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[[File:Cyclic quadrilateral.svg|thumb|right|四種圆内接四边形的例子（四点共圆）]]

在[[几何]]中，'''圆内接四边形'''是[[四边形]]的一种。顾名思义，圆内接四边形的四个[[頂點 (幾何)|顶点]]都在同一个[[圆]]上。

== 性质 ==
在一个圆内接四边形中，相对的两内角是[[补角|互补]]的，它们度数之和为180[[角度|度]]<ref>欧几里得，《几何原本》第三章，[http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookIII/propIII22.html 命题22]</ref>。与此等价的说法是，圆内接四边形的一个内角等于其相对面的角的外角。相对的两内角[[补角|互补]]是圓內接四邊形的[[充分必要條件]]，即，圆内接四边形相对的两内角互补，且相对的两内角互补的四邊形是圓內接四邊形（四邊形四頂點共圓或說有四邊形有外接圓）。

[[File:圆内接四边形.PNG|thumb|right|220px|如图，ABCD为圆内接四边形，托勒密定理指出：<math>\begin{matrix}BD\cdot AC\\ = AB\cdot CD + BC\cdot DA.\end{matrix}</math>]]
[[托勒密定理]]指出，圆内接四边形的两组对边[[乘积]]之和等于两条[[对角线]]的乘积（如右图）。对于非退化的四边形，如果两组对边乘积之和等于两条对角线的乘积，那么必定是圆内接四边形<ref>[http://www.math.sinica.edu.tw/math_media/d261/26109.pdf 樂嗣康，托勒密(Ptolemy) 定理與“三弦定理”的關係] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140202130652/http://www.math.sinica.edu.tw/math_media/d261/26109.pdf |date=2014-02-02 }}，《數學傳播》26卷1期</ref>。

凸四边形的两条对角线将自身分成四个[[三角形]]。如果这个四边形是圆内接四边形，那么相对的两个三角形是[[相似三角形|相似]]的。如右图中，<math>P</math>是圆内接四边形<math>ABCD</math>的两对角线交点，则<math>\bigtriangleup ABP\sim\bigtriangleup DCP</math>，<math>\bigtriangleup BCP\sim\bigtriangleup ADP</math>。一个与此等价的说法是所谓的[[相交弦定理]]：设凸的圆内接四边形的两条对角线相交于一点(图中的<math>P</math>），那么其中一条对角线被点<math>P</math>所分成的两段的长度之乘积等于另一条对角线被点<math>P</math>所分成的两段的长度之乘积：<math>AP \times CP = BP \times DP</math>。相应的逆命题也成立：如果一个四边形ABCD的两条对角线交于点<math>P</math>，且<math>\bigtriangleup ABP\sim\bigtriangleup DCP</math>（或<math>\bigtriangleup BCP\sim\bigtriangleup ADP</math>，或<math>AP \times CP = BP \times DP</math>），那么四边形<math>ABCD</math>是圆内接四边形。

在四边形中，[[矩形]]、[[正方形]]都是圆内接四边形；[[鹞形|筝形]]和[[梯形]]可能是圆内接四边形。如果一个四边形既是[[平行四边形]]又是圆内接四边形，那么它是一个矩形。如果一个四边形既是梯形又是圆内接四边形，那么它是一个等腰梯形。如果一个筝形是圆内接四边形，那么它至少有一对对角是直角。

== 面积 ==
在已知四边的[[边长]]时，圆内接四边形的[[面积]]可通过[[婆羅摩笈多公式]]给出<ref>[http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_25_10_1/page6.html 蔡聰明，談求面積的 Pick 公式]</ref>。若圆内接四边形的四边边长分别是<math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>, <math>d</math>，则其面积为：
: <math>\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}</math>

其中<math>p</math>為[[周长|半周长]]：
: <math>p=\frac{a+b+c+d}{2}.</math>

可以证明，在所有周长为定值<math>2p</math>的圆内接四边形中，面积最大的是正方形。

== 参见 ==
* [[圆内接多边形]]
* [[婆羅摩笈多公式]]
* [[婆羅摩笈多定理]]：关于对角线相互垂直的圆内接四边形的一个定理。
* [[外接圆]]

== 参考来源 ==
<references/>

== 外部链接 ==
* {{en}}[http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/CyclicQuadrilateral.shtml 体验圆内接四边形]
* {{en}}[http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Brahmagupta2.shtml 关于圆内接四边形的一个定理]

[[Category:几何术语]]
[[Category:多边形]]
[[Category:圆]]