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{{Pi box}}
一个[[半径]]为 ''r'' 的'''圆的面积'''<ref>中文的“圆”可以指圆周（circle）也能指圆盘（disk），此文中“圆”指圆盘。</ref>为<math>\pi r^2</math>。这里的[[希腊字母]][[π]]，和通常一样代表[[圆周]]长和[[直径]]的比值，即為[[圆周率]]。

现代[[数学家]]可以用[[微积分]]或更高深的后继理论[[实分析]]得到这个面积。但是，在[[古希腊]],数学家[[阿基米德]]在《{{link-en|圆的测量|Measurement of a Circle}}》中使用[[欧几里得几何]]证明了一个圆周内部的面积等於一個以其圓周長及半徑作為兩個[[直角邊]]的[[直角三角形]]面積。周长为<math>2\pi r</math>，直角三角形的面积為兩直角邊乘積的一半，得出圆的面积为'''<math>\pi r^2</math>'''。[[中國]]古代流傳之《[[九章算術]]·方田》章中的圓田術對圓面積計算的敘述為“半周半徑相乘得積步”。[[魏晉]]時代的[[劉徽]]注解《九章算術》時，則以“窮盡”割圓術提供了相同結果的證明。

除了这上述古老和现代的方法，我们也考察一些具有历史和实际兴趣的不同方法，其中有精确的也有近似方法。

==算术证明==
按照阿基米德（{{Harvtxt|Archimedes|260 BCE}}）的方法，比较一个圆与底为圆周长高为半径的直角三角形。如果圆与三角形的面积不相等，那么必为大于或小于。我们用[[反证法]]排除这两种情形，剩下惟一可能就是等于。证明的关键是利用[[正多边形]]。

===不大于===
[[File:Archimedes circle area proof - inscribed polygons.svg|thumb|right|正方形和正八边形内接于圆，显示了面积差]]
假设圆面积<math>C</math>大于三角形<math>T=\frac{1}{2}cr</math>。记<math>E</math>为超过的部分。取一正方形内接于圆周，所有四个角在圆周上。在正方形和圆周之间是四个小[[弓形]]。如果这四个弓形的总面积<math>G_4</math>大于<math>E</math>，将每条弧平分。这样内接正方形变成了内接正八边形，产生了的 8 个弓形，总面积<math>G_8</math>更小。继续分割，直到总面积差<math>G_n</math>小于<math>E</math>。现在内接正多边形的面积<math>P_n=C-G_n</math>，一定比三角形的面积大。
 
:<math>\begin{align}
 E &{}= C - T \\
   &{}> G_n \\
 P_n &{}= C - G_n \\
     &{}> C - E \\
 P_n &{}> T
\end{align}</math>

但这产生了矛盾：从圆心向正多边形的每一边作[[垂线]]，垂线的长度<math>h</math>一定比圆半径小。而且每条多边形的边长<math>s</math>小于弓形弧长，这样边长<math>ns</math>总和小于圆周长。多边形区域和<math>n</math>个底为<math>s</math>高<math>h</math>的三角形面积，即等于 <math>\frac{1}{2}nhs</math>。但是由于<math>h<r</math>和<math>ns<c</math>，多边形面积一定小于三角形面积<math>\frac{1}{2}cr</math>，矛盾。从而我们的假设<math>C</math>比<math>T</math>大一定是错误的。

===不小于===
[[File:Archimedes circle area proof - circumscribed polygons.svg|thumb|right|圆外切正方形和正八边形，显示了面积差]]
假设圆面积小于三角形的面积。记<math>D</math>为不足的部分。取一个圆外切正方形，所以每条边的中点在圆周上。如果正方形和圆周的面积差<math>G_4</math>，大于<math>D</math>，将所有角用圆的切线裁去得到了一个圆外切正八边形，继续这样的过程直到面积差小于<math>D</math>。正多边形的面积<math>P_n</math>一定小于<math>T</math>。

:<math>\begin{align}
 D &{}= T - C \\
   &{}> G_n \\
 P_n &{}= C + G_n \\
     &{}< C + D \\
 P_n &{}< T
\end{align}</math>

这样同样得到了矛盾：因为圆心到多边形各边的垂线是半径，长为<math>r</math>。而边长总和大于圆周长，多边形由 ''n'' 个全等的三角形组成，总面积大于<math>T</math>。又一次我们得到了矛盾，从而假设<math>C</math>大于<math>T</math>一定也是错的。

