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{{NoteTA
|G1=Math
}}
'''單峰映象'''（{{lang|en|'''logistic map'''}}）是種二次的[[多項式]][[映射]]（[[遞迴關係式]]），是一個由簡單[[非線性]]方程式產生[[混沌理論|混沌]]現象的經典範例。這種映射因生物學家Robert May在1976年發表的一篇論文而著名。單峰映象原本被Pierre François Verhulst用作一個[[人口學]]模型，後來應用在物種受到限制因素之下的數目<ref>"{{MathWorld | urlname=LogisticEquation | title= Logistic Equation}}</ref>。數學上可寫成

:<math>x_{n+1} = r x_n (1-x_n)</math>

其中
*<math>x_n</math>是介於0和1之間的數，表示在第<math>n</math>年的物種數目。
*<math>r</math>是正整數，是根據繁殖和餓死率而得出的數。

單峰映象是根據以下兩個現象：
# 當人口少時，[[繁殖]]增加的人口大致跟物種的原本總數目成正比；
# 環境資源有一「最大容量」，當人口接近最大容量時，人口可能會下降。

可是在特定初始條件及參數時，單峰映象的人口模型會出現負的人口數，較早期使用的{{link-en|Ricker模型|Ricker model}}也有[[混沌理論|混沌]]現象，但沒有這種問題。

<math>r=4</math>的單峰映象是{{link-en|位元移動映射|bit shift map}}及參數μ=2的[[帳篷映射]]的非線性變換。

==r的值對結果的影響==
[[File:Logistic map with parameter from 0.02 to 4 t from 0 to 200.gif|Logistic map with parameter from 0.02 to 4 t from 0 to 200.gif]]
變化參數<math>r</math>的值，其結果如下：
* 0和1之間：不論啟始值數值為何，<math>x_n</math>會越來越少，最後趨近於0。
* 1和2之間：不論啟始值數值為何，<math>x_n</math>會快速的趨近<math>\frac{r-1}{r}</math>。
* 2和3之間：經過幾次迭代，<math>x_n</math>也會越來越接近<math>\frac{r-1}{r}</math>，但一開始會在這個值左右振動，而收斂速率是線性的。
* 3：<math>x_n</math>仍然會越來越接近<math>\frac{r-1}{r}</math>，但收斂速率极为缓慢，不是線性的。
* 3和<math>1+\sqrt{6}</math>（約3.45）之間：針對[[幾乎所有]]的初值，<math>x_n</math>最後會在2個值之間持續的震盪，即<math>x_n</math>最後會是a,b,a,b...的變化，其數值和<math>r</math>有關。
* 3.45和大約3.54之間，針對幾乎所有的初值，<math>x_n</math>最後會在4個值之間持續的震盪。
* 約大於3.54：<math>x_n</math>最後會在8個、16個、32個值……之間持續的震盪，至於<math>r</math>何時會令<math>x_n</math>的值由n個到2n個，則和[[費根鮑姆常數]]<math>\delta=4.669...</math>有關。
* 約為3.5699：這樣的振動消失，整個系統開始在[[混沌理論|混沌]]的狀態之中。針對幾乎所有的初值，都不會出現固定週期的震盪，初值再微小的變化，隨著時間都會使結果產生明顯的差異，這就是典型混沌的特性。
* 大於3.5699：整個系統在[[混沌理論|混沌]]的狀態之中。不過，當中有些特定的<math>r</math>值還是使系統變成非混沌，有週期性的結果，這些區間稱為「穩定岛」。例如當<math>r</math>約大於3.82，會出現3個值的週期，再大一點出現6個值及12個值的週期。
* 當<math>r</math>從大約3.5699到大約3.8284之間，系統混沌性質發展的現象有時會稱為{{link-en|Pomeau–Manneville場景|Pomeau–Manneville scenario}}，其特徵是週期性的震盪和非週期性的行為會穿插出現。此特徵可以應用在半導體元件中<ref name="carson82">
{{cite journal
|author=Carson Jeffries
|coauthors=Jose Perez
|journal=Physical Review A
|year=1982
|title=Observation of a Pomeau–Manneville intermittent route to chaos in a nonlinear oscillator
|volume=26 |issue=4 |pages=2117–2122
|doi=10.1103/PhysRevA.26.2117
|bibcode = 1982PhRvA..26.2117J }}</ref>。也有其他區域會使系統的週期為5個值，不管任意週期都存在某特定的<math>r</math>，使週期為指定值。<!--自「A '''period-doubling window'''」到「starting with arbitrarily large ''c''」部份的英文內容省略沒翻譯-->  
* 大於4：針對幾乎所有的初值，系統最後都會超過区间[0,1]并且发散。

