mathcal{K}}{\partial \mathbf{P}}</math> ，
:<math>\dot{\mathbf{P}} = - \frac{\partial \mathcal{K}}{\partial \mathbf{Q}} </math> ；

這裏，<math>\mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t)</math> 、<math>\mathcal{K}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t)</math> 分別為舊的哈密頓量與新的哈密頓量，<math>t</math> 是時間。

假若，使用[[正則變換生成函數#第二型生成函數|第二型生成函數]] <math>G_2(\mathbf{q},\ \mathbf{P},\ t)</math> 來生成新正則坐標，則新舊正則坐標的關係為
:<math>\frac{\partial G_2}{\partial \mathbf{q}} = \mathbf{p}</math> ，
:<math>\frac{\partial G_2}{\partial \mathbf{P}} = \mathbf{Q}</math> 。

而新舊哈密頓量的關係為
:<math>\mathcal{K}=\mathcal{H}+\frac{\partial G_2}{\partial t}</math> 。

（條目[[正則變換]]有更詳細的说明。） 

=== 哈密頓主函數 ===
假若，可以找到一個第二型生成函數 <math>S=G_2</math> 。這生成函數使新哈密頓量 <math>\mathcal{K}</math> 恆等於 0 。稱這個生成函數 <math>S(\mathbf{q},\ \mathbf{P},\ t)</math> 為'''哈密頓主函數'''。那麼，新哈密頓量 <math>\mathcal{K}</math> 所有的偏導數都等於 0 。哈密頓方程也變得非常的簡單：
:<math>\dot{\mathbf{P}}=\dot{\mathbf{Q}}=0</math> 。

這樣，新正則坐標都成為[[運動常數]] <math>\boldsymbol{a}=( a_{1},\ \ldots,\  a_{N})</math> 、 <math>\boldsymbol{b}=( b_{1},\ \ldots,\  b_{N})</math> ：
:<math>\mathbf{P}=\boldsymbol{a}</math> ，
:<math>\mathbf{Q}=\boldsymbol{b}</math> 。

由於 <math>\mathbf{p}=\frac{\partial S}{\partial \mathbf{q}}</math> ，代入舊哈密頓量，則可得到哈密頓-雅可比方程：
:<math>\mathcal{H}\left(\mathbf{q},\ \frac{\partial S}{\partial \mathbf{q}},\ t\right) + \frac{\partial S}{\partial t}=0</math> 。

解析問題的重要關鍵是必須找到哈密頓主函數 <math>S(\mathbf{q},\ \boldsymbol{a},\ t)</math> 的方程式。一旦找到這方程式，因為
:<math>\mathbf{p}=\frac{\partial S(\mathbf{q},\ \boldsymbol{a},\ t)}{\partial \mathbf{q}}</math> ，<span style="position:absolute;right:15%">(1)</span>
:<math>\mathbf{Q}=\boldsymbol{b}= \frac{\partial S(\mathbf{q},\ \boldsymbol{a},\ t)}{\partial \boldsymbol{a}}</math> 。<span style="position:absolute;right:15%">(2)</span>

給予 <math>\mathbf{q}</math> 與 <math>\mathbf{p}</math> 在時間 <math>t=t_0</math> 的初始值， <math>\mathbf{q}_0</math> 與 <math>\mathbf{p}_0</math> ，可以求出運動常數 <math>\boldsymbol{a}</math> ，<math>\boldsymbol{b}</math> 。知道這兩組運動常數，立刻可以得到舊正則坐標 <math>\mathbf{q}</math> 與 <math>\mathbf{p}</math> 隨時間的演變。

=== 哈密頓特徵函數 ===
假設，哈密頓量不顯含時：<math>\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial t}=0</math> 。那麼，
:<math>\frac{d\mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t)}{dt}=\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \mathbf{p}}\cdot \dot{\mathbf{p}}+\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \mathbf{q}}\cdot \dot{\mathbf{q}}+\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial t}=0</math> 。

哈密頓量是一個運動常數，標記為 <math> a_{\mathcal{H}}</math> ：
:<math>\mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p})= a_{\mathcal{H}}</math> ，
:<math>\frac{\partial S}{\partial t}=\mathcal{K} - \mathcal{H}= -  a_{\mathcal{H}}</math> 。

哈密頓主函數可以分離成兩部分：
:<math>S = W(\mathbf{q},\ \boldsymbol{ a}) -  a_{\mathcal{H}}t</math> ；