所以圆的面积一定恰好和三角形的面积相等。这样便证明了结论。

==重排证明==
[[File:Circle area by reassembly.svg|thumb|right|圆面积重排]]
按照 SATŌ Moshun {{Harv|Smith|Mikami|1914|loc=pp.&nbsp;130–132}}和[[列奥纳多·达芬奇]]{{Harv|Beckmann|1976|loc=p.&nbsp;19}}的方法，我们可用另一方式使用圆内接正多边形。假设我们有一个内接[[正六边形]]。将其从圆心剪开为 6 个三角形。相对的两个三角形和两条相同的直径相接；沿着一条滑动，这样辐射状的边变为相邻。它们现在组成了一个[[平行四边形]]，六边形的边组成了一组相对底边<math>s</math>。两条辐射状边组成了斜边，高为<math>h</math>（和阿基米德里证明中的相同）。事实上，我们可以把所有的三角形连续排列起来，可组成一个大平行四边形。如果我们把边数增加为 8 条以及更多，同样成立。对一个正<math>2n</math>多边形，平行四边形的底边长为<math>2ns</math>，高为<math>h</math>。当边数增加时，平行四边形的边长趋近于周长一半，高趋近于圆半径。取极限，平行四边形变为一个宽<math>\pi r</math>高<math>r</math>的长方形。 

:{| cellpadding="3" cellspacing="0" frame="vsides" style="text-align:center"
|+ '''重排正'''<math>n</math>'''边形求单位圆面积'''
|- style="background-color:#eeeeee"
! colspan="3" | 多边形 !! colspan="6" | 平行四边形
|- style="background-color:#dddddd"
! ''<math>n</math>'' !! &nbsp;&nbsp;&nbsp; !! 边 !! &nbsp;&nbsp; &nbsp; &nbsp;&nbsp; !! 底 !! &nbsp;&nbsp; !! 高 !! &nbsp;&nbsp; !! 面积
|-
| align="right" |  4 || || 1.4142136 || || 2.8284271 || || 0.7071068 || || 2.0000000
|-
| align="right" |  6 || || 1.0000000 || || 3.0000000 || || 0.8660254 || || 2.5980762
|-
| align="right" |  8 || || 0.7653669 || || 3.0614675 || || 0.9238795 || || 2.8284271
|-
| align="right" | 10 || || 0.6180340 || || 3.0901699 || || 0.9510565 || || 2.9389263
|-
| align="right" | 12 || || 0.5176381 || || 3.1058285 || || 0.9659258 || || 3.0000000
|-
| align="right" | 14 || || 0.4450419 || || 3.1152931 || || 0.9749279 || || 3.0371862
|-
| align="right" | 16 || || 0.3901806 || || 3.1214452 || || 0.9807853 || || 3.0614675
|-
| align="right" | 96 || || 0.0654382 || || 3.1410320 || || 0.9994646 || || 3.1393502
|-
|<math>\infty</math>||  ||<math>\frac{1}{\infty}</math>||  ||<math>\pi</math>||  || 1 || ||<math>\pi</math>
|}

==洋葱证明==
[[File:Circle area rings.svg|thumb|right|通过环形积分求圆的面积]]
使用微积分，我们将圆像洋葱一样分为薄圆环，递增地求出面积。这是二维[[微积分学]]。对“洋葱”以 ''t'' 为半径的无穷薄圆环，贡献的面积是<math>2\pi t \; dt</math>，周长的长度乘以其无穷小宽度。这样对半径为<math>r</math>的圆给出了一个初等积分：

:<math>\begin{align}
 \mathrm{Area}(r) &{}= \int_0^{r} 2 \pi t \, dt \\
                  &{}= \left[ (2\pi) \frac{t^2}{2} \right]_{t=0}^{r}\\
                  &{}= \pi r^2.
\end{align} </math>

==半圆证明==
[[Image:semicircle.svg|frame|半径为''r''的半圆]]
利用[[三角换元法]]，我们代换<math>x=r \sin\theta </math>：
:<math>dx=r\cos \theta d\theta</math>
:<math>\theta = \arcsin \left ( \frac{x}{r} \right )</math>
圆面积 <math>=2\int_{-r}^r \sqrt{r^2 - x^2}\,dx</math>
:<math>=4 \int_{0}^r \sqrt{r^2 - x^2}\,dx</math>
:<math>=4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{r^2(1-\sin ^2 \theta)} \cdot r \cos \theta\, d \theta</math>
:<math>=4r^2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}  \cos ^2 \theta\, d \theta </math>

