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{{NoteTA|G1=數學}}
{{李群}}
在[[數學]]裡，'''圓群'''標記為'''T'''，為所有模為1之[[複數]]所組成的乘法[[群]]，即在複數平面上的[[單位圓]]。
:<math>\mathbb T = \{ z \in \mathbb C : |z| = 1 \}.</math>
圓群為所有非零複數所組成之乘法群'''C'''<sup>×</sup>的[[子群]]。由于'''C'''<sup>×</sup>[[阿貝爾群|可交換]]，'''T'''也是可交換的。

圓群的符號'''T'''源自於'''T'''<sup>''n''</sup>（''n''個'''T'''的[[直積]]）幾何上是個''n''-[[環面]]的此一事實。而圓群即正是一個1-環面。

==基本介紹==


[[File:Circle-group.svg|thumb|200px|圓群上的加法]]

思考圓群的一種方法是描述其「角度」如何相加，其中只有0至360度的角度是被允許的。例如，右邊的圖表描述著如何將150度加上270度。其答案應該是150度+270度=420度，但以圓群的觀點來考慮，而必須要「忘記」掃過一整個圓的事實。因此，必須以360度來調整其答案，如此將會得出420度−360度=60度之答案。

另一種描述方法是使用原本的加法，但數字只限定在0和1之間。要完成此一描述，必須丟掉小數點前的數位。例如，當在算0.784+0.925+0.446時，其答案應該是2.155，但這裡必須丟掉前面的2，因此其答案（在圓群中）會是0.155。

==拓撲與解析結構==

圓群不只是一個抽象代數群而已。當將其視為複數平面的[[子空間拓撲|子空間]]時，其會有一個自然的[[拓撲空間|拓撲]]。因為乘法和反演是在'''C'''<sup>×</sup>上的[[連續函數 (拓撲學)|連續函數]]，圓群會有一[[拓撲群]]的結構。更甚地，當單位圓是複數平面上的一個[[閉集|閉子集]]時，圓群也會是'''C'''<sup>×</sup>（其自身被視為是一拓撲群）的閉子群。

更多地，因為圓是一個一維實[[流形]]且其乘法和反演為圓上的圓變映射，這給了圓群一個一維[[李群]]的結構。實際上，以同構來分，其為唯一的一個同構於'''T'''<sup>''n''</sup>的一維[[緊集|緊緻]][[連通空間|連通]]李群

==同構==

圓群在數學裡可承現出很多種不同的類型。下面列出較常見的幾種類型，並證明

:<math>\mathbb T \cong \mbox{U}(1) \cong \mbox{SO}(2) \cong \mathbb R/\mathbb Z.\,</math>

由所有一階[[酉矩陣]]（即單位複數）所組成之群顯然與圓群相對應；其酉的條件即等價於其元素的模為1的條件。因此圓群會同構於第一個[[酉群]]U(1)。

[[純虛數指數函數]]會產生一個由實數加法群'''R'''映射至圓群'''T'''上之[[群同態]]exp:'''R'''→'''T'''，其映射為

:<math>\theta \mapsto e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta</math>

其最後一個等式為[[欧拉公式]]。實數''θ''會對應到單位圓上由正''x''軸量起的角度。這個映射是一個同態，因為單位複數的乘法可以對應到角度的加法上：

:<math>e^{i\theta_1}e^{i\theta_2} = e^{i(\theta_1+\theta_2)}</math>

此一指數映射很明顯地是一個由'''R'''映射至'''T'''的[[滿射]]函數，但它不是[[單射]]。這個映射的[[核 (數學)|核]]為所有''2π''[[整數]]倍之集合。基於[[同構定理|第一同構定理]]，會有著

