查看“图册”的源代码

{{NoteTA|G1=數學}}
{{redirect2|轉移函數|描述系統輸入與輸出之間關係的函數|传递函数}}
在[[数学]]，特别是在[[拓扑学]]中，一个'''图册'''（{{lang-en|'''atlas'''}}）描述了一个[[流形]]如何装备一个[[微分结构]]。每一小块由一个'''卡'''（{{lang-en|chart}}）给出（也称为'''坐标卡'''，{{lang|en|coordinate chart}}，或'''局部坐标系'''，{{lang|en|local coordinate system}}）。以圖冊來定義流形的概念是由[[夏尔·埃雷斯曼]]於1943年所提出。

==卡==
在给出图册形式定义之前，我们回忆起流形''M''上一个卡定义为从''M''的一个[[开集]]''U''到<math>\mathbb{R}^n</math>中开集''V''的一个同胚映射<math>\phi</math>。

==图册的定义==
那么流形''M''上一个'''图册'''是一族''M''上的卡<math>\mathcal{A} = \{(U_{\alpha}, \varphi_{\alpha})\}</math>，使得[[定义域]]盖住了整个''M''。

==转移映射==
如果<math>(U_{\alpha}, \varphi_{\alpha})</math>与<math>(U_{\beta}, \varphi_{\beta})</math>是''M''的两个卡使得<math>U_{\alpha} \cap U_{\beta}</math>非空，则定义了'''转移映射'''（{{lang|en|transition map}}）

: <math>\varphi_{\alpha,\beta} : \varphi_{\alpha}(U_{\alpha} \cap U_{\beta}) \to \varphi_{\beta}(U_{\alpha} \cap U_{\beta})</math>, <math>\varphi_{\alpha,\beta} = \varphi_{\beta} \circ \varphi_{\alpha}^{-1}.</math>

注意到因为<math>\varphi_{\alpha}</math>与<math>\varphi_{\beta}</math>都是同胚，转移映射也是同胚。所以，转移映射已经赋予了某种相容性，使得从一个卡上的坐标系变到另一个卡上的坐标系是连续的。

现在，我们说两个有重叠的卡<math>(U_{\alpha}, \varphi_{\alpha})</math>与<math>(U_{\beta}, \varphi_{\beta})</math>是'''光滑协调的'''如果他们之间的转移映射是从[[欧几里得空间]]到自身的无限[[可微]]的。

定义了这样概念以后，如果''M''上一个图册中任意两个有重叠的卡之间的转移映射是光滑协调的，则称这样的图册为光滑图册。

''M''上两个图册<math>\mathcal{A}</math>与<math>\mathcal{B}</math>，如果任意<math>\mathcal{A}</math>中卡与<math>\mathcal{B}</math>中所有重叠的卡都是光滑协调的，则称<math>\mathcal{A}</math>与<math>\mathcal{B}</math>是光滑协调的。如果这样，则<math>\mathcal{A} \cup \mathcal{B}</math>也是''M''上一个光滑图册。这给出了一个[[等价关系]]，这样我们便可以考虑光滑协调图册等价类，我们称为'''极大图册'''。一个流形''M''与一个极大图册一起称为有一个'''光滑结构'''。在高维，拓扑流形可能具有不同的光滑结构。第一个例子是[[约翰·米尔诺]]发现的[[怪球面]]，一个流形同胚于7维球面但不能[[微分同胚]]。

一般地，用流形的极大图册做计算是不实用的，我们只需要选定一个特定的光滑图册。定义从一个流形到另一个流形的光滑映射时需要用到极大图册。

转移映射的可微性条件可以弱化，所以我们可以只要求转移函数为''k''-次连续可微；或者加强，所以我们要求转移映射为实[[解析函数|解析]]的。相应地，这便给出了流形上的<math>C^k</math>或解析结构。类似地，我们可以定义[[复流形]]要求转移映射为[[全纯]]的。

==参考文献==

* {{cite book | first = John M. | last = Lee | year = 2006 | title = Introduction to Smooth Manifolds | publisher = Springer-Verlag | id = ISBN 978-0-387-95448-6}}

* {{cite book | first = Mark R. | last = Sepanski | year = 2007 | title = Compact Lie Groups | publisher = Springer-Verlag | id = ISBN 978-0-387-30263-8}}

==外部链接==
*[http://mathworld.wolfram.com/Atlas.html Atlas] by Rowland, Todd

[[Category:微分拓扑学]]
[[Category:坐标系]]