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[[File:Orthosystem SVG.svg|thumb|right|260px|一个垂心组，其中一点是另三点构成的三角形的垂心]]
在[[几何学]]中，一个'''垂心组'''是由四个[[点]]组成的[[平面图形]]，使得其中一点都是另外三点组成的三角形的[[垂心]]。

==结构==
如果四个点构成一个垂心组，那么实际上可以证明每个点都是另外三点组成的三角形的[[垂心]]。因此，在一个垂心组中，四个点的地位是相同的。在一般情况下，四个点的位置互不相同，除非其中有三个点构成[[三角形|直角三角形]]。这时第四个点和直角顶点重合。在所有其他的情况里，会有一个点落在另三点所构成的三角形的内部。

==性质==
[[Image:Orthocentric_system_and_their_circumcenters.PNG|thumb|left|360px|如图，垂心组<math>A_1A_2A_3A_4</math>的四个三角形的外接圆们的圆心为<math>O_1O_2O_3O_4</math>：恰好是原来的垂心组翻转过来的样子。]]
一个垂心组中的点可以构成四个三角形。这四个三角形中有一个是[[三角形|锐角三角形]]，另外三个是[[三角形|钝角三角形]]。这四个三角形的[[九点圆]]都是同一个称为垂心组的（公共的）九点圆；它们的[[外接圆]]有相同的[[半径]]，这个半径称为垂心组的外接圆半径。这四个外接圆的圆心也构成一个垂心组，并且和原来的垂心组全等（形状一样），可以看成是原来的垂心组关于一点旋转180°之后的结果。这个点就是原垂心组的九点圆的圆心。

[[Image:Nine point circle for orthocentric system.PNG|thumb|right|250px|垂心组的四个三角形拥有共同的九点圆：<math>A_4</math> 和<math>O_4</math> 关于<math>O</math> 对称。]]

将垂心组的四点两两连起来，并延长成[[直线]]，则可以得到六条直线。这六条直线有七个交点，其中四个是原来垂心组的四点，另外三点都是两两垂直的直线的交点，它们是垂心组中唯一一个锐角三角形的三条[[高线]]的垂足。这三个点构成的三角形叫做垂心的[[垂足三角形]]。垂心组中不构成锐角三角形的那一点不仅是锐角三角形的垂心，也是垂心的垂足三角形的[[内心]]。而垂心组的另外三个点（构成锐角三角形的三个点）则是垂心的垂足三角形的三个[[旁切圆|旁心]]。反过来则可以推出：任何一个三角形的内心和三个旁心构成一个垂心组。

==参考来源==
*{{cite book|author=R.A.约翰逊，单墫 译|title=近代欧氏几何学|pages=142-146|publisher=上海教育出版社|ISBN=7-5320-6392-5}}
*{{cite book|author=Altshiller-Court|title= ''College Geometry: A Second Course in Plane Geometry for Colleges and Normal Schools'' |publisher= New York: Barnes and Noble, 2nd ed.|pages=109-114 |date=1952}} 
[[Category:三角形几何]]
[[Category:几何学]]