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{{NoteTA
|G1=物理學
}}
在[[相對論]]中，'''四維加速度'''是[[牛頓力學]]中三維[[加速度]]的對應推廣，其為一個[[四維向量]]。四維加速度應用於[[反質子]]湮滅反應、[[奇異數|奇異粒子共振]]、加速電荷的輻射現象等研究領域中。<ref>{{cite book|title=Special Relativity|author=Tsamparlis M.|year=2010|page=185|edition=Online|publisher=Springer Berlin Heidelberg|isbn=978-3-642-03837-2}}</ref>

== 慣性座標系中的四維加速度 ==
在[[狹義相對論]]的[[慣性座標系]]中，四維加速度<math>\mathbf{A}</math>定義為[[四維速度]]<math>\mathbf{U}</math>對一移動物體之[[原時]]<math>\tau</math>的微分，也就是說

: <math>\mathbf{A} =\frac{d\mathbf{U}}{d\tau}=\left(\gamma_u\dot\gamma_u c,\gamma_u^2\mathbf a+\gamma_u\dot\gamma_u\mathbf u\right)
=\left(\gamma_u^4\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{u}}{c},\gamma_u^2\mathbf{a}+\gamma_u^4\frac{\left(\mathbf{a}\cdot\mathbf{u}\right)}{c^2}\mathbf{u}\right) = \left(\gamma_u^4\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{u}}{c}, \gamma_u^4\left(\mathbf{a}+\frac{\mathbf{u}\times \left(\mathbf{u}\times\mathbf{a}\right)}{c^2}\right)\right)</math>,

其中

: <math>\mathbf a = {d\mathbf u \over dt}</math> ，應用到三維加速度<math>\mathbf a </math>與三維速度<math>\mathbf u </math>；
以及
: <math>\dot\gamma_u = \frac{\mathbf{a \cdot u}}{c^2} \gamma_u^3 = \frac{\mathbf{a \cdot u}}{c^2} \frac{1}{\left(1-\frac{u^2}{c^2}\right)^{3/2}}</math>

應用到速度<math>u</math>（<math>|\mathbf{u}|=u</math>）下的[[勞侖茲因子]]<math>\gamma_u</math>。變數上方的點代表對本參考系座標時間<math>t</math>的微分，而非對物體原時<math>\tau</math>的微分。也就是說<math>\dot\gamma_u ={d\gamma_u \over dt}</math>)。

在與該物體瞬時共同移動的慣性座標系中<math>\mathbf u = 0</math>, <math>\gamma_u = 1 </math>以及<math>\dot\gamma_u = 0</math>。亦即在這樣的參考系中，
: <math>\mathbf{A} =\left(0, \mathbf a\right)</math>。

[[幾何學]]上來看，四維加速度是移動物體[[世界線]]的[[曲率向量]]。<ref>
{{cite book|author=Pauli W.|title=Theory of Relativity |edition=1981 Dover|publisher=B.G. Teubner, Leipzig|year=1921|pages=74|isbn=978-0-486-64152-2}}</ref><ref>{{cite book|author1=Synge J.L.|author2=Schild A.|title=Tensor Calculus |edition=1978 Dover|publisher=University of Toronto Press|year=1949|isbn=0-486-63612-7|pages=149, 153 and 170}}</ref>

因此四維向量的大小（乃一[[純量]]）等同於物體沿世界線移動所「感受」到的[[固有加速度]]。

一物體的[[四維速度]]與[[四維加速度]]的[[內積]]（純量積）總是為0。

四維加速度與[[四維力]]之間有著簡單的關係式：
: <math> F^\mu = mA^\mu ,</math>

其中''m''是物體的[[不變質量]]。

當四維力為零，則僅只[[重力]]現象影響物體的[[軌跡]]，與[[牛頓第二運動定律]]相應的四維向量版本簡化為[[測地線|測地線方程式]]。依測地線移動的物體，其四維加速度為零；這表示重力其實不是一種力，而是受到扭曲的[[時空]]幾何。相應地，在牛頓力學，重力被當作一種力，其作用以三維加速度處理。

== 非慣性座標系中的四維加速度 ==
非慣性座標系，包括了[[狹義相對論]]中的加速座標系以及[[廣義相對論]]中的任意座標系。在這樣的座標系情況下，四維加速度為四維速度對原時的[[絕對導數]]：

:<math>A^\lambda := \frac{DU^\lambda }{d\tau} = \frac{dU^\lambda }{d\tau } + \Gamma^\lambda {}_{\mu \nu}U^\mu U^\nu </math>

慣性座標系中，[[克里斯多福符號]]<math>\Gamma^\lambda {}_{\mu \nu}</math>皆為零，所以此式還原成上一節的式子。

值得注意的是：克里斯多福符號是在採用直角座標的慣性系中為零。若選用彎曲座標系以描述加速運動，則克里斯多福符號不全為零。

== 相關條目 ==
* [[四維向量]]
* [[四維速度]]
* [[四維動量]]
* [[四維力]]

== 參考文獻 ==
{{reflist}}

*{{cite book|author=Papapetrou A.|title=Lectures on General Relativity|publisher=D. Reidel Publishing Company|year=1974|isbn=90-277-0514-3}}
* {{cite book | author = Rindler, Wolfgang | title=Introduction to Special Relativity (2nd)| publisher= Oxford: Oxford University Press | year=1991 | isbn=0-19-853952-5}}

{{狹義相對論}}

[[Category:加速度]]
[[Category:相对论]]
[[Category:物理量]]