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在[[线性代数]]中，''n'' 维[[向量空间]]的[[基 (线性代数)|基]]是 ''n'' 个向量 α<sub>1</sub>, ..., α<sub>n</sub> 的序列，带有所有这个空间中的向量可以唯一的表达为[[基向量]]的[[线性组合]]的性质。因为经常需要处理一个向量空间的多于一个的基，在线性代数中能够轻易的变换向量的逐坐标表达，和变换关于一个基的[[线性映射]]到关于另一个基的等价表达是根本重要的。这种变换叫做'''基变更'''。 尽管下面采用了术语向量空间，符号 R 意味着[[实数]][[域 (数学)|域]]，这里讨论的结果成立只要 R 是[[交换环]]，而这里的向量空间可替代为[[自由模|自由]] [[模|R-模]]''。 == 预备概念 == R<sup>n</sup> 的'''平常基'''是 <math>\{ \vec{e}_1, \cdots, \vec{e}_n \} </math>，这里的 <math>\vec{e}_j = (0, \cdots, 1, 0, \cdots, 0)</math> 是 R<sup>n</sup> 的元素，带有 1 在第 ''j'' 个位置上其他地方都是 0。 如果 ''T'' : R<sup>n</sup> → R<sup>m</sup> 是[[线性变换]]，''T'' 的 m × n '''[[矩阵]]'''是对于 <math>j = 1,\cdots,n</math> 其第 ''j'' 纵列是 <math>T(\vec{e}_j) \,</math> 的矩阵 '''t'''。在这种情况下我们有 <math>T(\vec{x}) = \mathbf{t}\vec{x}</math> 对于所有 R<sup>n</sup> 中的 '''x'''，这里我们把 '''x''' 当作列向量，在右侧的乘法是[[矩阵乘法]]。在线性代数中一个基本事实是从 R<sup>n</sup> 到 R<sup>m</sup> 的所有线性变换的向量空间 Hom(R<sup>n</sup>, R<sup>m</sup>) 自然的[[同构]]在 R 上的 m × n 矩阵的空间 R<sup>m × n</sup>；就是说线性变换 ''T'' : R<sup>n</sup> → R<sup>m</sup> 对于所有目的和用途都等价于它的矩阵 '''t'''。 我们还利用下列简单的观察。 '''定理'''：设 ''V'' 和 ''W'' 是向量空间，设 <math> \{ \alpha_1, \cdots, \alpha_n \}</math> 是 ''V'' 的基，并设 <math>\{ \gamma_1, \cdots, \gamma_n \} </math> 是任何 ''W'' 中的 ''n'' 个向量。则存在一个唯一的线性变换 ''T'' : ''V'' → ''W'' ，对于 <math>j = 1,\cdots,n</math> 有 <math>T(\alpha_j) = \gamma_j \,</math>。 这个唯一的 ''T'' 定义自 <math>T(x_1 \alpha_1 + \cdots + x_n \alpha_n) = x_1 \gamma_1 + \cdots + x_n \gamma_n</math>。当然，如果 <math>\{ \gamma_1, \cdots, \gamma_n \} </math>碰巧是 ''W'' 的基，则 ''T'' 是[[双射]]又是线性的；换句话说，''T'' 是[[同构]]。如果在这种情况下我们还有 ''W'' = ''V''，则 ''T'' 被称为是[[自同构]]。 现在设 ''V'' 在 R 上的向量空间并假设 <math>\{ \alpha_1, \cdots, \alpha_n \}</math> 是 ''V'' 的基。通过定义，如果 ξ 是 ''V'' 中的向量，则 <math> \xi = x_1 \alpha_1 + \cdots + x_n \alpha_n </math> 是 <math>x_1, \cdots, x_n</math> 在 R 中唯一[[标量]]选择，被叫做 ξ '''相对于有序基''' <math>\{ \alpha_1, \cdots, \alpha_n \}</math> 的'''坐标'''。 R<sup>n</sup> 中的向量 <math>\vec{x} = (x_1, \cdots, x_n) </math> 被叫做 ξ (相对于这个基)的'''坐标元组'''。唯一的线性映射 φ : R<sup>n</sup> → ''V''，对于 <math>j = 1,\cdots n</math> 有 <math>\phi (\vec{e}_j) = \alpha_j \,</math>，它被称为对 ''V'' 和基 <math>\{ \alpha_1, \cdots, \alpha_n \} </math> 的'''坐标同构'''。所以 <math>\phi (\vec{x}) = \xi \,</math> [[当且仅当]] <math> \xi = x_1 \alpha_1 + \cdots + x_n \alpha_n</math>。 == 坐标变更 == 我们实现检查在 ''V'' 中的向量 ξ 的坐标在选择了另一个基的时候怎样变更的问题。