利用[[三角恒等式]] <math>\cos 2\theta = 2 \cos ^2 \theta\ - 1</math>，

:<math>=2r^2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1+\cos 2\theta)\, d \theta </math>
:<math>=2r^2\left[\theta+\frac{1}{2}\sin 2\theta\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}</math>
:<math>=\pi r^2.</math>

==快速逼近==
阿基米德算法逼近圆的面积数值非常费力，他算到 96 边形便停下了。一个更快的方法由[[威理博·斯涅尔]]提出（''Cyclometricus''，{{fact|1962年}}），[[惠更斯]]步其后尘（''De Circuli Magnitudine Inventa''，1654年），
{{Harvtxt|Gerretsen|Verdenduin|1983|loc=pp.&nbsp;243–250}} 记载了这种方法。

给定一个圆周，设<math>u_n</math>为内接正<math>n</math>边形的周长，设<math>U_n</math>为外切正<math>n</math>边形的面积。那么我们用如下两个公式：

:<math>u_{2n} = \sqrt{U_{2n} u_{n}}</math> &nbsp;&nbsp; （[[几何平均]]）

:<math>U_{2n} = \frac{2 U_{n} u_{n}}{ U_{n} + u_{n}}</math> &nbsp;&nbsp; （[[调和平均]]）

阿基米德将一个六边形翻倍 4 次得到了 96 边形。对一个单位圆，一个内接正六边形有<math>u_6=6</math>，一个外切正六边形有<math>U_6=4\sqrt{3}</math>。很幸运地我们有十进制小数记法和上面两个公式，所以可以很快算七次：

:{| cellpadding="3" cellspacing="0" frame="vsides" style="text-align:center"
|+ '''斯涅尔翻倍法算七次'''<math>n=6\times 2^k</math>'''.'''
|- style="background-color:#eeeeee"
!<math>k</math>!!&nbsp;&nbsp; !!<math>n</math>!!&nbsp; &nbsp; !!<math>u_n</math>!!&nbsp; !!<math>U_n</math>!!&nbsp; !!<math>\frac{u_n+U_n}{4}</math>
|-
| 0 || || 6 || || 6.0000000 || || 6.9282032 || || 3.2320508
|-
| 1 || || 12 || || 6.2116571 || || 6.4307806 || || 3.1606094
|-
| 2 || || 24 || || 6.2652572 || || 6.3193199 || || 3.1461443
|-
| 3 || || 48 || || 6.2787004 || || 6.2921724 || || 3.1427182
|-
| 4 || || 96 || || 6.2820639 || || 6.2854292 || || 3.1418733
|-
| 5 || || 192 || || 6.2829049 || || 6.2837461 || || 3.1416628
|-
| 6 || || 384 || || 6.2831152 || || 6.2833255 || || 3.1416102
|-
| 7 || || 768 || || 6.2831678 || || 6.2832204 || || 3.1415970
|}

最后一个数值的一个最佳有理逼近是<math>\frac{355}{113}</math>，这是<math>\pi</math>非常好的一个近似。但是斯涅尔提出（惠更斯证明）了一个比阿基米德方法更佳的界。

:<math> n \frac{3 \sin \frac{\pi}{n}}{2+\cos\frac{\pi}{n}} < \pi < n \frac{2 \sin \frac{\pi}{n} + \tan \frac{\pi}{n}}{3} </math>

从而我们能得到同样的逼近，从 48 边形算得十进制值约为 3.14159292。

===推导===
[[File:Huygens + Snell + van Ceulen - regular polygon doubling.svg|thumb|right|圆和相似三角形：外切边、内接边及其补、内接割线及其补]]