其中，不含時間的函數 <math>W(\mathbf{q},\ \boldsymbol{ a})</math> 稱為'''哈密頓特徵函數'''。

思考一個新的正則變換。設定哈密頓特徵函數 <math>W(\mathbf{q},\ \boldsymbol{ a})</math> 為一個第二型生成函數 <math>G_2</math> ：
:<math>\mathbf{p}=\frac{\partial W}{\partial \mathbf{q}}</math> ，
:<math>\mathbf{Q}=\frac{\partial W}{\partial \boldsymbol{a}}</math> 。

那麼，哈密頓-雅可比方程變為
:<math>\mathcal{H}(\mathbf{q},\ \frac{\partial W}{\partial \mathbf{q}})= a_{\mathcal{H}}</math> 。

由於哈密頓特徵函數不顯含時，新舊哈密頓量的關係為
:<math>\mathcal{K}=\mathcal{H}-a_{\mathcal{H}}</math> ；

新正則坐標隨時間的導數變為
:<math>\dot{\mathbf{P}}= - \frac{\partial \mathcal{K}}{\partial  Q}=0,\!</math> ，
:<math>\dot{Q}_1=\frac{\partial \mathcal{K}}{\partial  a_1}=1</math> ，<math>\qquad\qquad</math>設定 <math>a_1</math> 為 <math>a_{\mathcal{H}}</math> ，

:<math>\dot{Q}_i=\frac{\partial \mathcal{K}}{\partial  a_i}=0</math> ，<math>\qquad\qquad</math><math>i>1</math> 。

所以，新正則坐標變為
:<math>\mathbf{P}=\boldsymbol{a}</math> ，
:<math>Q_1=t+b_1</math> ，
:<math>Q_i=b_i,\qquad\qquad I > 1 </math> 。

假若，能找到哈密頓特徵函數 <math>W(\mathbf{q},\ \boldsymbol{ a})</math> ，給予舊廣義坐標 <math>\mathbf{q}</math> 與舊廣義動量 <math>\mathbf{p}</math> 在時間 <math>t=t_0</math> 的初始值， <math>\mathbf{q}_0</math> 與 <math>\mathbf{p}_0</math> ，依照前面所述方法，就可以求出舊正則坐標隨時間的演變。

== 分離變數法 ==
哈密頓-雅可比方程最有用的時候，是當它可以使用[[分離變數法]]，來直接地辨明[[運動常數]]。假設，HJE 可以分為兩部分。一部分只跟廣義坐標 <math>q_{k}</math> 、哈密頓主函數的偏導數 <math>\frac{\partial S}{\partial q_{k}}</math> 有關，標記這部分為 <math>\psi \left(q_{k},\ \frac{\partial S}{\partial q_{k}} \right)</math> 。另一部分跟 <math>q_{k}</math> 、 <math>\frac{\partial S}{\partial q_{k}}</math> 無關。對於這狀況，哈密頓主函數 <math>S</math> 可以分離為兩個函數。一個函數 <math>S_{k}</math> 除了廣義坐標 <math>q_{k}</math> 以外，跟任何其它廣義坐標無關。另外一個函數 <math>S_{\rm rem}</math> 跟 <math>q_{k}</math> 無關。
:<math>S = S_{k}(q_{k};\ \mathbf{P}) + S_{\rm rem}(q_{1},\ \dots,\ q_{k-1},\ q_{k+1},\ \ldots,\ q_{N};\ \mathbf{P};\ t)</math> 。

由於每一個廣義動量都是運動常數，<math>\mathbf{P}=\mathbf{a}</math> ，函數 <math>S_{k}</math> 只跟廣義座標 <math>q_{k}</math> 有關：
:<math>S_{k}(q_{k};\ \mathbf{P})=S_{k}(q_{k})</math> ，
:<math>\psi \left(q_{k},\ \frac{\partial S}{\partial q_{k}} \right)=\psi \left(q_{k},\ \frac{dS_k}{dq_{k}}\right)=\psi(q_{k})</math> 。

若將哈密頓主函數 <math>S</math> 代入 HJE，則可以觀察到，<math>q_{k}</math> 只出現於函數 <math>\psi</math> 內部，而不出現於 HJE 的任何其它地方。所以，函數 <math>\psi</math> 必須等於常數（在這裏標記為 <math>\Gamma_{k}</math>）。這樣，可得到一個一階[[常微分方程]]：
:<math>\psi \left(q_{k},\ \frac{d S_{k}}{d q_{k}} \right) = \Gamma_{k}</math> 。

