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{{noteTA|T=zh-hans:四维矢量; zh-hant:四維向量;|G1=物理學}}
{{四維向量字體常規}}

在[[相對論]]裏，'''四維向量'''（{{lang|en|four-vector}}）是實值四維[[向量空間]]裏的[[矢量]]。這四維[[向量空間]]稱為[[閔考斯基時空]]。四維向量的分量分別為在某個[[時間]]點與三維[[空間]]點的四個數量。在閔考斯基時空內的任何一點，都代表一個「事件」，可以用四維向量表示。從任意[[慣性參考系]]觀察某事件所獲得的四維向量，通過[[勞侖茲變換]]，可以變換為從其它[[慣性參考系]]觀察該事件所獲得的四維向量。

本文章只思考在[[狹義相對論]]範圍內的四維向量，儘管四維向量的概念延伸至[[廣義相對論]]。在本文章內寫出的一些結果，必須加以修改，才能在廣義相對論範圍內成立。

==數學性質==
[[File:Minkowski diagram - asymmetric.svg|thumb|left|在閔考斯基時空裡，不同慣性參考系的座標軸]]
在[[閔考斯基時空]]內的任何一點，都可以用四維向量（一組[[閔考斯基時空#標準基底|標準基底]]的四個坐標） <math>{x}^{\mu}=({x}^0,\, {x}^1,\, {x}^2,\, {x}^3)</math> 來表示；其中，上標 <math>\mu=0,\,1,\,2,\,3</math> 標記[[時空]]的維數次序。稱這四維向量為「坐標四維向量」，又稱「四維坐標」，定義為
:<math>{x}^{\mu}\ \stackrel{def}{=}\ (ct,\, x,\, y,\, z) </math> ；

其中，<math>c</math> 是[[光速]]，<math>t</math> 是時間，<math>(x,\, y,\, z) </math> 是位置的三維[[直角坐標系|直角坐標]]。

為了確使每一個坐標的單位都是長度單位，定義 <math>{x}^0\ \stackrel{def}{=}\ ct</math> 。

「四維位移」定義為兩個事件之間的矢量差。在[[時空圖]]裏，四維位移可以用從第一個事件指到第二個事件的箭矢來表示。當矢量的尾部是坐標系的[[原點]]時，位移就是位置。四維位移 <math>\Delta {x}^{\mu}</math> 表示為
:<math> \Delta {x}^{\mu}\ \stackrel{def}{=}\ (\Delta ct,\ \Delta x,\ \Delta y,\ \Delta z)</math> 。

帶有上標的四維向量 <math>{U}^{\mu}</math> 稱為[[反變]]矢量，其分量標記為
:<math>{U}^{\mu}=\ ({U}^0,\, {U}^1,\, {U}^2,\, {U}^3)</math> 。

假若，標號是下標，則稱四維向量 <math>{U}_{\mu}</math> 為[[協變]]矢量。其分量標記為
:<math>{U}_{\mu}=\ ({U}_0,\, {U}_1,\, {U}_2,\, {U}_3)=\ ({U}^0,\, - {U}^1,\, - {U}^2,\, - {U}^3)</math> 。

在這裡，[[閔考斯基時空|閔考斯基度規]] <math>\eta_{\mu\nu}</math> 被設定為
:<math>\eta_{\mu \nu}\ \stackrel{def}{=}\ \left(\begin{matrix}  1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 \end{matrix}\right) </math> 。

採用[[愛因斯坦求和約定]]，則四維向量的協變坐標和反變坐標之間的關係為
:<math>U_{\mu} =\eta_{\mu \nu}  U^{\nu} </math> 。

閔考斯基度規與它的「共軛度規張量」 <math>\eta^{\mu\nu}</math> 相等：
:<math>\eta^{\mu \nu}\ \stackrel{def}{=}\ \left(\begin{matrix}  1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 \end{matrix}\right) </math> 。