:<math>\mathbb T \cong \mathbb R/2\pi\mathbb Z</math>

調整一下尺度後，也可以說'''T'''同構於'''R'''/'''Z'''。

若將複數視為二階實[[矩陣]]（見[[複數]]），單位複數則會對應至有單位[[行列式]]的二階[[正交矩陣]]上。具體地說，會有如下之對應關係

:<math> e^{i\theta} \leftrightarrow \exp\left(\theta\begin{bmatrix}
    0 & -1 \\
    1 & 0
  \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta \\
\end{bmatrix} = \cos{\theta}\begin{bmatrix}
    1 & 0 \\
    0 & 1
  \end{bmatrix}
  +\sin{\theta}\begin{bmatrix}
    0 & -1 \\
    1 & 0
  \end{bmatrix}</math>

圓群因此會同構於[[特殊正交群]]SO(2)。此處有著一個單位複數之乘法的幾何解釋，即為複數平面上的旋轉，並且任何旋轉都可表達成這種形式。

==性質==

任何大於0之維度的緊緻李群''G''都會有一個會同構於圓群的[[子群]]。這是指以[[對稱]]的觀點來思考，一「連續」作用的緊緻對稱群可以被表示成有一作用著的單參數圓子群；其在物理系統上的結果可以有如[[旋轉不變性]]和[[自發性對稱破壞]]等例子。

圓群有許多個[[子群]]，但其純[[緊集|緊緻]]子群只由[[單位根]]所構成。

==表示==

圓群的[[群表示|表示]]是很容易描述的。[[舒爾引理]]描述說一個阿貝爾群的所有[[不可約表示|不可約]][[複數|複]]表示都是一維的。圓群是緊緻的，任一表示<math>\rho\colon\mathbb T\to \mathrm{GL}_1(\mathbb C) \cong \mathbb C^{\times}</math>都必須在<math>\mathrm{U}(1)\cong\mathbb T</math>內取值。因此，圓群的不可約表示只是個由圓群映射至其本身的同態。每一個如此的同態都會有下面的形式
:<math>\phi_n(e^{i\theta}) = e^{in\theta},\qquad n\in\mathbb Z.</math>
這些表示都是等價的。表示<math>\phi_{-n}</math> [[共軛表示|共軛]]於<math>\phi_n</math>

:<math>\phi_{-n} = \overline{\phi_n}.</math>

這些表示都只是圓群的[[特徵標]]。而'''T'''的[[特徵標群]]明顯為由<math>\phi_1</math>所產生之[[循環群|無限循環群]]：
:<math>\mathrm{Hom}(\mathbb T,\mathbb T) \cong \mathbb Z.</math>

圓群的不可約[[實數]]表示為（一維的）[[當然表示]]，且其表示
:<math>\rho_n(e^{i\theta}) = \begin{bmatrix}
\cos n\theta & -\sin n\theta \\
\sin n\theta & \cos n\theta \\
\end{bmatrix},\quad n\in\mathbb Z^{+}.</math>
的值在SO(2)內。這裡只有正整數''n''，因為表示<math>\rho_{-n}</math>會等價於<math>\rho_n</math>。

==代數結構==

在此一章節中將不提及圓群的拓撲結構，而只專注於其代數結構。

圓群'''T'''是一個[[可除群]]。其[[撓子群]]是由所有''n''次[[單位根]]所組成之集合，且會同構於'''Q'''/'''Z'''。可除群的結構定理表示'''T'''會同構於'''Q'''/'''Z'''和一串'''Q'''的[[直積]]。這一串'''Q'''的數目必須為''c''（[[連續勢]]）為了使直積的勢會是正確的。但''c''個'''Q'''的直積會同構於'''R'''，'''R'''如同是在'''Q'''上的''c''維[[向量空間]]。因此

:<math>\mathbb T \cong \mathbb R \oplus (\mathbb Q / \mathbb Z).\,</math>

同構

:<math>\mathbb C^\times \cong \mathbb R \oplus (\mathbb Q / \mathbb Z)</math>

也可以以同樣的方式證明，因為'''C'''<sup>×</sup>也是其撓子群和'''T'''的撓子群相同的可除阿貝爾群。

==另見==

*[[環面]]
*[[單參數子群]]
*[[酉群]]
*[[正交群]]

[[Category:群論|U]]
[[Category:拓撲群|U]]
[[Category:李群|U]]