让我们考虑边长为<math>s_n</math>的圆内接正<math>n</math>边形，其中一条边为<math>AB</math>是圆的一条弦。设<math>A'</math>为圆周上<math>A</math>的对径点，从而<math>A'A</math>是一条直径，<math>A'AB</math>是直径上的一个圆内接三角形。由[[泰勒斯定理]]，这是一个直角三角形，角<math>B</math> 是直角。设<math>A'B</math>长<math>c_n</math>，我们称为<math>s_n</math>的补；从而<math>{c_n}^2+{s_n}^2=(2r)^2</math>。
设<math>C</math>平分弧<math>AB</math>，设<math>C'</math>为<math>C</math>的对径点。从而<math>CA</math>的长度为<math>s_{2n}</math>，<math>C'A</math>的长度为<math>c_{2n}</math>，<math>C'CA</math>是直径<math>C'C</math>上的直角三角形。因为<math>C</math>平分弧<math>AB</math>，<math>C'C</math>垂直于弦<math>AB</math>，垂足设为<math>P</math>。三角形<math>C'AP</math>也是一个直角三角形，[[相似]]于<math>C'CA</math>，因为它们在<math>C</math>有公共角。从而所有三条对应的边有相同的比例，特别地我们有
<math>C'A:C'C=C'P:C'A</math>以及<math>AP:C'A=CA:C'C</math>。圆心<math>O</math>，平分<math>A'A</math>，所以三角形<math>OAP</math>也相似于<math>A'AB</math>，<math>OP</math>的长度是<math>A'B</math> 的一半。就边长而言，我们得出

:<math>\begin{align}
 c_{2n}^2 &{}= \left( r + \frac{1}{2} c_n \right) 2r \\
 c_{2n} &{}= \frac{s_n}{s_{2n}} .
\end{align}</math>

在第一个等式中<math>C'P</math>为<math>C'O+OP</math>，长度<math>r+\frac{1}{2}c_n</math>，而<math>C'C</math>为直径<math>2r</math>。对一个单位圆我们有著名的[[鲁道夫·范·科伊伦]]翻倍公式，
:<math> c_{2n} = \sqrt{2+c_n} . \,\!</math>
现在如果我们外切一个正 ''n'' 边形，边为<math>A''+B''</math> 平行于<math>AB</math>，那么<math>OAB</math>和<math>OA''B''</math>是相似三角形，得出<math>A''B'':AB=OC:OP</math>。称外切边长为<math>S_n</math>，那么
<math>S_n:s_n=1:\frac{1}{2}c_n</math>。（我们又一次用到了<math>OP</math>长是<math>A'B</math>的一半。）
从而我们得到
:<math> c_n = 2\frac{s_n}{S_n} . \,\!</math>

称外切周长为<math>u_n=ns_n</math>，内接周长<math>U_n=nS_n</math>。那么将这些等式联合起来，我们有

:<math> c_{2n} = \frac{s_n}{s_{2n}} = 2 \frac{s_{2n}}{S_{2n}} , </math>
所以
:<math> u_{2n}^2 = u_n U_{2n} . \,\!</math>
这给出了一个[[几何平均]]等式。

同样我们也推出
:<math> 2 \frac{s_{2n}}{S_{2n}} \frac{s_n}{s_{2n}} = 2 + 2 \frac{s_n}{S_n} ,</math>
或
:<math> \frac{2}{U_{2n}} = \frac{1}{u_n} + \frac{1}{U_n} . </math>
这给出了一个[[调和平均]]等式。

==飞镖逼近==
[[File:Circle area Monte Carlo integration.svg|thumb|right|蒙特卡罗方法求圆面积。由这 900 个样本算得 4×<sup>709</sup>&frasl;<sub>900</sub>&nbsp;= 3.15111.]]
当更好的方法寻找圆的面积无效时，我们可以求助于“掷飞镖”。这种[[蒙特卡罗算法]]的原理是：如果随机样本一致地散布于一个包含圆的正方形中，样本击中圆的比例趋近于圆和正方形的面积比。这可以视为求圆（或任何区域）面积的最后一种手段，因为它要求巨大的样本数才能确保精确度，一个 10<sup>−''n''</sup> 的估计需要大约 100<sup>''n''</sup> 个随机样本{{Harv|Thijsse|2006|loc=p.&nbsp;273}}。在某些情形，蒙特卡罗算法是数值逼近可用的最好方法。

==有限拼图==
我们已经看到可以将圆分为无穷块重组为一个长方形。最近{{Harv|Laczkovich|1990}}发现的一个惊人的事实是我们可以将圆分为很大但'''有限'''块然后重拼成一个相同面积的正方形。这称为[[塔斯基分割圆问题]]。[[米可斯·拉茲柯維奇]]的证明本质是他证明了“存在”这样的分解（事实上有很多），但是没有给出任何实际的分解。

==推广==
我们可以将圆伸缩长为一个[[椭圆]]。因为伸缩是一个平面的[[线性变换]]，一个变形因子会改变面积但是保持面积的比例。这个观察可以用于从单位圆得出任何椭圆的面积。

