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{{NoteTA
|G1 = Math
|1 = zh-cn:实轴; zh-tw:貫軸
}}
[[File:Secciones Conicas.svg|thumb|280px|right|圆锥曲线]]
'''圆锥曲线'''（[[英語]]：'''conic section'''），又稱'''圓錐截痕'''、'''圓錐截面'''、'''二次平面曲线'''，是[[数学]]、[[幾何學]]中通过平切[[圆锥]]（嚴格為一个正圆锥面和一个[[平面 (数学)|平面]]完整相切）得到的[[曲线]]，包括[[圆]]，[[椭圆]]，[[抛物线]]，[[双曲线]]及一些退化类型。

圆锥曲线在約公元前200年時就已被命名和研究了，其發現者為[[古希臘]]的[[數學家]][[阿波羅尼奥斯]]，那时阿波羅尼阿斯对它们的性质已做了系统性的研究。

圆锥曲线应用最广泛的[[定义]]为（椭圆，抛物线，双曲线的统一定义）：动点到一定点（[[焦點 (幾何)|焦点]]）的距离与其到一定直线（[[准线]]）的距离之比为常数（[[離心率]]<math>e</math>）的点的集合是圆锥曲线。对于<math>0<e<1</math>得到椭圆，对于<math>e=1</math>得到抛物线，对于<math>e>1</math>得到双曲线。

==定义==
设<math>F</math>为[[定点]]，<math>l</math>为定[[直线]]，<math>e</math>为正[[常数]]，称满足<math>\frac{|PF|}{|Pl|}=e</math>的动点<math>P</math>的轨迹为'''圆锥曲线'''。

其中<math>F</math>为其[[焦点]]，<math>l</math>为[[准线]]，<math>e</math>为[[离心率]]。

由此可知，圆锥曲线的[[极坐标]][[参数方程]]为<math>\rho=e(d-\rho\cos\theta)</math>或<math>\rho=\frac{ed}{1\pm e\cos\theta}</math>（正负号由所选焦点与定直线所处的位置不同而引起）。
其中<math>\theta</math>为<math>PF</math>与[[极轴]]的[[夹角]]，<math>d</math>为定直线<math>x=d</math>，即准线到焦点的距离。

将参数方程转换成[[直角坐标]]方程易得，
:当<math>e=1</math>时，曲线为[[抛物线]]。
:当<math>e\neq 1</math>时，
::当<math>0<e<1</math>时，曲线为[[椭圆]]。
::当<math>e>1</math>时，曲线为[[双曲线]]。

== 圆锥曲线的类型 ==
{| class="wikitable"
! 圆锥曲线
! [[方程]]
! [[離心率]]（''e''）
! [[半焦距]]（''c''）
! [[半正焦弦]]（''ℓ''）
! [[焦点准线距离]]（''p''）
|-
|  [[圓]]
|| <math>x^2+y^2=a^2 \,</math>
|| <math> 0 \,</math>
|| <math> 0 \,</math>
|| <math> a \,</math>
|| <math> \infty</math>
|-
|  [[橢圓]]
|| <math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1</math>
|| <math>\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}</math>
|| <math>\sqrt{a^2-b^2}</math>
|| <math>\frac{b^2}{a}</math>
|| <math>\frac{b^2}{\sqrt{a^2-b^2}}</math>
|-
|  [[拋物線]]
|| <math>y^2=4ax \,</math>
|| <math> 1 \,</math>
|| <math> - \, </math>
|| <math> 2a \,</math>
|| <math> 2a \, </math>
|-
|  [[雙曲線]]
|| <math>\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1</math>
|| <math>\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}</math>
|| <math>\sqrt{a^2+b^2}</math>
|| <math>\frac{b^2}{a}</math>
|| <math>\frac{b^2}{\sqrt{a^2+b^2}}</math>
|}