===勞侖茲變換===
{{main|勞侖茲變換}}
給予兩個慣性參考系 <math>\mathcal{S}</math>、 <math>\bar{\mathcal{S}}</math> ；相對於參考系 <math>\mathcal{S}</math>，參考系 <math>\bar{\mathcal{S}}</math> 以速度 <math>\mathbf{v}=v\hat{\mathbf{x}}</math> 移動。對於這兩個參考系，相關的「勞侖茲變換矩陣」 <math>\Lambda^\mu {}_\nu</math> 是
:<math>\Lambda^\mu {}_\nu=\ \left(\begin{matrix}  \gamma & - \gamma\beta & 0 & 0 \\  - \gamma\beta & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right) </math>；

其中，<math>\gamma=\cfrac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}}</math> 是[[勞侖茲因子]]，<math>\beta=\frac{v}{c}</math>是「貝塔因子」。

對於這兩個參考系 <math>\mathcal{S}</math>、 <math>\bar{\mathcal{S}}</math> ，假設一個事件的四維坐標分別為 <math>{x}^{\mu}</math>、 <math>\bar{x}^{\mu}</math> 。那麼，這兩個四維坐標之間的關係為
:<math>\bar{x}^{\mu}=\Lambda^\mu {}_\nu\ x^{\nu}</math> 、
:<math>x^{\mu}=\bar{\Lambda}^{\mu} {}_{\nu}\ \bar{x}^{\nu}</math> ；

其中，<math>\bar{\Lambda}^{\mu} {}_{\nu}</math> 是 <math>\Lambda^{\mu} {}_{\nu}</math> 的[[逆矩阵|逆反]]，
:<math>\bar{\Lambda}^{\mu} {}_{\nu}=\ \left(\begin{matrix}  \gamma & \gamma\beta & 0 & 0 \\  \gamma\beta & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right) </math> 。

將這兩個四維坐標之間的關係式合併為一，則可得到
:<math>\bar{x}^{\mu}=\Lambda^{\mu} {}_{\nu}\ x^{\nu}=\Lambda^{\mu} {}_{\nu}\ \bar{\Lambda}^{\nu} {}_{\xi}\ \bar{x}^{\xi}</math> 。

因此，可以找到勞侖茲變換矩陣的一個特性：
:<math>\Lambda^{\mu} {}_{\nu}\ \bar{\Lambda}^{\nu} {}_{\xi}=\delta^{\mu} {}_{\xi}</math> ；

其中，<math>\delta^{\mu} {}_{\xi}</math> 是[[克羅內克函數]]。

另外一個很有用的特性為
:<math>\bar{\Lambda}^{\mu} {}_{\nu}=\eta_{\alpha\nu}\ \eta^{\beta\mu}\ \Lambda^{\alpha} {}_{\beta}</math> ；

給定一個事件在某慣性參考系的四維坐標，通過勞侖茲變換，就可計算出這事件在另外一個慣性參考系的四維坐標。這是個很有用的物理性質。當研究物理現象時，所涉及的四維向量，最好都能夠具有這有用的性質。這樣，可以使得數學分析更加精緻犀利。以方程式表示，對於兩個參考系 <math>\mathcal{S}</math>、 <math>\bar{\mathcal{S}}</math>，具有這種有用性質的四維向量 <math>{U}^{\mu}</math> 、<math>\bar{U}^{\mu}</math> 滿足
:<math>\bar{U}^{\mu}=\Lambda^{\mu} {}_{\nu}\ U^{\nu}</math> 、
:<math>U^{\mu}=\bar{\Lambda}^{\mu} {}_{\nu}\ \bar{U}^{\nu}</math> 。

在計算這四維向量對於時間的導數時，若能選擇[[固有時]]為時間變數，則求得的四維向量仍舊具有這有用的性質。因為，固有時乃是個[[不變量]]；改變慣性參考系不會改變不變量。

假設一個物體運動於閔考斯基時空。在「實驗室參考系」裡，物體運動的速度隨著時間改變。對於每瞬時刻，選擇與物體同樣運動的慣性參考系，稱為「瞬間共動參考系」（momentarily comoving reference frame）。在這瞬間共動參考系裡，物體的速度為零，因此，這參考系也是物體的「瞬間靜止參考系」。隨著物體不斷地改變運動速度與方向，新的慣性參考系也會不斷地改換為瞬間共動參考系。<ref name=Schutz2009>{{cite book|author=Bernard Schutz|title=A First Course in General Relativity|date=14 May 2009|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-88705-2}}</ref>{{rp|41-42}}隨著這些不斷改換的瞬間同行坐標系所測得的時間即為固有時，標記為 <math>\tau</math> 。這就好像給物體掛戴一隻手錶，隨著物體的運動，手錶也會做同樣的運動，而手錶所紀錄的時間就是固有時。