對於任一個<math>r</math>值，最多只有一個穩定的[[極限環]]，若穩定極限環存在，幾乎所有的點最後都會趨近極限<ref>Collet, Pierre, and {{tsl|en|Jean-Pierre Eckmann||Jean-Pierre Eckmann}}, ''Iterated Maps on the Interval as Dynamical Systems'', Birkhauser, 1980.</ref>{{rp|13}}。若某一個<math>r</math>值有一個穩定的極限環，可能也有無限個不同週期的不穩定極限。

這些情況可用{{link-en|分枝圖|Bifurcation diagram}}表示，分枝圖中的橫軸是參數<math>r</math>的數值，縱軸中顯示大部份初值下，穩態可能的<math>x</math>值，若最後數值會在2個值中震盪，分枝圖上對應的數值就會有2點。若某特定<math>r</math>值下，已無法明確的看到有幾個對應的點，當時系統可能已經在混沌狀態下。

分枝圖有[[自相似]]的特性。若將分枝圖中<math>r = 3.82</math>的部份展開，只取三個分支中的一個。其圖形會好像是原分枝圖縮放及扭曲後的結果。針對所有非混沌的參數<math>r</math>都有此一特性。以此可以看出混沌和[[分形]]深入及明顯的關係。

[[File:LogisticMap BifurcationDiagram.png|center|512px]]

==單峰映象和混沌==
[[Image:Logistic map scatterplots large.png|thumb|500px|right|r=4的單峰映象，二維及三維的相圖，其中可看出其拉伸及摺疊的特性]]
[[File:Logistic map phase plot of x-n+1--x-n- vs x-n-.gif|right|x[n+1]-x[n] vs x[n] 动画]]
[[Image:LogisticCobwebChaos.gif|thumb|400px|right|單峰映象的{{link-en|蛛網圖|cobweb diagram}}，在超過3.57的大部份r值可看出其混沌的特性]]
和其他混沌系統比較，單峰映象較為簡單，是一個說明混沌特性的很好的例子。簡單來說，混沌就是對初始條件的高度靈敏度。<math>r</math>是在3.57及4之間的大部份數值都可以使單峰映象出現此一特性。對初始條件有高度靈敏度的常見原因是映射本身是對定義域的拉伸及摺疊。單峰映象的二次[[差分方程]]可視為是對於區間(0,1)拉伸及摺疊的過程。

利用二維及三維的[[相圖 (動態系統)|相圖]]可以看出一些單峰映象的特性。以<math>r=4</math>的單峰映象為例，二維相圖為一抛物線，但是若用<math>(x_n, x_{n+1}, x_{n+2}) </math>繪製三維相圖，可看出進一步的結構，例如幾個一開始很接近的點在迭代後開始發散．特別是位在斜率較大位置的點。

拉伸及摺疊的結果使迭代的數列以指數形式發散（參照[[李亞普諾夫指數]]），可以用有混沌特性時，單峰映象的复杂及不可預測性說明這一點。事實上，數列的指數發散說明了混沌和不可預測性之間的關係：初值微小的誤差在迭代過程中會以[[指數成長]]的方式增加。因此當對於初始狀態的資訊中有微小的誤差時．對未來狀態的預測準確度也會隨迭代次數增加而快速變差。

由於映象是限制在實數數線的一段範圍內，其維度小於或等於1。依[[數值分析]]的結果，在r=3.5699456...時（剛開始混沌特性時），其{{link-en|關聯維度|correlation dimension}}為0.500 ± 0.005<ref name="Grassberger,1983">{{cite journal
 | author=Peter Grassberger and I. Procaccia
 | title=Measuring the strangeness of strange attractors
 | journal=Physica D
 | year = 1983 | volume = 9
 | issue=1–2 | pages=189–208
 | bibcode = 1983PhyD....9..189G
 | doi = 10.1016/0167-2789(83)90298-1
 }}</ref>（Peter Grassberger,1983）、[[豪斯多夫维数]]大約是0.538<ref>{{cite journal
 | author = Peter Grassberger
 | title = On the Hausdorff dimension of fractal attractors
 | journal=Journal of Statistical Physics
 | year=1981 | volume=26
 | issue = 1 | pages=173–179
 | doi = 10.1007/BF01106792
 |bibcode = 1981JSP....26..173G }}</ref>，而[[分形维数]]為0.5170976...<ref name="Grassberger,1983"/>。