[[File:Conic sections with plane.svg|right|400px|thumb|圆锥曲线的类型：1.抛物线2.圆和椭圆3.双曲线]]
[[椭圆]]，[[圆]]：当平面只与圆锥面一侧相交，交截线是[[闭合曲线]]的时候，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。如果截面与圆锥面的对称轴垂直，结果为圆。

[[抛物线]]：截面与圆锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。

[[双曲线]]：截面与圆锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线。

在平面通过圆锥的顶点的时候，有一些退化情况。交截线可以是一个直线、一个点、或一对直线。

== 几何性质 ==
=== 椭圆（Ellipse） ===

椭圆上的点到两个焦点的距离和等于长轴长（2a）。

=== 抛物线（Parabola） ===

抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离。

=== 双曲线（Hyperbola） ===

双曲线上的点到两个焦点的距离之差的绝对值等于貫轴长（2a）。

=== 离心率 ===
[[File:Eccentricity.svg|right|thumb|280px|有固定焦点''F''和准线的<FONT COLOR="ff0000">圓（''e''=0) </FONT>、<FONT COLOR="#ff8a00">椭圆（''e''=1/2）</FONT>、<FONT COLOR="#00ff00">抛物线 (''e''=1)</FONT>和<FONT COLOR="#0000ff">双曲线（''e''=2）</FONT>。]]

对于椭圆和双曲线，可以采用两种焦点-准线组合，每个都给出同样完整的椭圆或双曲线。从中心到准线的距离是<math>a/e \ </math>，这里的<math>a \ </math>是椭圆的[[半长轴]]，或双曲线的半实轴。从中心到焦点的距离是<math>ae \ </math>。

在圆的情况下，<math>e=0</math>且准线被假想为离中心无限远。这时声称圆由距离是到L的距离的e倍的所有点组成是没有意义的。

圆锥曲线的离心率因此是对它偏离于圆的程度的度量。

对于一个给定的<math>a \ </math>，<math>e \ </math>越接近于1，[[半短轴]]就越小。

== 笛卡尔坐标 ==

在[[笛卡尔坐标系]]内，二元[[二次方程]]的圖像可以表示圓錐曲線，并且所有圓錐曲線都以這種方式引出。方程有如下形式
:<math>
Q(x,y) = Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0. 
</math>
:此處參數<math>A\,</math>，<math>B\,</math>和<math>C\,</math>不得皆等於<math>0\,</math>。

===矩陣表示===
上述方程可以使用矩陣表示爲<ref>{{harvnb|Brannan|Esplen|Gray|1999|page=30}}</ref>

: <math>\left (\begin{matrix}x & y \end{matrix}\right) \left( \begin{matrix}A & B/2\\B/2 & C\end{matrix}\right) \left( \begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right) + \left(\begin{matrix}D & E \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right) +F= 0. </math>

亦可以寫作

: <math>\left(\begin{matrix}x & y & 1\end{matrix}\right) \left( \begin{matrix}A & B/2 & D/2\\B/2 & C & E/2\\D/2&E/2&F\end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}x\\y\\1\end{matrix}\right) = 0. </math>

這是在射影幾何中使用的齊次形式的一個特例。 (参见[[圆锥曲线#齐次坐标|齐次坐标]])

下文中記<math>A_{33} = \left( \begin{matrix}A & B/2\\B/2 & C\end{matrix}\right)</math>，記<math>
A_Q = 
\begin{pmatrix}
  A & B/2 & D/2 \\
  B/2 & C & E/2 \\
  D/2 & E/2 & F
\end{pmatrix}
</math>。

===類別===
藉由<math>A_Q</math>，我們可以判定圓錐曲線是否退化。

* 若<math>\det A_Q = 0</math>，則圓錐曲線<math>Q</math>退化。
* 若<math>\det A_Q \neq 0</math>，則圓錐曲線<math>Q</math>未退化。

若圓錐曲線未發生退化，則<ref name="Protter 1970 326">{{harvnb|Protter|Morrey|1970|p=326}}</ref>