這物體的運動可以用一條[[世界線]] <math>x(\tau)</math> 來描述。由於[[時間膨脹]]，發生於物體的兩個本地事件的微小固有時間隔 <math>\Delta \tau</math> 與從別的慣性參考系 <math>\mathcal{S}</math> 所觀測到的微小時間間隔 <math>\Delta t</math> 的關係為
:<math>\Delta t=\gamma\Delta \tau</math> 。

所以，固有時 <math>\tau</math> 對於其它時間 <math>t</math> 的導數為
:<math>\frac{\mathrm{d}\tau}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{\gamma}</math> 。

===閔考斯基內積===
在閔考斯基空間裡，兩個四維向量 <math>U^{\mu}</math> 與 <math>V_{\mu}</math> 的[[內積]]，稱為'''閔考斯基內積'''，以方程式表示為：
:<math>U^{\mu}V_{\mu} \ \stackrel{def}{=}\ U^0 V^0 - U^1 V^1 - U^2 V^2 - U^3 V^3</math> 。

由於這內積並不具[[正定矩陣|正定性]]，即
:<math>U^{\mu}U_{\mu}= (U^0)^2 - (U^1)^2 - (U^2)^2 - (U^3)^2</math>

可能會是負數；而[[內積|歐幾里得內積]]一定不是負數。

許多學者喜歡使用相反正負號的 <math>\eta</math>：
:<math>\eta_{\mu \nu}\ \stackrel{def}{=}\ \left(\begin{matrix}  - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right) </math> 。

這樣，<math>U^{\mu}</math> 與 <math>V_{\mu}</math> 的內積改變為
:<math>U^{\mu}V_{\mu}=  - U^0 V^0+U^1 V^1 + U^2 V^2 + U^3 V^3</math> 。

其它相聯的量值也會因而改變正負號，但這不會改變系統的物理性質。

從參考系 <math>\mathcal{S}</math> 改換至另一參考系 <math>\overline{\mathcal{S}}</math> ，<math>U^{\mu}</math> 與 <math>V_{\mu}</math> 的內積為
:<math>{U}^{\mu}{V}_{\mu}
=\overline{\Lambda}^{\mu} {}_{\alpha}\ \overline{U}^{\alpha}\ \eta_{\mu\beta} {V}^{\beta} 
=\overline{\Lambda}^{\mu} {}_{\alpha}\ \overline{U}^{\alpha}\ \eta_{\mu\beta}\ \overline{\Lambda}^{\beta} {}_{\xi}\ \overline{V}^{\xi} 
=\overline{\Lambda}^{\mu} {}_{\alpha}\ \overline{U}^{\alpha}\ \eta_{\mu\beta}\ \overline{\Lambda}^{\beta} {}_{\xi}\ \eta^{\xi\zeta}\ \overline{V}_{\zeta}
=\overline{\Lambda}^{\mu} {}_{\alpha}\ \overline{U}^{\alpha}\ \overline{\Lambda}^{\zeta} {}_{\mu}\ \overline{V}_{\zeta}
=\delta^{\zeta} {}_{\alpha}\ \overline{U}^{\alpha}\ \overline{V}_{\zeta} 
=\overline{U}^{\alpha}\overline{V}_{\alpha}</math> 。

所以，在閔考斯基時空內，兩個四維向量的內積是個[[不變量]]：<ref name=Schutz2009/>{{rp|44-46}}
:<math>U^{\mu}V_{\mu}=\overline{U}^{\mu}\overline{V}_{\mu}</math> 。

四維向量可以分類為'''類時'''，'''類空'''，或'''類光'''（'''零矢量'''）：
:類時矢量：<math>U^{\mu} U_{\mu} > 0 </math> ，
:類空矢量：<math>U^{\mu} U_{\mu} < 0 </math> ，
:類光矢量：<math>U^{\mu} U_{\mu} = 0 </math> 。