在某些問題裏，很幸運地，函數 <math>S</math> 可以完全的分離為 <math>N</math> 個函數 <math>S_{k}(q_{k})</math>：
:<math>S=S_{1}(q_{1})+S_{2}(q_{2})+\cdots+S_{N}(q_{N}) - a_{\mathcal{H}}t</math> 。

這些問題的偏微分方程可以分離為 <math>N</math> 個常微分方程。

哈密頓主函數 <math>S</math> 的可分性，相關於哈密頓量和廣義坐標的選擇。假若，一個物理系統符合[[施特克爾條件]] ({{lang|en|Staeckel conditions}}) ，則哈密頓主函數 <math>S</math> 可以完全分離。以下為用幾種正交座標來完全分離 HJE 的例子。

=== 球坐標系 ===
採用[[球坐標]] <math>(r,\ \theta,\ \phi)</math> ，假設一個物理系統的哈密頓量為
:<math>\mathcal{H}= \frac{1}{2m} \left[ p_{r}^{2} + \frac{p_{\theta}^{2}}{r^{2}} + \frac{p_{\phi}^{2}}{r^{2} \sin^{2} \theta} \right] + U(r,\ \theta,\ \phi)</math> ；

其中，<math>(p_r,\ p_{\theta},\ p_{\phi})</math> 是廣義動量，<math>U</math> 為[[位勢]]函數，不含時間。

那麼，哈密頓-雅可比方程可以表達為
:<math>\mathcal{H}= \frac{1}{2m} \left[\left(\frac{\partial S}{\partial r}\right)^{2} + \frac{1}{r^2}\left(\frac{\partial S}{\partial \theta}\right)^2 + \frac{1}{r^{2} \sin^{2} \theta}\left(\frac{\partial S}{\partial \phi}\right)^{2} \right] + U(r,\ \theta,\ \phi)+\frac{\partial S}{\partial t}=0</math> ；

其中，<math>S</math> 是哈密頓主函數。

假若，[[位勢]]函數 <math>U(r,\ \theta,\ \phi)</math> 的形式可以進一步設定為
:<math>U(r,\ \theta,\ \phi) = U_{r}(r) + \frac{U_{\theta}(\theta)}{r^{2}} + \frac{U_{\phi}(\phi)}{r^{2}\sin^{2}\theta}</math> ；

其中， <math>U_{r}(r)</math> 、 <math>U_{\theta}(\theta)</math> 、 <math>U_{\phi}(\phi)</math> ，都是任意函數；則 HJE 是完全可分的。將完全分離的解答 <math>S = S_{r}(r) + S_{\theta}(\theta) + S_{\phi}(\phi) - a_{\mathcal{H}}t</math> 代入 HJE ，會得到方程式

:<math>\left[\left( \frac{dS_{r}}{dr} \right)^{2} + 2m U_{r}(r)\right] + 
\frac{1}{r^{2}} \left[ \left( \frac{dS_{\theta}}{d\theta} \right)^{2} + 2m U_{\theta}(\theta) \right] + 
\frac{1}{r^{2}\sin^{2}\theta} \left[ \left( \frac{dS_{\phi}}{d\phi} \right)^{2} + 2m U_{\phi}(\phi) \right]  =2ma_{\mathcal{H}}</math> 。

變數 <math>\phi</math> 只出現於公式左手邊的第三個方括弧內；其它變數都不出現於公式的這部分。所以，可以將這部分孤立出來，成為一個常微分方程：
:<math>\left( \frac{dS_{\phi}}{d\phi} \right)^{2} + 2m U_{\phi}(\phi) = \Gamma_{\phi}
</math> ；

其中，<math>\Gamma_{\phi}</math> 是[[運動常數]]。

簡化的 HJE 跟 <math>\phi</math> 無關：
:<math> \left[\left( \frac{dS_{r}}{dr} \right)^{2} + 2m U_{r}(r) \right]+ 
\frac{1}{r^{2}} \left[ \left( \frac{dS_{\theta}}{d\theta} \right)^{2} + 2m U_{\theta}(\theta) + \frac{\Gamma_{\phi}}{\sin^{2}\theta} \right] =2m a_{\mathcal{H}}</math> 。