* 若 <math> \det A_{33} > 0 </math>, 方程表示一個[[橢圓]]；
** 對於橢圓，當<math>(A + C) \det A_Q < 0</math>時，<math>Q</math>爲一個實橢圓；當<math>(A + C) \det A_Q > 0</math>時<math>Q</math>爲一個虛橢圓。（例如，<math>2x^2 + y^2 + 10 = 0 </math>沒有任何實值解，是一個虛橢圓）
** 特別的，若<math>A=C</math> ，<math>B=0</math>且<math>D^2+E^2-4AF>0\,</math>，作爲橢圓的特殊情況，<math>Q</math>表示一個[[圓]]。
* 若 <math> \det A_{33}  = 0 </math>，<math>Q</math>表示一條[[拋物線]]；
* 若 <math> \det A_{33} < 0 </math>，<math>Q</math>表示一條[[雙曲線]]；
** 若<math>A+C=0</math> ，<math>Q</math>表示一條直角雙曲線。

若圓錐曲線發生退化，則

* 若<math>\det A_{33} > 0</math>，作爲橢圓的退化，<math>Q</math>爲一個點。
* 若<math>\det A_{33} = 0</math>，作爲拋物線的退化，<math>Q</math>爲兩條平行直線。
** 若<math>D^2+E^2>4(A+C)F</math>，<math>Q</math>爲兩條不重合的平行直線。
** 若<math>D^2+E^2=4(A+C)F</math>，<math>Q</math>爲兩條重合的平行直線。（特別的，此時<math>A_Q</math>的[[秩 (线性代数)|秩]]爲1）
** 若<math>D^2+E^2<4(A+C)F</math>，<math>Q</math>直線不存在與實平面中。
* 若<math>\det A_{33} < 0</math>，作爲雙曲線的退化，<math>Q</math>爲兩條相交直線。（同時，也是雙曲線的漸近線）

在此處的表達中，<math>A</math>和<math>B</math>爲多項式係數，而非半長軸<math>A</math>和半短軸<math>B</math>。

===不變量===

矩陣<math>A_Q</math>、<math> A_{33} </math>的行列式，以及<math>A+C</math>（<math> A_{33} </math>的[[跡]]）在任意的旋轉和座標軸的交換中保持不變。<ref name="Protter 1970 326" /><ref>{{harvnb|Wilson|Tracey|1925|page=153}}</ref><ref>Pettofrezzo, Anthony, ''Matrices and Transformations'', Dover Publ., 1966, p. 110.</ref> <ref name="Spain" />{{rp|60–62頁}} 常數項<math>F</math>以及<math>D^2+E^2</math>僅在旋轉中保持不變。<ref name="Spain" />{{rp|60–62頁}}

===離心率===
<math>Q</math>的離心率可被寫作關於<math>Q</math>係數的函數。<ref>Ayoub, Ayoub B., "The eccentricity of a conic section," ''[[The College Mathematics Journal]]'' 34(2), March 2003, 116–121.</ref> 若 <math> \det A_{33}  = 0 </math>，<math>Q</math>爲 [[拋物線]]，其離心率爲1。其它情況下，假設<math>Q</math>表達一個未退化的橢圓或雙曲線，那麼 

:<math>e=\sqrt{\frac{2\sqrt{(A-C)^2 + B^2}}{\eta (A+C) + \sqrt{(A-C)^2 + B^2}}},</math>

此處若<math>\det A_Q</math>爲負則<math>\eta=1</math>；若<math>\det A_Q</math>爲正則<math>\eta=-1</math>。

此外，離心率<math>e</math>也是下述方程的一個正根<ref name=Spain>Spain, Barry, ''Analytical Conics'', Dover, 2007 (originally published 1957 by Pergamon Press).</ref>{{rp|89頁}}

:<math>\Delta e^4+[(A+C)^2-4\Delta]e^2-[(A+C)^2-4\Delta]=0,</math>

此處 <math>\Delta =\det A_{33} </math> 。對於橢圓或拋物線，該方程只有一個正根，即其離心率；對於雙曲線，其有兩個正根，其中的一個爲其離心率。