==動力學實例==
===四維速度===
{{main|四維速度}}
設想一個物體運動於閔考斯基時空，則其世界線的任意事件 <math>x^{\mu}(\tau)</math> 的四維速度 <math>U^{\mu}</math> 定義為<ref name=Schutz2009/>{{rp|46-48}}
:<math>U^{\mu}\ \stackrel{def}{=}\ \frac{\mathrm{d}x^{\mu}}{\mathrm{d}\tau}= \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\tau}\ \frac{\mathrm{d}x^{\mu}}{\mathrm{d}t}= \left(\gamma c,\ \gamma \mathbf{u} \right)</math> ；

其中，<math>\mathbf{u}=\left(\frac{\mathrm{d}x^1}{\mathrm{d}t},\, \frac{\mathrm{d}x^2}{\mathrm{d}t},\, \frac{\mathrm{d}x^3}{\mathrm{d}t}\right)</math> 是三維[[速度]]，或經典速度矢量。

<math>U^{\mu}</math> 的空間部分與經典速度 <math>\mathbf{u}</math> 的關係為
:<math>\left(U^1,\, U^2,\, U^3\right)=\gamma \mathbf{u}</math> 。

四維速度與自己的內積等於光速平方，是一個不變量：
:<math>U^{\mu}U_{\mu} = c^2</math> 。

在物體的瞬間共動參考系裡，物體的速度為零，因此，四維速度為
:<math>\left(c,0,0,0\right)_{MCRF}</math> ，

其方向與瞬間共動參考系的第零個基底向量 <math>\hat{\mathbf{e}}_0=\left(1,0,0,0\right)_{MCRF}</math> 同向；

其中，<math>MCRF</math> 表示從瞬間共動參考系觀察得到的數據。

===四維加速度===
{{main|四維加速度}}
四維加速度 <math>\alpha^{\mu}</math> 定義為 <ref name=Schutz2009/>{{rp|46-48}}
:<math>\alpha^{\mu}\ \stackrel{def}{=}\ \frac{\mathrm{d}U^{\mu}}{\mathrm{d}\tau} = \left(\gamma \dot{\gamma} c,\, \gamma \dot{\gamma} \mathbf{u} + \gamma^2 \dot{\mathbf{u}} \right)</math> 。

經過一番運算，可以得到勞侖茲因子對於時間的導數：
:<math>\dot{\gamma}=\frac{\mathrm{d}\gamma}{\mathrm{d}t}=\gamma^3 (\mathbf{u}\cdot\mathbf{a})/c^2</math> ；

其中，<math>\mathbf{a}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{u}}{\mathrm{d}t}</math> 是[[加速度|經典加速度]]。

所以，四維加速度 <math>\alpha^{\mu}</math> 可以表示為
:<math>\alpha^{\mu}=\left(\gamma^4 (\mathbf{u}\cdot\mathbf{a})/c,\, \gamma^2 \mathbf{a}+\gamma^4 (\mathbf{u}\cdot\mathbf{a})\mathbf{u}/c^2 \right)</math> 。

由於 <math>U_\mu U^\mu</math> 是個常數，四維加速度與四維速度相互[[正交]]；也就是說，四維速度與四維加速度的閔考斯基內積等於零：
:<math>\alpha_\mu  U^\mu = \frac{1}{2} \frac{\mathrm{d} (U_\mu U^\mu)}{\mathrm{d}\tau}=0  </math> 。

對於每一條世界線，這計算結果都成立。

注意到在瞬間共動參考系裡， <math>U_\mu</math> 只有時間分量不等與零，所以， <math>\alpha^{\mu}</math> 為的時間分量為零：
:<math>\alpha^{\mu}=\left(0,\, \gamma^2 \mathbf{a}\right)_{MCRF}</math> 。

===四維動量===
{{main|四維動量}}
一個[[靜止質量]]為 <math>m</math> 的粒子的四維動量 <math>P^\mu</math> 定義為
:<math>P^\mu\ \stackrel{def}{=}\ m U^\mu=\left(\gamma m c,\,  \gamma m\mathbf{u} \right)</math > 。

[[動量|經典動量]] <math>\mathbf{p}</math> 定義為
:<math>\mathbf{p}\ \stackrel{def}{=}\ m_{rel}\mathbf{u}=\gamma m\mathbf{u}</math> ；