[[Image:Logistic map.png|right|thumb|300px|r=3.5的單峰映象，在頭三次迭代後的函數]]

有些混沌系統可對於其未來狀態的可能性作準確的描述。若一個可能有混沌特性的[[動態系統]]存在[[吸引子]]，則存在一{{link-en|機率量測|Probability measure}}描述系統長期下，在吸引子各部份所花時間的比例。以<math>r=4</math>的單峰映象而言，啟始狀態在區間(0,1)中，而吸引子也在間(0,1)中，其機率量測對應參數<math>a=0.5, b=0.5</math>的[[Β分布]]<ref>Jakobson, M.,"Absolutely continuous invariant measures for one-parameter families of one-dimensional maps," ''Communications in Mathematical Physics'' 81, 1981, 39-88.</ref>，其{{link-en|不變測度|invariant measure}}為<math>\pi ^{-1}x^{-1/2}(1-x)^{-1/2}</math>。不可預期性和隨機不同，不過在一些情形下這二很類似，而且即使對單峰映象（或其他混沌系統）初值只有很少的資訊，仍然可以針對長期的分佈作某種程度的預測。

==部份情形下的解==

在<math>r = 4</math>及<math>r = 2</math>的特殊情形下，單峰映象有解析解<ref name="Schröder"/>。不過大部份情形下的通解只能以統計的方式預測<ref>{{cite journal | last1 = Little | first1 = M. | last2 = Heesch | first2 = D. | author-separator = , | author-name-separator =  | year = 2004 | title = Chaotic root-finding for a small class of polynomials | url = http://www.eng.ox.ac.uk/samp/members/publications/GDEA41040.pdf | format = PDF | journal = Journal of Difference Equations and Applications | volume = 10 | issue = 11 | pages = 949–953 | doi = 10.1080/10236190412331285351 }}{{dead link|date=2017年12月 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}</ref>。  
<math>r = 4</math>的解為<ref name="Schröder">：
{{cite journal |doi=10.1007/BF01443992 |last=Schröder |first=Ernst |authorlink=Ernst Schröder |coauthors= |year=1870 |month= |title=Über iterierte Funktionen |journal=Math. Ann. |volume=3 |issue= 2|pages=296–322 |id= |url= |accessdate= |quote= }}</ref><ref>Lorenz, Edward (1964), "The problem of deducing the climate from the governing equations," ''Tellus'' 16 (February): 1-11.</ref> 

:<math>x_{n+1}=\sin^{2}(2^{n} \theta \pi)</math>

其中初始條件參數<math>\theta</math>是由<math>\theta = \tfrac{1}{\pi}\sin^{-1}(x_0^{1/2})</math>求得。針對有理數的<math>\theta</math>，有限次數的迭代後<math>x_n</math>就會變成一個週期性的數列。不過幾乎所有的<math>\theta</math>都是無理數，此時<math>x_n</math>不會重複，因此沒有週期解。此解可以清楚的看出混沌的二個重要特徵：拉伸及摺疊。係數2<sup>''n''</sup>表示拉伸的指數成長，因此造成[[蝴蝶效应]]，也就是對初始值的高度靈敏性，而解中包括正弦函數的平方，使解摺疊在[0,&nbsp;1]的範圍內。

<math>r = 2</math>的解為：

<math>x_n = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}(1-2x_0)^{2^{n}}</math>

對於<math>x_0 \in [0,1)</math>。此解沒有混沌的特性。由於對於不包括不穩定固定點0在內的<math>x_0</math>，當''n''趨近無限大時<math>(1-2x_0)^{2^{n}}</math>會趨近於零，因此<math>x_n</math>會趨近穩定的固定點<math>\tfrac{1}{2}.</math>。

==''r'' = 4時找任意週期的循環==

''r'' = 4時，幾乎所有的初值都會使單峰映象出現混沌特性，不過也存在無限個初值會使單峰映象最後呈週期性變化，而且對於所有正整數，都存在一初值使單峰映象的週期為該正整數。可以利用單峰映象和{{link-en|位元位移映射|bit-shift map}}之間的關係來找出任何週期的循環。若''x''依照單峰映象<math>x_{n+1} = 4 x_n(1-x_n) \,</math>而''y''依照位元位移映射

: <math>y_{n+1}=\begin{cases}2y_n & 0 \le y_n < 0.5 \\2y_n -1 & 0.5 \le y_n < 1, \end{cases}</math>

則二個變數的關係如下：

:<math>x_{n}=\sin^{2}(2 \pi y_{n})</math>.

