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'''圆幂定理'''是[[平面几何]]中的一个[[定理]]。

==定义==

平面上任意點'''P'''对半径'''R'''的[[圆]]'''O'''的'''幂'''定义如下：

<math>\overline{OP}^2 - R^2</math> 

所以圆内的点的幂为负数，圆外的点的幂为正数，圆上的点的幂为零。

==定理叙述==

[[平面几何]]中的[[相交弦定理]]指出，若P为在圆内的一点，且[[弦]]AB、CD相交于点P，则有：

<math>AP \cdot PB = CP \cdot PD</math> 

此时，它们的乘积是P点的幂的相反数（因为幂为非正数，而线段的乘积为正数）

平面几何中的'''切割线定理'''及其推论'''割线定理'''指出，若P为在圆外的一点，且切（割）线A(B)P与切（割）线C(D)P相交于点P，则有：

<math>AP \cdot PB = CP \cdot PD</math> 

其中若有一条割线为切线，则称为'''切割线定理'''；若两条割线均为切线，则称为切线长定理：

<math>AP^2 = CP^2</math> （A,C为切点），即 <math>AP = CP</math>

此时，它们的乘积恰等于P点的幂。

因此，可将以上关于圆的比例线段的定理整合为一，即'''圆幂定理'''：

对于半径为R的定圆O，若有两直线与该圆分别交于A、B和C、D，且彼此相交于点P，则有：

<math>AP \cdot PB = CP \cdot PD = \color{Red}|OP^2-R^2|</math>

[[Category:几何定理|Y]]
[[Category:圆]]