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{{NoteTA|G1=Math}}

在[[環論]]中，'''商環'''（或稱'''剩餘類環'''）是環對一個[[理想 (環論)|理想]]的商結構。

==定義==
設<math>R</math>為一''環''，<math>I \subset R</math>為一''雙邊理想''。定義下述[[等價關係]]
: <math>x \sim y \iff x-y \in I</math>

令<math>R/I</math>為其等價類的集合，其中的元素記作<math>a + I</math>，其中<math>a</math>是該元素在<math>R</math>上任一代表元。我們可以在<math>R/I</math>上定義環結構：
: <math>(a+I) +(b+I) =(a+b) + I </math>
: <math>(a+I) \cdot(b+I) = ab + I </math>

以上運算是明確定義的（在第二式中須用到<math>I</math>是雙邊理想）。集合<math>R/I</math>配合上述運算稱作<math>R</math>對<math>I</math>的'''商環'''。根據定義，商映射<math>R \rightarrow R/I, a \mapsto a+I</math>是滿的環同態，<math> I </math>為此同態的核。

如果<math>R</math>含單位元<math>1</math>，則<math>1+I</math>是<math>R/I</math>的單位元。

'''註'''：若條件弱化為<math>I</math>是左（或右）理想，上述兩式仍可賦予集合<math>R/I</math>左（或右）<math>R</math>-[[模]]結構。

==例子==
* 最平凡的例子是<math>I=(0), I=R</math>，此時分別得到<math>R/I=R, R/I=(0)</math>。
* 取<math>R = \mathbb{Z}, I = n\mathbb{Z}</math>，商環<math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math>可視為[[同餘|模運算]]的代數框架，其中的元素即模<math>n</math>的剩餘類。
* 商環是構造[[代數擴張]]的主要工具。例如取實係數多項式環<math>R = \mathbb{R}[X]</math>，<math>I =(X^2+1)\mathbb{R}[X]</math>，則商環<math>\mathbb{R}[X]/(X^2+1)</math>與複數域<math>\mathbb{C}</math>同構（考慮映射<math>f (X) +(X^2+1) \mapsto f (i)</math>）。一般而言，設<math>F</math>為一個[[域]]，<math>p (X) \in F[X]</math>為<math>F</math>上的不可約多項式，則商環<math>F[X]/p (X)</math>的意義在於抽象地在<math>F</math>上加進<math>p (X)</math>的一個根。

==性質==
商環由下述泛性質唯一決定（至多差一個同構）：

:設<math>\pi: R \rightarrow R/I</math>為商同態；對任何環同態<math>\phi: R \rightarrow S</math>，若  <math>\mathrm{Ker}(\phi) \supset I</math>，則存在唯一的同態<math>\psi: R/I \rightarrow S </math>，使得<math>\psi \circ \pi = \phi</math>。

事實上，若更設<math>\mathrm{Ker}(\phi)=(0)</math>，則<math>\psi: R/I \rightarrow S</math>是單射。準此，<math>R</math>的同態像無非是<math>R</math>的商環。

理想的性質常與其商環相關，例如當<math>R</math>是交換含-{zh-hans:幺;zh-hk:幺;zh-tw:幺;}-環時，<math>I</math>是[[素理想]]（或[[極大理想]]）若且唯若<math>R/I</math>是[[整環]]（或[[域]]）；<math>R</math>中包含<math>I</math>的理想一一對應於<math>R/I</math>中的所有理想，此對應由商映射的逆像給出。

==文獻==
* Serge Lang, ''Algebra''（2002）, Springer-Verlag. ISBN 0-387-95385-X

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[[Category:抽象代數|S]]
[[Category:环论|S]]