假设 <math> \{ \alpha_1, \cdots, \alpha_n \} </math> 和 <math> \{ \alpha'_1, \cdots, \alpha'_n \} </math> 是 ''V'' 的两个基。设 φ<sub>1</sub> 和 φ<sub>2</sub> 是从 R<sup>n</sup> 到 ''V'' 的对应的坐标同构就是说 <math>\phi_1(\vec{e}_j) = \alpha_j \,</math> 而 <math>\phi_2(\vec{e}_j) = \alpha'_j \,</math> 对于 <math>j = 1, \cdots, n</math>。如果 <math> \vec{x} = (x_1, \cdots, x_n) </math> 是 ξ 关于第一个基的坐标 ''n''-元组，因此 <math>\xi = \phi_1(\vec{x}) \,</math>，则 ξ 关于第二个基的坐标元组是 <math>\phi_2^{-1}(\xi) = \phi_2^{-1}(\phi_1\vec{x}))</math>。现在映射 <math>\phi_2^{-1} \circ \phi_1</math> 是在 R<sup>n</sup> 上的自同构，因此有一个矩阵 '''p'''。此外， '''p''' 的第 ''j'' 纵列是 <math>\phi_2^{-1} \circ \phi_1(\vec{e}_j) = \phi_2^{-1}(\alpha_j) </math>，就是说，<math>\alpha_j \,</math> 关于第二个基 <math>\{ \alpha'_1, \cdots, \alpha'_n \} </math> 的坐标 ''n''-元组。所以 <math>\vec{y} = \phi_2^{-1}(\phi_1(\vec{x})) = \mathbf{p}\vec{x}</math> 是 ξ 关于基 <math>\{\alpha'_1,\cdots, \alpha'_n \}</math> 的坐标 ''n''-元组。 == 线性变换的矩阵 == 现在假设 ''T'' : ''V'' → ''W'' 是线性变换，{α<sub>1</sub>, ..., α<sub>n</sub>} 是 ''V'' 的一个基而 {β<sub>1</sub>, ..., β<sub>m</sub>} 是 ''W'' 的一个基。设 φ 和 ψ 分别是 ''V'' 和 ''W'' 的相对于给定基的坐标同构。则映射 ''T''<sub>1</sub> = ψ<sup>-1</sup> o ''T'' o φ 是从 R<sup>n</sup> 到 R<sup>m</sup> 的线性变换，并因此有一个矩阵 '''t'''；它的第 ''j'' 纵列是 ψ<sup>-1</sup>(T(α<sub>j</sub>)) 对于 ''j'' = 1, ..., ''n''。这个矩阵叫做''T'' 关于有序基 {α<sub>1</sub>, ..., α<sub>n</sub>} 和 {β<sub>1</sub>, ..., β<sub>m</sub>} 的矩阵。如果 η = ''T''(ξ) 并且 '''y''' 和 '''x''' 是 η 和 ξ 的坐标元组，则 '''y''' = ψ<sup>-1</sup>(T(φ('''x'''))) = '''tx'''。反过来，如果 ξ 在 ''V'' 中，而 '''x''' = φ<sup>-1</sup>(ξ) 是 ξ 关于 {α<sub>1</sub>, ..., α<sub>n</sub>} 的坐标元组，我们设置 '''y''' = '''tx''' 和 η = ψ('''y''')，则 η = ψ(''T''<sub>1</sub>('''x''')) = ''T''(ξ)。就是说，如果 ξ 在 ''V'' 中而 η 在 ''W'' 中并且 '''x''' 和 '''y''' 是它们的坐标元组，则 '''y''' = '''tx''' [[当且仅当]] η = ''T''(ξ)。 '''定理'''：假设 ''U'', ''V'' 和 ''W'' 是有限维的向量空间并为每个选择了有序基。如果 ''T'' : ''U'' → ''V'' 和 ''S'' : ''V'' → ''W'' 是有矩阵 '''s''' 和 '''t''' 的线性变换，则线性变换 ''S'' o ''T'' : ''U'' → ''W'' (关于给定基)的矩阵是 '''st'''。 === 基的变更 === 现在我们要问 ''T'' : ''V'' → ''W'' 的矩阵在变更在 ''V'' 和 ''W'' 的基的时候发生了什么。设 {α<sub>1</sub>, ..., α<sub>n</sub>} 和 {β<sub>1</sub>, ..., β<sub>m</sub>} 分别是 ''V'' 和 ''W'' 的有序基，并假设给予了第二对基 {α'<sub>1</sub>, ..., α'<sub>n</sub>} 和 {β'<sub>1</sub>, ..., β'<sub>m</sub>}。设 φ<sub>1</sub> 和 φ<sub>2</sub> 是从在 R<sup>n</sup> 中的平常基到 ''V'' 的第一个和第二个基的坐标同构，并设 ψ<sub>1</sub> 和 ψ<sub>2</sub> 是从在 R<sup>m</sup> 中的平常基到 ''W'' 的第一个和第二个基的同构。 