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{{Not|均方差|均方根误差}}

在[[统计学]]中，'''均方误差'''（{{Lang-en|mean-square error}}、'''MSE'''）是对于无法观察的参数<math>\theta</math>的一个估计函数''T''；其定义为：

<math>\operatorname{MSE}(T)=\operatorname{E}((T-\theta)^2),</math>

即，它是“误差”的平方的[[期望值]]。误差就是估计值与被估计量的差。均方误差满足等式

:<math>\operatorname{MSE}(T)=\operatorname{var}(T)+(\operatorname{bias}(T))^2</math>

其中

:<math>\operatorname{bias}(T)=\operatorname{E}(T)-\theta,</math>

也就是说，[[偏差]]<math>\operatorname{bias}(T)</math>是估计函数的期望值与那个无法观察的参数的差。

下边是一个具体例子。假设

:<math>X_1,\dots,X_n\sim\operatorname{N}(\mu,\sigma^2),</math>

即<math>X_1,\dots,X_n</math>是一组来自正态分布的样本。常用的两个对σ<sup>2</sup>估计函数为： 


:<math>\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\left(X_i-\overline{X}\,\right)^2\ </math>　和　<math> \frac{1}
{n-1}\sum_{i=1}^n\left(X_i-\overline{X}\,\right)^2 </math>

其中

:<math>\overline{X}=(X_1+\cdots+X_n)/n</math>

为样本均值。

第一个估计函数为[[最大似然估计]]，它是有偏的，即[[偏差]]不为零，但是它的方差比第二个小。而第二个估计函数是无偏的。较大的方差某种程度上补偿了偏差，因此第二个估计函数的均方误差比第一个要大。

另外，这两个估计函数的均方误差都比下边这个有偏估计函数大：<math>\frac{1}{n+1}\sum_{i=1}^n\left(X_i-\overline{X}\,\right)^2 </math>

这个估计函数使得形如<math>c\sum_{i=1}^n\left(X_i-\overline{X}\,\right)^2 </math>（其中c是常数）的均方误差最小。

== 参见 ==
* [[峰值信噪比]]
* [[图像压缩]]
* [[视频压缩]]

== 外部链接 ==
* [http://www.compression.ru/video/quality_measure/video_measurement_tool_en.html 测量图像以及视频均方误差的一些工具]
{{Statistics-stub}}

[[Category:统计学]]
[[Category:估计理论]]