同樣地，可以將變數 <math>\theta</math> 出現的部分孤立出來，成為一個常微分方程：
:<math>\left( \frac{dS_{\theta}}{d\theta} \right)^{2} + 2m U_{\theta}(\theta) + \frac{\Gamma_{\phi}}{\sin^{2}\theta} = \Gamma_{\theta}</math> ；

其中，<math>\Gamma_{\theta}</math> 是運動常數。

剩下的是一個徑向距離函數 <math>S_{r}</math> 的常微分方程。：
:<math> \left( \frac{dS_{r}}{dr} \right)^{2} + 2mU_{r}(r) + \frac{\Gamma_{\theta}}{ r^{2}} =2m a_{\mathcal{H}}</math> 。

這樣，可以完全地分離 HJE 。

=== 橢圓柱坐標系 ===
採用[[橢圓柱坐標系|橢圓柱坐標]] <math>(\mu,\ \nu,\ z)</math> ，假設假設一個物理系統的哈密頓量為
:<math>\mathcal{H} = \frac{p_{\mu}^{2} + p_{\nu}^{2}}{2ma^{2} \left( \sinh^{2} \mu + \sin^{2} \nu\right)} + \frac{p_{z}^{2}}{2m}  + U(\mu,\ \nu,\ z)</math>

其中，<math>(p_{\mu},\ p_{\nu},\ p_z)</math> 是廣義動量，<math>U</math> 為[[位勢]]函數，不含時間。

那麼，哈密頓-雅可比方程可以表達為
:<math>\mathcal{H} = \frac{1}{2ma^2(\sinh^2\mu+\sin^2\nu)}\left[ \left(\frac{\partial S}{\partial \mu}\right)^2 + \left(\frac{\partial S}{\partial \nu}\right)^2\right] + \frac{1}{2m} \left(\frac{\partial S}{\partial z}\right)^{2} + U(\mu,\ \nu,\ z)+\frac{\partial S}{\partial t}=0</math> 。

假若，[[位勢]]函數 <math>U(\mu,\ \nu,\ z)</math> 的形式可以進一步設定為
:<math>U(\mu,\ \nu,\ z) = \frac{U_{\mu}(\mu) + U_{\nu}(\nu)}{\sinh^{2} \mu + \sin^{2} \nu} + U_{z}(z)</math> ；

其中，<math>U_{\mu}(\mu)</math> 、 <math>U_{\nu}(\nu)</math> 、 <math>U_{z}(z)</math> ，都是任意函數；則 HJE 是完全可分的。猜想一個完全分離解答 <math>S = S_{\mu}(\mu) + S_{\nu}(\nu) + S_{z}(z) - a_{\mathcal{H}}t</math> 。將這猜想公式代入 HJE ，
:<math>\frac{1}{2m} \left( \frac{dS_z}{dz} \right)^{2} + U_{z}(z)+ \frac{1}{2ma^2 (\sinh^2 \mu + \sin^2 \nu)}
\left[ \left( \frac{dS_{\mu}}{d\mu} \right)^{2} + \left( \frac{dS_{\nu}}{d\nu} \right)^{2} + 2m a^{2} U_{\mu}(\mu) + 2m a^{2} U_{\nu}(\nu)\right] = a_{\mathcal{H}}</math> 。

公式左手邊的前兩個項目只跟變量 <math>z</math> 有關；其它的項目都跟 <math>z</math> 無關。所以，可以將那兩個項目分離出來，成為一個常微分方程：
:<math>\frac{1}{2m} \left( \frac{dS_{z}}{dz} \right)^{2} + U_{z}(z) = \Gamma_{z}
</math> ；

其中，<math>\Gamma_{z}</math> 是運動常數。

簡化的 HJE 跟 <math>z</math> 有關：
:<math>\left( \frac{dS_{\mu}}{d\mu} \right)^{2} + \left( \frac{dS_{\nu}}{d\nu} \right)^{2} + 2m a^{2} U_{\mu}(\mu) + 2m a^{2} U_{\nu}(\nu) = 2ma^{2} \left( \sinh^{2} \mu + \sin^{2} \nu\right) \left(a_{\mathcal{H}} - \Gamma_{z} \right)</math> 。

這公式又可以分離成兩個相互獨立的常微分方程：
:<math>\left( \frac{dS_{\mu}}{d\mu} \right)^{2} + 2m a^{2} U_{\mu}(\mu) + 2ma^{2} \left(\Gamma_{z} - a_{\mathcal{H}} \right) \sinh^{2} \mu = \Gamma_{\mu}</math> ，