其中，<math>m_{rel}</math> 是相對論性質量。

所以，<math>P^\mu</math> 的空間部分等於經典動量 <math>\mathbf{p}</math> ：
:<math>\left(P^1,\, P^2,\, P^3\right)=\mathbf{p}</math>。

===四維力===
{{main|四維力}}
作用於粒子的四維力定義為粒子的四維動量對於固有時的導數：
:<math>F^\mu\ \stackrel{def}{=}\ \frac{\mathrm{d}P^\mu}{\mathrm{d}\tau}</math>。

提出四維動量內的靜止質量因子，即可發覺四維力就是靜止質量乘以四維加速度：
:<math>F^\mu=m\frac{\mathrm{d}U^\mu}{\mathrm{d}\tau}=m \alpha^\mu</math> 。

因此，四維力可以表示為
:<math>F^\mu=m \left(\gamma^4 (\mathbf{u}\cdot\mathbf{a})/c,\, \gamma^2 \mathbf{a}+\gamma^4 (\mathbf{u}\cdot\mathbf{a})\mathbf{u}/c^2 \right)</math> 。

[[力|經典力]] <math>\mathbf{f}</math> 定義為
:<math>\mathbf{f}\ \stackrel{def}{=}\ \frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t}</math> 。

所以，<math>F^\mu</math>的空間部分等於 <math>\gamma \mathbf{f}</math> ：
:<math>\left(F^1,\, F^2,\, F^3\right)=\gamma \mathbf{f}</math> 。

==物理內涵==
在四維向量的表述裏，存在著許多能量與物質之間的關係。從這些特別關係，可以顯示出這表述的功能與精緻。

===質能方程式===
假設，在微小時間間隔 <math>\mathrm{d}t</math> ，一個運動於時空的粒子，感受到作用力 <math>\mathbf{f}</math> 的施加，而這粒子的微小位移為 <math>\mathrm{d}\mathbf{x}</math> 。那麼，作用力 <math>\mathbf{f}</math> 對於這粒子所做的微小[[機械功]] <math>\mathrm{d}W</math> 為
:<math>\mathrm{d}W= \mathbf{f} \cdot \mathrm{d}\mathbf{x} </math> 。

因此，這粒子的[[動能]]的改變 <math>\mathrm{d}K</math> 為
:<math>\mathrm{d}K=\mathrm{d}W= \mathbf{f} \cdot \mathrm{d}\mathbf{x} </math> 。

粒子的動能 <math>K</math> 對於時間的導數為
:<math> \frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}t}= \mathbf{f} \cdot \frac{\mathrm{d}\mathbf{x}}{\mathrm{d}t}=\mathbf{f} \cdot \mathbf{u} </math> 。

將前面經典力和經典速度的公式帶入，可以得到
:<math> \frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}t}=m\gamma^3 (\mathbf{u} \cdot \mathbf{a})=m c^2 \frac{\mathrm{d}\gamma}{\mathrm{d}t}</math> 。

這公式的反微分為
:<math>K=\gamma m c^2+K_0</math> 。

當粒子靜止時，動能等於零。所以，
:<math>K=\gamma m c^2 - m c^2</math> 。

這公式的右手邊第二個項目就是[[靜止能量]] <math>E_0\ \stackrel{def}{=}\ m c^2</math> 。動能 <math>K</math> 加上靜止能量 <math>E_0</math> 等於[[總能量]] <math>E</math> ：
:<math>E = \gamma m c^2</math> 。

再加簡化，以相對論性質量 <math>m_{rel}</math> 表示：
:<math>E=m_{rel} c^2</math > 。

這方程式稱為[[質能方程式]]。

===能量-動量關係式===
使用質能方程式 <math>E= m_{rel} c^2=\gamma m c^2</math> ，四維動量可以表示為
:<math>P^{\mu} = \left(\frac{E}{c},\, \mathbf{p} \right)</math> 。

四維動量與自己的內積為
:<math> P^\mu P_\mu=\frac{E^2}{c^2} - (p)^2</math> 。

改以四維速度來計算內積：
:<math>P^\mu P_\mu = m^2 U^\mu U_\mu = m^2 c^2 </math> 。

所以，能量-動量關係式為
:<math> E^2 = (pc)^2 + m^2 c^4</math> 。

==電磁學實例==
===四維電流密度===
{{main|四維電流密度}}
在[[電磁學]]裏，四維電流密度 <math> J^{\mu}</math> 是一個四維向量，定義為
:<math> J^{\mu}\ \stackrel{def}{=}\ ( \rho c,\, \mathbf{j}) </math> ；

