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{{noteTA|G1=物理學}}
{{四維向量字體常規}}
在[[電磁學]]裏，[[電磁波|平面電磁波]]的'''四維頻率''' <math>f^{\mu}</math> 以公式定義為
:<math>f^{\mu}\ \stackrel{def}{=}\  \left(f,\, f \mathbf{n} \right)</math> ；

其中，<math>f</math> 是電磁波的[[頻率]]，<math>\mathbf{n}</math> 是朝著電磁波傳播方向的[[單位矢量]]。

四維頻率與自己的[[內積]]永遠等於零：
:<math>{f}^\mu {f}_\mu = (f)^2 (1 - n^2) = 0 </math> 。

類似地，'''四維角頻率''' <math>\omega^{\mu}</math> 以公式定義為
:<math>\omega^{\mu}\ \stackrel{def}{=}\ \left(\omega,\,\omega \mathbf{n} \right)</math> ；

其中，<math>\omega</math> 是電磁波的[[角頻率]]。

顯然地，
:<math>\omega^{\mu}=2\pi f^{\mu}</math> 。

'''四維波向量''' <math>{k}^{\mu}</math> 與四維角頻率有密切的關係，定義為
:<math>{k}^{\mu}=\left(k,\,\mathbf{k}\right)</math> ；

其中，<math>\mathbf{k}</math> 是電磁波的[[波向量]]。

在本篇文章裏，[[閔可夫斯基度規]]的形式被規定為 <math>diag(1, -1, -1, -1)</math> ，這是参考了[[約翰·傑克森]]（{{lang|en|John D. Jackson}}）的著作《經典電動力學》中所採用的形式；並且使用了經典的[[張量代数]]以及[[愛因斯坦求和約定]]。

==勞侖茲變換==
給予兩個慣性參考系  <math>\mathcal{S}</math> 、<math>\overline{\mathcal{S}}</math> ；相對於參考系  <math>\mathcal{S}</math> ，參考系  <math>\overline{\mathcal{S}}</math> 以速度 <math>\mathbf{v}</math> 移動。對於這兩個參考系，相關的'''勞侖茲變換矩陣''' <math>\Lambda^{\mu}_{\nu}</math> 是<ref name=Jackson1999>{{citation|last=Jackson|first=John David|title=Classical Electrodynamic|publisher = John Wiley & Sons, Inc. |year=1999|location=USA|edition=3rd.|pages=pp. 543-548|isbn=978-0-471-30932-1}}</ref>
:<math>\Lambda^{\mu}_{\nu}=\begin{bmatrix}
\gamma&-\beta_x\,\gamma&-\beta_y\,\gamma&-\beta_z\,\gamma\\
-\beta_x\,\gamma&1+(\gamma-1)\frac{\beta_{x}^{2}}{\beta^{2}}&(\gamma-1)\frac{\beta_{x}\beta_{y}}{\beta^{2}}&(\gamma-1)\frac{\beta_{x}\beta_{z}}{\beta^{2}}\\
-\beta_y\,\gamma&(\gamma-1)\frac{\beta_{y}\beta_{x}}{\beta^{2}}&1+(\gamma-1)\frac{\beta_{y}^{2}}{\beta^{2}}&(\gamma-1)\frac{\beta_{y}\beta_{z}}{\beta^{2}}\\
-\beta_z\,\gamma&(\gamma-1)\frac{\beta_{z}\beta_{x}}{\beta^{2}}&(\gamma-1)\frac{\beta_{z}\beta_{y}}{\beta^{2}}&1+(\gamma-1)\frac{\beta_{z}^{2}}{\beta^{2}}\\
\end{bmatrix}</math> <span style="vertical-align:bottom">；</span>

其中，<math>\gamma=\cfrac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}}</math> 是[[勞侖茲因子]]，<math>\beta=\frac{v}{c}</math> 是'''貝他因子'''，<math>\beta_x</math> 、<math>\beta_y</math> 、<math>\beta_z</math> 分別是參考系  <math>\overline{\mathcal{S}}</math> 對於參考系  <math>\mathcal{S}</math>  的 x-軸、y-軸、z-軸方向的相對速度 <math>v_x</math> 、<math>v_y</math> 、<math>v_z</math> 的貝他因子。 