位元位移映射其名稱是因為當''y''以二進制表示時，映射會將二進制的數字左移一位。例如若數字是二進制的循環小數，循環節為001，則位元位移映射的序列為001001001... →010010010... →100100100... →001001001...，為週期為3的循環，循環節為010, 011, 100, 101, 110 時也會有類似情形，這些循環小數都可以轉換為對應的分數，上例若以分數表示為：1/7 → 2/7 → 4/7 → 1/7。轉換到r=4的單峰映象後，為611260467... → .950484434... → .188255099... → .611260467...。其他週期為3的循環也可以轉換為單峰映象。依相同方式也可以找出在
位元位移映射下，任意週期的循環，再轉換為單峰映象。

不過幾乎所有在區間[0, 1)的數字都是無理數，而初始值為無理數的位元位移映射沒有循環的特性，因此對應的單峰映象也沒有循環的特性。

==相關條目==
*[[混沌理论]]
*[[刚性方程]]
*[[李雅普诺夫稳定性]]

==參考資料==
{{reflist}}

===教科書===
* {{cite book | last = Sprott | first = Julien Clinton | title = Chaos and Time-Series Analysis | publisher = Oxford University Press | year = 2003 | isbn = 0-19-850840-9 }}
* {{cite book | last = Strogatz | first = Steven | title = Nonlinear Dynamics and Chaos | publisher = Perseus Publishing | year = 2000 | isbn = 0-7382-0453-6 }}
* {{cite book | first = Nicholas | last = Tufillaro | coauthors = Tyler Abbott, Jeremiah Reilly | title = An experimental approach to nonlinear dynamics and chaos | publisher = Addison-Wesley New York | year = 1992 | isbn = 0-201-55441-0 }}

==外部連結==
*[https://web.archive.org/web/20110614061951/http://classes.yale.edu/Fractals/MandelSet/MandelDef/LogisticMand/LogisticMand.html 曼德博集合和單峰映像的聯繫]
* [http://hypertextbook.com/chaos/ The Chaos Hypertextbook]
* [https://web.archive.org/web/20060211001015/http://www.ibiblio.org/e-notes/MSet/Logistic.htm Java Applet]
* [http://yuval.bar-or.org/index.php?item=4 Logistic Map Simulation]. A Java applet simulating the Logistic Map by Yuval Baror.
* [https://www.webcitation.org/query?url=http://www.geocities.com/CapeCanaveral/Hangar/7959/logisticmap.html&date=2009-10-25+06:37:07  Logistic Map]. Contains an interactive computer simulation of the logistic map.
* [http://hypertextbook.com/chaos/ The Chaos Hypertextbook]. An introductory primer on chaos and fractals.
* [https://web.archive.org/web/20060211001015/http://www.ibiblio.org/e-notes/MSet/Logistic.htm Interactive Logistic map] with iteration and bifurcation diagrams in Java.
* [https://web.archive.org/web/20090821122553/http://www.users.bigpond.com/pmurray/Java/LogisticMap.html Interactive Logistic map] showing fixed points.
* [http://www.drchaos.net/drchaos/_...._files/qm.html Macintosh Quadratic Map Program]
* [http://to-campos.planetaclix.pt/fractal/caose.html The transition to Chaos and the Feigenbaum constant]- JAVA applet
* [http://www.egwald.ca/nonlineardynamics/logisticsmapchaos.php The Logistic Map and Chaos] by Elmer G. Wiens
* [https://web.archive.org/web/20070415033246/http://lectures.nsitlounge.in/ Complexity & Chaos (audiobook)] by Roger White. Chapter 5 covers the Logistic Equation.
* "[http://www.wolframscience.com/nksonline/page-918c-text History of iterated maps]," in ''[[一种新科学]]'' by [[史蒂芬·沃爾夫勒姆]]. Champaign, IL: Wolfram Media, p.&nbsp;918, 2002.
* [http://demonstrations.wolfram.com/DiscreteLogisticEquation/ Discrete Logistic Equation] by Marek Bodnar after work by Phil Ramsden, [[Wolfram 演示项目]].
* [http://demonstrations.wolfram.com/OrbitDiagramOfTwoCoupledLogisticMaps/ Multiplicative coupling of 2 logistic maps] by C. Pellicer-Lostao and R. Lopez-Ruiz after work by Ed Pegg Jr, [[Wolfram 演示项目]].
* [http://www.walkingrandomly.com/?p=2006 Using SAGE to investigate the discrete logistic equation]

{{分形}}
{{混沌理论}}

[[Category:混沌理论]]
[[Category:分形]]
[[Category:混沌映射]]