===轉換爲標準方程===

對於橢圓或雙曲線，<math>Q</math>可用變換後的變量<math> x', y'</math>表示爲如下所示的標準形式<ref>Ayoub, A. B., "The central conic sections revisited", ''[[Mathematics Magazine]]'' 66(5), 1993, 322–325.</ref> 

:<math> \frac{x'^2}{-S / \lambda_1^2\lambda_2}+\frac{y'^2}{-S / \lambda_1\lambda_2^2}=1,</math>

或等價的

:<math>\frac{x'^2}{-S / \lambda_1\Delta}+\frac{y'^2}{-S / \lambda_2\Delta}=1,</math>

此處，<math>\lambda_1</math>和<math>\lambda_2</math>爲<math>A_{33}</math>的[[特征值和特征向量|特徵值]]，也即下述方程的兩根：

:<math>\lambda^2-(A+C)\lambda +(AC-(B/2)^2) =0</math>

同時，<math>S = \det A_Q</math>，<math>\Delta=\lambda_1\lambda_2=\det A_{33}</math>。 

通過座標變換，各種類型的圓錐曲線都可以表示爲其標準形式：

{| class="wikitable" 
!  !! [[圆]]!![[椭圆]] !! [[抛物线]] !! [[双曲线]] 
|-
| 标准方程
| <math>{x^2} + {y^2}=a^2 \ </math> 
| <math>{x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2}=1 \ </math>
| <math>y^2=4ax\,</math>
| <math>{x^2 \over a^2} - {y^2 \over b^2}=1 \ </math>
|-
| 参数方程
| <math>a\cos\theta,a\sin\theta\,</math>
| <math>a\cos\theta,b\sin\theta\,</math>
| <math>a t^2,2 a t\,</math>
| <math>a\sec\theta,b\tan\theta\,</math>或<br /> <math>\pm a\cosh u,b \sinh u\,</math>
|}

== 极坐标 ==
[[File:Elps-slr.svg|right|thumb|300px|椭圆的半正焦弦]]

圆锥曲线的'''半正焦弦'''（semi-latus rectum）通常指示为<math>\ell</math>，是从单一焦点或两个焦点中的一个，到圆锥曲线自身的，沿着垂直于主轴（长轴）的直线度量的距离。它有关于[[半长轴]]<math>a</math>，和[[半短轴]]<math>b</math>，通过公式<math>a\ell=b^2 \ </math>或<math>\ell=a(1-e^2) \ </math>。

在[[极坐标|极坐标系]]中，圆锥曲线有一个焦点在原点，如果有另一个焦点的话它在正''x''轴上，给出自方程
: <math>r = {\ell \over (1 - e \cos \theta) }</math>，

或者，

: <math>\frac{1}{r} = \frac{1}{\ell}(1 - e \cos \theta)</math>，

如上，对于<math>e=0</math>得到一个圆，对于<math>0<e<1</math>得到椭圆，对于<math>e=1</math>得到抛物线，对于<math>e>1</math>得到双曲线。

== 齐次坐标 ==

在[[齐次坐标]]下圆锥曲线可以表示为：

:<math>A_1x^2 + A_2y^2 + A_3z^2 + 2B_1xy + 2B_2xz + 2B_3yz = 0\;</math>

或表示为[[矩阵]]：

: <math>\begin{bmatrix}x & y & z\end{bmatrix} . \begin{bmatrix}A_1 & B_1 & B_2\\B_1 & A_2 & B_3\\B_2&B_3&A_3\end{bmatrix} . \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix} = 0 </math>

矩阵<math>M=\begin{bmatrix}A_1 & B_1 & B_2\\B_1 & A_2 & B_3\\B_2&B_3&A_3\end{bmatrix}</math>叫做“圆锥曲线矩阵”。