令 <math>T_1 = \psi_1^{-1} \circ T \circ \phi_1</math>，并令 <math>T_2 = \psi_2^{-1} \circ T \circ \phi_2</math>（两者都从 <math>\mathbb{R}^n</math> 映至 <math>\mathbb{R}^m</math>）。令 <math>\mathbf{t}_1</math> 与 <math>\mathbf{t}_2</math> 为相应的矩阵。令 <math>\mathbf{p}, \mathbf{q}</math> 分别为对应到基变更自同构 <math>\phi_2^{-1} \circ \phi_1 : \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m</math> 与 <math>\psi_2^{-1} \circ \psi_1: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n</math> 的矩阵。 <!-- The relationships of these various maps to one another are illustrated in the following [[commutative diagram]]. ''(insert standard change-of-basis diagram)'' --> 由於我们有 <math>T_2 = \psi_2^{-1} \circ T \circ \phi_2 = (\psi_2^{-1} \circ \psi_1) \circ T_1 \circ (\phi_1^{-1} \circ \phi_2)</math>，又因为线性映射的合成对应到矩阵乘法，遂得到 : <math>\mathbf{t}_2 = \mathbf{q} \mathbf{t}_1 \mathbf{p}^{-1}</math> == 自同态的矩阵 == 线性变换的矩阵的一个重要情形是自同态的矩阵，亦即从一个向量空间 <math>V</math> 至其自身的线性映射，换言之就是 ''W'' = ''V'' 的情形。我们可以自然地取基 {β<sub>1</sub>, ..., β<sub>n</sub>} = {α<sub>1</sub>, ..., α<sub>n</sub>} 与 {β'<sub>1</sub>, ..., β'<sub>m</sub>} = {α'<sub>1</sub>, ..., α'<sub>n</sub>}。此时线性映射 ''T'' 的矩阵必为方阵。 ===基的变更=== 套用同样的基变更，使得 '''q''' = '''p'''，而基变更公式遂写成 : '''t'''<sub>2</sub> = '''p''' '''t'''<sub>1</sub> '''p'''<sup>-1</sup>. 在此情形下，[[可逆矩阵]] '''p''' 被称为向量空间 ''V'' 的'''基变更矩阵'''，而上述等式言明 '''t'''<sub>1</sub> 与 '''t'''<sub>2</sub> 是[[相似矩阵]]。 == 双线性形式的矩阵 == 於[[域]] ''R'' 的向量空间 ''V'' 上的[[双线性形式]]是一个映射 ''V'' × ''V'' → ''R''，使得它对两个参数都是线性的，也就是说 :<math>v \mapsto B(v, w)</math> :<math>v \mapsto B(w, v)</math> 对任何固定的 ''w'' 都是线性的。此定义可推广至於[[交换环]]的[[模]]，此时须将线性映射换为模同态。 对应於基 <math>\alpha_1,\dots, \alpha_n</math> 的 Gram 矩阵 ''G'' 定义为 :<math>G_{i,j} = B(\alpha_i,\alpha_j) \, </math>. 若 ''v'', ''w'' 以此基表成 : <math>v = \sum_i x_i \alpha_i</math> : <math>w = \sum_i y_i \alpha_i</math> 则该双线性形式由下式给出 :<math>B(v,w) = x^\top G y \, </math> . 若 ''B'' 是[[对称双线性形式]]，则对应的矩阵会是[[对称矩阵]]。 ===基的变更=== 若矩阵 ''P'' 表示从 <math>\alpha_1,\dots, \alpha_n</math> 至 <math>\alpha'_1,\dots, \alpha'_n</math> 的基变更，则两组基的 Gram 矩阵依下式变换： :<math>G' = P^\top G P \, </math> ==参考文献== <div class="references-small"> <references /> </div> ==外部链接== * [http://video.google.com/videoplay?docid=-163332982698249627 MIT Linear Algebra Lecture on Change of Bases] at Google Video, from MIT OpenCourseWare [[Category:线性代数|J]] [[Category:矩阵论|J]]
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