設定一個朝著  <math>\hat{\mathbf{k}}</math> 方向傳播於[[真空]]的平面電磁波，對於參考系  <math>\mathcal{S}</math> ，這平面電磁波以公式表達為
:<math>\mathbf{E}=E_0 e^{ - i(k^{\mu}x_{\mu})}\hat{\boldsymbol{\eta}}_1</math> 、
:<math>\mathbf{B}=B_0 e^{ - i(k^{\mu}x_{\mu})}\hat{\boldsymbol{\eta}}_2</math> ；

其中，<math>\mathbf{E}</math> 、<math>\mathbf{B}</math> 分別是電磁波的[[電場]]、[[磁場]]，<math>E_0</math> 、<math>B_0</math> 分別是其[[波幅]]，<math>k^{\mu}</math> 是四維波向量，<math>x_{\mu}=(ct, -\mathbf{x})</math> 是[[四維位置]]，<math>\mathbf{x}</math> 是位置，<math>\hat{\boldsymbol{\eta}}_1</math> 、<math>\hat{\boldsymbol{\eta}}_2</math> 分別垂直於  <math>\hat{\mathbf{k}}</math> ，而且 <math>\hat{\boldsymbol{\eta}}_2=\hat{\mathbf{k}}\times\hat{\boldsymbol{\eta}}_1</math> 。

那麼，對於參考系  <math>\overline{\mathcal{S}}</math> ，這平面電磁波以公式表達為
:<math>\overline{\mathbf{E}}=\overline{E}_0 e^{ - i(\overline{k}^{\mu}\overline{x}_{\mu})} \hat{\boldsymbol{\eta}}_1</math> 、
:<math>\overline{\mathbf{B}}=\overline{B}_0 e^{ - i(\overline{k}^{\mu}\overline{x}_{\mu})} \hat{\boldsymbol{\eta}}_2</math> 。

四維波向量 <math>\overline{k}^{\mu}</math> 與 <math>{k}^{\mu}</math> 之間的關係為
:<math>\overline{k}^{\mu}=\Lambda^{\mu}_{\nu}{k}^{\nu}</math> 。

經過一番運算，可以求得
:<math>\overline{k}=\overline{k}^0=\gamma(k - \beta_x k_x - \beta_y k_y - \beta_z k_z)=k^{\mu}v_{\mu}/c</math> ；

其中，<math>v_{\mu}=(\gamma c,\, -\gamma\mathbf{v})</math> 是參考系  <math>\overline{\mathcal{S}}</math> 相對於參考系  <math>\mathcal{S}</math> 的[[四維速度]]，<math>\mathbf{v}</math> 是參考系  <math>\overline{\mathcal{S}}</math> 相對於參考系  <math>\mathcal{S}</math> 的速度。

在真空裏，四維頻率與四維波向量之間的關係為
:<math>f^{\mu}=c k^{\mu}/2\pi</math> 。

所以，
:<math>\overline{f}=\overline{f}^0=f^{\mu}v_{\mu}/c</math> 。

這也是參考系  <math>\overline{\mathcal{S}}</math> 的觀察者所觀察到的頻率。

==參閱==
*[[四維向量]]
*[[電磁張量]]

==參考文獻==
{{reflist|2}}
*{{cite book |title=Special Relativity |last=Woodhouse |first=N.M.J. |year=2003 |publisher=Springer-Verlag |location=London|isbn=1852334266 |pages=84-90}}
*{{cite book | author=Griffiths, David J.|title=Introduction to Electrodynamics (3rd ed.)| publisher=Prentice Hall |year=1998|pages = pp. 477-543 |isbn=0-13-805326-X}} 	 

{{DEFAULTSORT:S}} 
[[Category:闵可夫斯基时空]]
[[Category:狹義相對論]]