其中，<math>\rho</math> 是[[電荷密度]]，<math>\mathbf{j}</math> 是三維[[電流密度]]。

在瞬間共動參考系所觀測到的電荷密度，稱為'''固有電荷密度''' <math>\rho_0=\rho/\gamma</math> 。四維電流密度與四維速度的關係為
:<math> J^{\mu}=\rho_0 U^{\mu} </math> 。

[[電荷守恆定律]]能以三維矢量表示為
:<math>\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\cdot \mathbf{j}=0</math> 。

這定律也能以四維電流密度表示為
:<math>\frac{\partial J^{\mu}}{\partial x^{\mu}}=0</math> 。

從這方程式，可以推論四維電流密度的四維[[散度]]等於零。

===電磁四維勢===
{{main|電磁四維勢}}
電磁四維勢是由[[電勢]] <math>\phi \,</math> 與[[矢量勢]] <math>\mathbf{A}</math> 共同形成的，定義為
:<math> A^{\mu}\ \stackrel{def}{=}\ ( \phi /c,\,  \mathbf{A}) </math> 。

'''黎曼-索末菲方程式'''表示電磁四維勢與四維電流密度之間的關係<ref>{{cite book
 | title = Collective Electrodynamics: Quantum Foundations of Electromagnetism
 | author = Carver A. Mead
 | publisher = MIT Press
 | year = 2002
 | isbn = 9780262632607
 | page = 37–38
 | url = http://books.google.com/books?id=GkDR4e2lo2MC&pg=PA37&dq=Riemann+Summerfeld&lr=&as_brr=0&ei=7ts5SqHgLIjAlQSN3uGEAw
 }}</ref>：
:<math>\Box A^\mu = \mu_0 J^\mu</math> ;

其中，<math>\mu_0</math> 是[[磁常數]]，<math>\Box=\partial^2=\partial_\alpha\partial^\alpha=\left( \frac{1}{c^2}\ \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2 \right) </math> 是[[達朗貝爾算符]]，又稱為[[拉普拉斯算符|四維拉普拉斯算符]]。

===四維頻率和四維波矢量===
一個[[電磁波|平面電磁波]]的[[四維頻率]] <math>{\nu}^\mu</math> 定義為
:<math>{\nu}^\alpha\ \stackrel{def}{=}\ (f,\, f\mathbf{n})</math> ；

其中，<math>f</math> 是電磁波的[[頻率]]，<math>\mathbf{n}</math> 是朝著電磁波傳播方向的單位矢量。

四維頻率與自己的內積永遠等於零：
:<math>{\nu}^\alpha {\nu}_\alpha = (f)^2 (1 - n^2) = 0 </math> 。

一個近[[單色光]]的[[波包]]的波動性質可以用[[四維波矢量]] <math>{K}^\alpha</math> 來描述：
:<math>{K}^\alpha\ \stackrel{def}{=}\ \left(\frac{2\pi f}{c},\, \mathbf{k} \right)</math> 。

其中，<math>\mathbf{k}</math> 是三維[[波矢量]]。

四維波矢量與四維頻率之間的關係為
:<math>{K}^\alpha=\frac{2\pi{\nu}^\alpha}{c}</math> 。

==參閱==
*[[洛侖茲協變性]]

==參考文獻==
{{reflist}}
*{{cite book | author=Griffiths, David J.|title=Introduction to Electrodynamics (3rd ed.)| publisher=Prentice Hall |year=1998|pages = pp. 477-543 |isbn=0-13-805326-X}} 	
*{{cite book | author=Rindler, W.|title=Introduction to Special Relativity (2nd edition)| publisher=Clarendon Press Oxford |year=1991|isbn=0-19-853952-5}}

{{狹義相對論}}

[[Category:力學|S]]
[[Category:闵可夫斯基时空|S]]
[[Category:相對論|S]]
[[Category:基本物理概念|S]]
[[Category:物理量|S]]