:<math>\left( \frac{dS_{\nu}}{d\nu} \right)^{2} + 2m a^{2} U_{\nu}(\nu) + 2ma^{2} \left(\Gamma_{z} - a_{\mathcal{H}} \right) \sin^{2} \nu  = - \Gamma_{\mu}</math> 。

其中，<math>\Gamma_{\mu}</math> 是運動常數。

這樣，可以完全地分離 HJE 。

=== 拋物柱面坐標系 ===
採用[[拋物柱面坐標系|拋物柱面坐標]] <math>(\sigma,\ \tau,\ z)</math> ，假設假設一個物理系統的哈密頓量為
:<math>\mathcal{H}= \frac{p_{\sigma}^{2} + p_{\tau}^{2}}{2m \left( \sigma^{2} + \tau^{2}\right)} + \frac{p_{z}^{2}}{2m}  + U(\sigma,\ \tau,\ z)</math> ；

其中，<math>(p_{\sigma},\ p_{\tau},\ p_z)</math> 是廣義動量，<math>U</math> 為[[位勢]]函數，不含時間。

那麼，哈密頓-雅可比方程可以表達為
:<math>\mathcal{H}=\frac{1}{2m (\sigma^2 + \tau^2)}\left[ \left(\frac{\partial S}{\partial \sigma}\right)^2+\left(\frac{\partial S}{\partial \tau}\right)^2\right]
+ \frac{1}{2m}\left(\frac{\partial S}{\partial z}\right)^{2}  + U(\sigma,\ \tau,\ z)+\frac{\partial S}{\partial t}=0</math> 。

假若，[[位勢]]函數 <math>U(\sigma,\ \tau,\ z)</math> 的形式可以進一步設定為
:<math>U(\sigma,\ \tau,\ z) = \frac{U_{\sigma}(\sigma) + U_{\tau}(\tau)}{\sigma^{2} + \tau^{2}} + U_{z}(z)</math> ；

其中，<math>U_{\sigma}(\sigma)</math> 、 <math>U_{\tau}(\tau)</math> 、 <math>U_{z}(z)</math> ，都是任意函數；則 HJE 是完全可分的。猜想一個完全分離解答 <math>S = S_{\sigma}(\sigma) + S_{\tau}(\tau) + S_{z}(z) - a_{\mathcal{H}}t</math> 。將這猜想公式代入 HJE ，
:<math>\frac{1}{2m} \left( \frac{dS_{z}}{dz} \right)^{2} + U_{z}(z) + 
\frac{1}{2m \left( \sigma^{2} + \tau^{2} \right)} \left[ \left( \frac{dS_{\sigma}}{d\sigma} \right)^{2} + \left( \frac{dS_{\tau}}{d\tau} \right)^{2} + 2m U_{\sigma}(\sigma) + 2m U_{\tau}(\tau)\right] = a_{\mathcal{H}}</math> 。

公式左手邊的前兩個項目只跟變量 <math>z</math> 有關；其它的項目都跟 <math>z</math> 無關。所以，可以將那兩個項目分離出來，成為一個常微分方程：
:<math>\frac{1}{2m} \left( \frac{dS_{z}}{dz} \right)^{2} + U_{z}(z) = \Gamma_{z}</math> ；

其中，<math>\Gamma_{z}</math> 是運動常數。

簡化的HJE跟 <math>z</math> 無關：
:<math>\left( \frac{dS_{\sigma}}{d\sigma} \right)^{2} + \left( \frac{dS_{\tau}}{d\tau} \right)^{2} + 2m U_{\sigma}(\sigma) + 2m U_{\tau}(\tau) = 2m \left( \sigma^{2} + \tau^{2} \right) \left( a_{\mathcal{H}} - \Gamma_{z} \right)</math> 。

這公式又可以分離成兩個相互獨立的常微分方程：

:<math>\left( \frac{dS_{\sigma}}{d\sigma} \right)^{2} + 2m U_{\sigma}(\sigma) + 2m\sigma^{2} \left(\Gamma_{z} - a_{\mathcal{H}} \right) = \Gamma_{\sigma}</math> ，

:<math>\left( \frac{dS_{\tau}}{d\tau} \right)^{2} + 2m a^{2} U_{\tau}(\tau) + 2m \tau^{2} \left(\Gamma_{z} - a_{\mathcal{H}} \right) = - \Gamma_{\sigma}</math> ；

