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{{NoteTA|G1=Math|均方差}}
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{{Not|均方误差|均方差}}

'''均方根误差'''（或稱'''方均根偏移'''、'''均方根差'''、'''方均根差'''等，英文：{{Lang|en|root-mean-square deviation}}、{{Lang|en|root-mean-square error}}、'''{{Lang|en|RMSD}}'''、'''{{Lang|en|RMSE}}'''）是一種常用的測量數值之間差異的[[量度]]，其數值常為模型預測的量或是被觀察到的[[估計量]]。方均根偏移代表預測的值和觀察到的值之差的樣本[[標準差]]（sample standard deviation），當這些差值是以資料樣本來估計時，他們通常被稱為[[殘差]]；當這些差值不以樣本來計算時，通常被稱為預測誤差（prediction errors）。方均根偏移主要用來聚集預測裏頭誤差的大小，通常是在不同的時間下，以一個量值來表現其預測的能力。方均根偏移是一個好的準度的量度，但因其與數值範圍有關，因此被限制只能用來比較不同模型間某個特定變數的預知誤差。

== 方程式 ==

均方根誤差的定義是[[估计量|估計量]] <math>\hat{\theta}</math>與 <math>\theta</math>之差期望值的平方根：

:<math>\operatorname{RMSD}(\hat{\theta}) = \sqrt{\operatorname{MSE}(\hat{\theta})} = \sqrt{\operatorname{E}((\hat{\theta}-\theta)^2)}.</math>

對一個[[估计量的偏差|无偏估计量]]（unbiased estimator）來說，均方根差是變異數的平方根，也就是我們所稱的[[標準差]]。

均方根差的預測值 <math>\hat y_t</math>對時間t的[[迴歸分析|迴歸]]應變項（[[:en:Dependent_and_independent_variables|dependent variable]]）<math>y_t</math>是以n個不同的預測來做為其均方差的平方根：

:<math>\operatorname{RMSD}=\sqrt{\frac{\sum_{t=1}^n (\hat y_t - y_t)^2}{n}}.</math>

在某些情況下，均方根差被用來比較兩個物品之間的不同（可能沒有任一個物品被視為「標準」）。例如，當我們在量測兩個時間序列 <math>x_{1,t}</math> 和 <math>x_{2,t}</math>時，方均根的式子會變成
:<math>\operatorname{RMSD}= \sqrt{\frac{\sum_{t=1}^n (x_{1,t} - x_{2,t})^2}{n}}.</math>

==正規化的均方根誤差==
正規化的均方根誤差可以使得不同數值範圍的資料集更易於比較。雖然目前並沒有一個一致性的方法來正規化均方根差，但較常用平均值或是資料的範圍來正規化被量測的資料。
:<math>\mathrm{NRMSD} = \frac{\mathrm{RMSD}}{y_\max -y_\min}</math> or <math> \mathrm{NRMSD} = \frac {\mathrm{RMSD}}{\bar y}  </math>.

這個值常被用來指正規化的方均根偏移或誤差，同時也常常被表示成比例。當比例的值較低時，代表較少的殘差變異。在很多情況下，特別是取較小的樣本的時候，樣本的範圍容易被樣本的大小影響，其準確度可能就受到影響。

當以平均值來正規化量測值時，均方根差的[[變異係數]]可能被用來避免混淆。這和均方根差在標準差上的變異係數是相同的。

:<math> \mathrm{CV(RMSD)} = \frac {\mathrm{RMSD}}{\bar y} </math>

==應用==
*在[[气象学]]上，可用來評估一個數值模型可以多好的預測[[大氣層]]的行為。
*在[[生物資訊學]]中，均方根差被用來量測重疊蛋白質（superimposed proteins）分子間的距離。
*在結構藥物設計中，均方根差被用來測量[[配體]]（ligand）的晶格構造以及對接預測（docking prediction）。
*在[[經濟學]]中，均方根差被用來覺得一個模型是否符合經濟指標。部分專家曾提出均方根差比相對絕對誤差（relative absolute error）來的不可靠。
*在實驗心理學中，分均根差被用來指示一個數學或計算行為模型（mathematical or computational models）能解釋實際觀察行為的良好程度。
*在[[地理資訊系統]]中（GIS），均方根差是一種用來量測空間分析和遠距偵測的量度。
*在[[水文地質學]]中，均方根差和正規化均方根差被用來評估地下水模型的刻度。
*在影像科學中，均方根差是一種峰值訊噪比，是一種用來檢視一個方法能多好的去重建原來的影像。
*在計算神經科學中，均方根差被用來檢視一個系統能學習一個給定模型的能力。
*在[[蛋白質]]核磁共振光譜學中，均方根差被用來當作一個評估結構品質的量度。

[[Category:统计学]]