<math> \Delta = det(M) = \begin{vmatrix}A_1 & B_1 & B_2\\B_1 & A_2 & B_3\\B_2&B_3&A_3\end{vmatrix} </math>叫做圆锥曲线的[[行列式]]。如果<math>\Delta=0</math>则这个圆锥曲线被称为退化的，这意味着圆锥曲线是两个直线的联合（两相交直线，两平行直线或两重合直线）或一点。。

例如，圆锥曲线<math>\begin{bmatrix}x & y & z\end{bmatrix} . \begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\0 & -1 & 0\\0&0&0\end{bmatrix} . \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix} = 0 </math>退化为两相交直线：<math> \{ x^2 - y^2 = 0\} = \{(x+y)(x-y)=0\} = \{x+y=0\} \cup \{x-y=0\}</math>。

类似的，圆锥曲线有时退化为两重合直线（两直线重合成一条）:
<math>\{x^2+2xy+y^2 = 0\} = \{(x+y)^2=0\}=\{x+y=0\} \cup \{x+y=0\} = \{x+y=0\}</math>。

<math> \delta = \begin{vmatrix}A_1 & B_1\\B_1 & A_2\end{vmatrix} </math>被称为圆锥曲线的[[判别式]]。如果<math>\delta=0</math>则圆锥曲线是[[抛物线]]，如果<math>\delta<0</math>则是[[双曲线]]，如果<math>\delta>0</math>则是[[椭圆]]。如果<math>\delta>0</math>且<math>A_1=A_2</math>，圆锥曲线是[[圆]]；如果<math>\delta<0</math>且<math>A_1=-A_2</math>，它是直角[[双曲线]]。可以证明在[[複射影平面]]<math>\mathbb{CP}^2</math>中，两个圆锥曲线共有四个点（如果考虑[[重根]]），所以永不多于4个交点并总有1个交点（可能性：4个不同的交点，2个单一交点和1个双重交点，2个双重交点，1单一交点和1个三重交点，1个四重交点）。如果存在至少一个重根<math>>1</math>的交点，则两个圆锥曲线被称为[[切线|相切]]的。如果只有一个四重交点，两个圆锥曲线被称为是[[振动|共振]]的。

进一步的，每个[[直线]]与每个圆锥曲线相交两次。如果两交点是重合成一点，则这个线被称为[[切线]]。因为所有直线交圆锥曲线两次，每个圆锥曲线有两个点在[[实射影平面|无穷远]]（与[[无穷远线]]的交点）。如果这些点是实数的，圆锥曲线必定是[[双曲线]]；如果它们是虚共轭，圆锥曲线必定是[[椭圆]]，如果圆锥曲线有双重点在无穷远，则它是[[抛物线]]。如果在无穷远的点是<math>(1,i,0)</math>和<math>(1,-i,0)</math>，则圆锥曲线是[[圆]]。如果圆锥曲线有一个实数点和一个虚数点在无穷远，或它有两个不共轭的虚数点，它不是抛物线、不是椭圆、不是双曲线。

== 参考文献 ==
<references />

== 外部链接 ==

* [http://xahlee.org/SpecialPlaneCurves_dir/ConicSections_dir/conicSections.html Conic sections] at [http://xahlee.org/SpecialPlaneCurves_dir/specialPlaneCurves.html Special plane curves].
* {{MathWorld | urlname=ConicSection | title=Conic Section}}
* {{MathWorld | urlname=ConicSectionDirectrix | title=Conic Section Directrix}}
* {{MathWorld | urlname=Focus| title=Focus}}
* [https://web.archive.org/web/20070608234144/http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/ConicFitMod.html Determinants and Conic Section Curves] 
* [https://web.archive.org/web/20060406010638/http://britton.disted.camosun.bc.ca/jbconics.htm Occurrence of the conics. Conics in nature and elsewhere].
{{Template:幾何術語}}

[[Category:圆锥曲线|*]]
[[Category:数学]]