其中，<math>\Gamma_{\sigma}</math> 是運動常數。

這樣，可以完全地分離HJE。

== 薛丁格方程式 ==
{{Image|zh-hans=Hamilton analogy zh-hans.svg|zh-hant=Hamilton analogy zh-hant.svg|thumb|200px|right|薛定諤將哈密頓類比延伸至量子力學與波動光學之間。<ref name=Joas/>}}
「哈密頓類比」是[[威廉·哈密頓]]在研究[[古典力學]]時給出的理論，又稱為「光學-力學類比」；哈密頓指出，在古典力學裏粒子的運動軌道，就如同在[[幾何光學]]裏光線的傳播路徑；垂直於這軌道的等[[作用量]]曲面，就如同垂直於路徑的等傳播時間曲面；描述粒子運動的[[最小作用量原理]]，就如同描述光線傳播的[[費馬原理]]。哈密頓發現，使用哈密頓-雅可比方程式，可以推導出最小作用量原理與費馬原理；同樣的形式論，可以描述光的物理行為，不論光是由遵守費馬原理的光線組成，還是由遵守最小作用量原理的粒子組成。<ref name=Joas>{{cite journal
 | last1 =Joas
 | first1 =Christian
 | last2 =Lehner
 | first2 =Christoph
 | title =The classical roots of wave mechanics: Schrödinger's transformations of the optical-mechanical analogy
 | journal =Studies in History and Philosophy of Modern Physics
 | volume =40
 | issue =4
 | pages =338-351
 | date =2009
 | url =http://quantum-history.mpiwg-berlin.mpg.de/eLibrary/fileserverPub/Joas-Lehner_2009_Optical-mechanical.pdf/V1_Joas-Lehner_2009_Optical-mechanical.pdf
 | issn =1355-2198
}}</ref>

很多光的性質，例如，[[衍射]]、[[干涉]]等等，無法用幾何光學的理論來作解釋，必須要用到波動光學的理論來證實。。這意味著幾何光學不等價於波動光學，幾何光學是波動光學的波長超短於粒子軌道[[曲率半徑]]的極限案例。哈密頓又研究發現，使用哈密頓-雅可比方程式也可以描述波動光學裏遵守[[惠更斯原理]]的光波，只要將光線的等傳播時間曲面改為光波的[[波前]]。薛丁格尋思，古典力學與量子力學之間的關係，就如同幾何光學與波動光學之間的關係；哈密頓-雅可比方程式應該對應於量子力學的波動方程式在某種極限的案例，而這極限應該也是物質波波長超短於粒子軌道曲率半徑的極限（或按照[[對應原理]]，普朗克常數趨於0的極限）；按照先前哈密頓類比的模式，依樣畫葫蘆，應該可以找到正確形式的波動方程式。這想法很正確，經過一番努力，他成功地推導出[[薛丁格方程式]]。<ref name=Joas/><ref name=sch>{{Citation|last=薛丁格 |first=埃爾溫 |title=An Undulatory Theory of the Mechanics of Atoms and Molecules |journal=Phys. Rev. |volume=28 |issue=6 |pages=1049–1070 |date=December 1926 |url=http://home.tiscali.nl/physis/HistoricPaper/Schroedinger/Schroedinger1926c.pdf |format=PDF |id=英文版本 |doi=10.1103/PhysRev.28.1049 |deadurl=yes |archiveurl=https://web.archive.org/web/20081217040121/http://home.tiscali.nl/physis/HistoricPaper/Schroedinger/Schroedinger1926c.pdf |archivedate=2008-12-17 }}</ref>

=== 粒子方程式&rArr;波動方程式 ===
設想一個粒子，運動於一個保守的位勢 <math>U(\mathbf{r})</math> ，它的哈密頓-雅可比方程為<ref name = sch/>
:<math>\frac{1}{2m} \left( \boldsymbol\nabla S \right)^{2} + U + \frac{\partial S}{\partial t} = 0</math> ；

其中，<math>S(\mathbf{r},\ \boldsymbol{a};\ t)</math> 是哈密頓主函數。

由於位勢與時間無關，哈密頓主函數可以分離成兩部分：
:<math>S = W(\mathbf{r},\ \boldsymbol{ a}) -  Et</math> ；

其中，不含時的函數 <math>W(\mathbf{r},\ \boldsymbol{ a})</math> 是哈密頓特徵函數，<math>E</math> 是能量。