考虑单位圆内切于边长为 2 的正方形。一个伸长或收缩分别把水平与垂直半径变为椭圆的[[半长轴]]与[[半短轴]]。正方形变为一个外切于椭圆的长方形。圆与正方形面积比为<math>\frac{\pi}{4}</math>，这意味着椭圆与长方形的面积比也是<math>\frac{\pi}{4}</math>。假设<math>a</math>和<math>b</math>分别为椭圆的半长轴与半短轴。因长方形的面积为<math>4ab</math>，从而椭圆的面积是<math>\pi ab</math>。

我们也可以考虑高维数类似测度，比如可能想要求出[[球体]]的体积。当我们知道球面面积公式后，可以使用与圆一样的“洋葱”积分法。

==参见==
*[[圆]]、[[圆周率]]
*[[割圆术 (刘徽)|割圆术]]，中国古代数学家[[刘徽]]所用的类似于阿基米德的方法。

==脚注==
<references />
==参考文献==
* {{citation
 | author = Archimedes
 | author-link = 阿基米德
 | editor = [[T. L. Heath]] (trans.)
 | title = The Works of Archimedes
 | year = 260 BCE
 | publisher = [[Dover Publications|Dover]]
 | ISBN = 978-0-486-42084-4
 | pages = 91–93
 | chapter = Measurement of a circle
 | url = http://www.archive.org/details/worksofarchimede029517mbp
 }}<br />(Originally published by [[Cambridge University Press]], 1897, based on J. L. Heiberg's Greek version.)
* {{citation
 | last = Beckmann
 | first = Petr
 | title = A History of Pi
 | year = 1976
 | publisher = [[St. Martin's Press|St. Martin's Griffin]]
 | ISBN = 978-0-312-38185-1
 }}
* {{citation
 | last1=Gerretsen
 | first1=J.
 | last2=Verdenduin
 | first2=P.
 | chapter=Chapter 8: Polygons and Polyhedra
 | pages=243–250
 | title=Fundamentals of Mathematics, Volume II: Geometry
 | editor= H. Behnke, F. Bachmann, K. Fladt, H. Kunle (eds.), S. H. Gould (trans.)
 | publisher=[[MIT Press]]
 | year=1983
 | ISBN=978-0-262-52094-2
}}<br />(Originally ''Grundzüge der Mathematik'', Vandenhoeck &amp; Ruprecht, Göttingen, 1971.)
* {{citation
 |last=Laczkovich 
 |first=Miklós 
 |author-link=米可斯·拉茲柯維奇 
 |title=Equidecomposability and discrepancy: A solution to Tarski's circle squaring problem 
 |journal=Journal für die reine und angewandte Mathematik ([[Crelle's Journal|Crelle’s Journal]]) 
 |volume=404 
 |pages=77–117 
 |year=1990 
 |url=http://dz-srv1.sub.uni-goettingen.de/sub/digbib/loader?ht=VIEW&did=D262326 
 |id={{ISSN|0075-4102}} 
}}{{dead link|date=六月 2017 |bot=InternetArchiveBot }}
* {{citation
 | last = Lange
 | first = Serge
 | author-link = Serge Lang
 | chapter = The length of the circle
 | title = Math! : Encounters with High School Students
 | year = 1985
 | publisher = [[Springer-Verlag]]
 | ISBN = 978-0-387-96129-3
 }}
* {{citation
 | last1=Smith
 | first1=David Eugene
 | author1-link=David Eugene Smith
 | last2=Mikami
 | first2=Yoshio
 | pages=130–132
 | title=A history of Japanese mathematics
 | place=Chicago
 | publisher=[[Open Court Publishing Company|Open Court Publishing]]
 | year=1914
 | ISBN=978-0-87548-170-8
 | url=http://www.archive.org/details/historyofjapanes00smituoft
}}
* {{citation 
 | title=Computational Physics
 | last1=Thijsse
 | first1=J. M. 
 | pages=p.&nbsp;273
 | publisher=Cambridge University Press
 | year=2006
 | ISBN=978-0-5215-7588-1
}}

== 外部链接 ==
* [http://www.mathopenref.com/circlearea.html Area enclosed by a circle] (with interactive animation)
* [http://www.sciencenews.org/articles/20041030/mathtrek.asp Science News on Tarski problem]

[[Category:圆]]
[[Category:面积]]
[[Category:包含证明的条目]]

[[de:Kreis#Kreisfläche]]