查看“埃尔米特矩阵”的源代码

{{NoteTA|G1=Math}}
{{线性代数}}
'''埃尔米特矩阵'''（{{lang-en|Hermitian matrix}}，又译作'''厄米特矩阵'''，'''厄米矩阵'''），也稱'''自[[埃爾米特伴隨|伴隨]]矩陣'''，是[[共轭转置|共轭]][[對稱矩陣|對稱]]的[[方块矩阵|方陣]]。埃尔米特矩阵中每一个第''i''行第''j''列的元素都与第''j''行第''i''列的元素的[[共轭复数|复共轭]]。

对于
:<math>A = \{ a_{i,j} \} \in C^{n \times n} </math>

有：

:<math>a_{i,j} = \overline{a_{j,i}}</math>，其中<math>\overline{(\cdot)}</math>为[[共轭转置|共轭]][[算子]]。

记做：
:<math> A = A^H \quad </math>
例如：
:<math>\begin{bmatrix}
3&2+i\\
2-i&1
\end{bmatrix}</math>

就是一个埃尔米特矩阵。

显然，埃尔米特矩阵[[主对角线]]上的元素都是[[实数]]的，其特征值也是实数。对于只包含实数元素的矩阵（实矩阵），如果它是对称阵，即所有元素关于主对角线对称，那么它也是埃尔米特矩阵。也就是说，实对称矩阵是埃尔米特矩阵的特例。

== 性质 ==
* 若''A''和''B''是埃尔米特矩阵，那么它们的和''A+B''也是埃尔米特矩阵；而只有在''A''和''B''满足交换性（即''AB'' = ''BA''）时，它们的积才是埃尔米特矩阵。
* 可逆的埃尔米特矩阵''A''的[[逆矩阵]]''A<sup>-1</sup>''仍然是埃尔米特矩阵。
* 如果''A''是埃尔米特矩阵，对于[[正整数]]''n''，''A''<sup>''n''</sup>是埃尔米特矩阵。
* 方阵''C''与其共轭转置的和<math>C + (C^*)</math>是埃尔米特矩阵，
* 方阵''C''与其共轭转置的差<math>C - C^*</math>是[[斜埃尔米特矩阵]]。
* 任意方阵''C''都可以用一个埃尔米特矩阵''A''与一个斜埃尔米特矩阵''B''的和表示：
::<math>C = A+B \quad\mbox{with}\quad A = \frac{1}{2}(C + C^*) \quad\mbox{and}\quad B = \frac{1}{2}(C - C^*)</math>。
* 埃尔米特矩阵是[[正规矩阵]]，因此埃尔米特矩阵可被[[酉矩阵|酉]][[对角化]]，而且得到的对角阵的元素都是实数。这意味着埃尔米特矩阵的[[特征值]]都是实的，而且不同的特征值所对应的[[特征向量]]相互[[正交]]，因此可以在这些特征向量中找出一组'''C'''<sup>''n''</sup>的[[正交基]]。
* n-阶埃尔米特矩阵的元素构成[[维数]]为''n''<sup>2</sup>的[[实向量空间]]，因为主对角线上的元素有一个[[自由度 (數學)|自由度]]，而主对角线之上的元素有两个自由度。
* 如果埃尔米特矩阵的特征值都是[[正数]]，那么这个矩阵是[[正定矩阵]]，若它们是非负的，则这个矩阵是[[半正定矩阵]]。

== 埃尔米特序列 ==

'''埃尔米特序列'''（亦或'''埃尔米特向量'''）指满足下列条件的序列''a''<sub>''k''</sub>（其中''k'' = 0, 1,…, ''n''）： 
:<math> \Im(a_0) = 0 \quad \mbox{and} \quad a_k = \overline{a_{n-k}} \quad \mbox{for } k=1,2,\dots,n</math>。
若''n''是[[偶数]]，则''a''<sub>''n''/2</sub>是[[实数]]。

实数序列的[[离散傅里叶变换]]是埃尔米特序列。反之，一个埃尔米特序列的逆离散傅里叶变换是实序列。

== 参见 ==
* [[共轭转置]]
* [[正规矩阵]]
*[[辛矩阵]]
*[[酉群]]
*[[酉算子]]
*[[矩阵分解]]

[[Category:矩陣]]