將哈密頓主函數的公式代入哈密頓-雅可比方程，稍加運算，可以得到
:<math>|\boldsymbol{\nabla} S|= \sqrt{2m(E-U)}</math> ；

哈密頓主函數對於時間的全導數是
:<math>\frac{dS}{dt}=\frac{\partial S}{\partial t} +\nabla S\cdot\frac{d\mathbf{r}}{dt}</math> 。

哈密頓主函數 <math>S</math> 的常數[[等值曲面]] <math>\sigma_0</math> 在空間移動的方程式為
:<math>0=\frac{\partial S}{\partial t} +\nabla S\cdot\frac{d\mathbf{r}}{dt}= - E +\nabla S\cdot\frac{d\mathbf{r}}{dt}</math> 。

所以，在設定等值曲面的正負面後，<math>\sigma_0</math> 朝著[[法線]]方向移動的速度 <math>u</math> 是
:<math>u=\frac{dr}{dt}=\frac{E}{|\nabla S|}=\frac{E}{ \sqrt{2m(E - U)}}</math> 。

這速度 <math>u</math> 是[[相速度]]，而不是粒子的移動速度 <math>v</math> ：
:<math>v=\frac{|\boldsymbol{\nabla} S|}{m}=\sqrt{\frac{2(E-U)}{m}}</math> 。

想像 <math>\sigma_0</math> 為一個[[相位]]曲面。既然粒子具有[[波粒二象性]]，試著給予粒子一個相位與 <math>S</math> 成比例的[[波函數]]：
:<math>\Psi(\mathbf{r},\,t)=A(\mathbf{r})e^{iS/\kappa}</math> ；

其中，<math>\kappa</math> 是常數，<math>A(\mathbf{r})</math> 是跟位置有關的係數函數。

將哈密頓主函數的公式代入 <math>\Psi(\mathbf{r},\,t)</math> 波函數，
:<math>\Psi(\mathbf{r},\,t)=A(\mathbf{r})e^{i(W - Et)/\kappa}</math> 。

注意到 <math>E/\kappa</math> 的因次必須是頻率，薛丁格突然想到愛因斯坦的光電效應理論 <math>E=\hbar \omega</math> ；其中，<math>\hbar </math> 是[[約化普朗克常數]]，<math>\omega</math> 是[[角頻率]]。他嘗試設定 <math>\kappa=\hbar</math> ，粒子的波函數 <math>\Psi</math> 變為
:<math>\Psi(\mathbf{r},\,t)=A(\mathbf{r})e^{i(W - Et)/\hbar}=\psi(\mathbf{r})e^{ - iEt/\hbar}</math> ；

其中，<math>\psi(\mathbf{r})=A(\mathbf{r})e^{iW(\mathbf{r})/\hbar}</math> 。

<math>\Psi(\mathbf{r},\,t)</math> 的[[波動方程式]]為
:<math>\nabla^2 \Psi - \frac{1}{u^2}\frac{\partial^2 \Psi}{\partial t^2}=0</math> 。

將 <math>\Psi(\mathbf{r},\,t)</math> 波函數代入波動方程式，
經過一番運算，得到
:<math>\nabla^2 \Psi - \frac{E^2}{\hbar^2u^2}\Psi=\nabla^2 \Psi - \frac{2m(E - U)}{\hbar^2}\Psi=0</math> 。

注意到 <math>E\Psi=i\hbar\frac{\partial \Psi}{\partial t}</math> 。稍加編排，可以推導出含時薛丁格方程式：
:<math> - \frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \Psi(\mathbf{r},\,t) +U\Psi(\mathbf{r},\,t)=i\hbar\frac{\partial \Psi(\mathbf{r},\,t)}{\partial t}</math> 。

=== 波動方程式&rArr;粒子方程式 ===
逆反過來，從薛丁格方程式開始：<ref name=Sakurai>{{Citation  | last1 = Sakukrai  | first1 = J. J.  |last2 = Napolitano  | first2 = Jim  | title = Modern Quantum Mechanics  | edition = 2nd  | publisher = Addison-Wesley  | year = 2010 | isbn =978-0805382914  }}</ref>{{rp|102-103}}
:<math> - \frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \Psi(\mathbf{r},\,t) +U\Psi(\mathbf{r},\,t)=i\hbar\frac{\partial \Psi(\mathbf{r},\,t)}{\partial t}</math> 。

猜想 <math>\Psi</math> 的形式為
:<math>\Psi = \psi(\mathbf{r}) e^{iS(\mathbf{r},\,t)/\hbar}</math> 。

將 <math>\Psi</math> 代入薛丁格方程式，稍加運算，可以得到
:<math>\frac{1}{2m} \left( \boldsymbol\nabla S \right)^{2} + U + \frac{\partial S}{\partial t} = \frac{i\hbar}{2m} \nabla^{2} S</math> 。
取經典極限，<math>\hbar \rightarrow 0</math>，則可得到哈密頓-雅可比方程：
:<math>\frac{1}{2m} \left( \boldsymbol\nabla S \right)^{2} + U + \frac{\partial S}{\partial t} = 0</math> 。

由於這取極限的動作，在[[希爾伯特空間]]裏對於態向量的描述改變為在[[相空間]]裏對於粒子位置與動量的描述。薛丁格方程屬於[[線性方程]]，假若<math>\chi_1</math>、<math>\chi_2</math>皆是薛丁格方程的解答，則它們的[[疊加原理|線性疊加]]<math>c_1\chi_1+c_2\chi_2</math>必定也是解答，其中<math>c_1</math>、<math>c_2</math>皆是複係數。哈密頓-雅可比方程屬於[[線性方程|非線性方程]]，假若<math>f_1</math>、<math>f_2</math>皆是哈密頓-雅可比方程的解答，則它們的線性疊加<math>c_1f_1+c_2f_2</math>必定不是解答。這意味著，在量子力學可以觀察得到的[[量子疊加]]現象，無法出現在經典力學。但是，簡單地推論，經典力學應是量子力學的極限案例，為什麼量子疊加現象無法出現於經典力學裏？這不僅僅是個理論問題，在實驗室裏，時常可以觀察到微觀粒子呈現出量子疊加現象，為什麼無法觀察到宏觀物體呈現出同樣的現象<ref>{{cite journal | author =Angelo Bassi, et al. | title =Models of wave-function collapse, underlying theories, and experimental tests | journal =Reviews of Modern Physics | volume =85 | issue =2 | pages =471-528 | date =2 April 2013 | url =http://arxiv.org/abs/1204.4325}}</ref>{{rp|第1A節}}？更詳盡內容，請參閱條目[[量子退相干]]。

== 重力場 ==
重力場可以用哈密頓-雅可比方程表達為
:<math>g^{ik}\frac{\partial{S}}{\partial{x^{i}}}\frac{\partial{S}}{\partial{x^{k}}} - m^{2}c^{2} = 0</math> ；

其中，<math>g^{ik}</math> 是[[度規張量]][[逆變]] ({{lang|en|contravariant}}) 分量，<math>m</math> 是固有質量，<math>c</math> 是[[光速]]。

== 參閱 ==
* [[哈密頓方程]]
* [[作用量]]
* [[作用量-角度坐標]]
* [[拉普拉斯-龍格-冷次向量#克卜勒問題 LRL 向量恆定的證明# 哈密頓-亞可比方程式|拉普拉斯-龍格-冷次向量]]

== 參考文獻 ==
{{reflist}}
# Hamilton W. (1833) "On a General Method of Expressing the Paths of Light, and of the Planets, by the Coefficients of a Characteristic Function", ''Dublin University Review'', pp. 795-826。
# Hamilton W. (1834) "On the Application to Dynamics of a General Mathematical Method previously Applied to Optics",  ''British Association Report'', pp.513-518。
# Eisenhart L.P., "Separable Systems of Stackel", "The Annals of Mathematics", 2nd Ser., Vol. 35, No. 2 (Apr., 1934), pp. 284-305
# Eisenhart L.P., "Separable Systems in Euclidean 3-Space", "Physical Review", vol. 45, Issue 6, pp. 427-428。
# {{cite book | author=H. Goldstein | title=Classical Mechanics | publisher=Addison Wesley | year=2002 | id=ISBN 978-0-201-65702-9}}
# {{cite book | author=A. Fetter and J. Walecka | title=Theoretical Mechanics of Particles and Continua | publisher=Dover Books | year=2003 | id=ISBN 978-0-486-43261-8}}
# Landau L.D., Lifshitz L.M., "Mechanics", Elsevier, Amsterdam … Tokyo, 1975。

[[Category:力學|H]]
[[Category:哈密頓力學|H]]
[[Category:偏微分方程|H]]