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{{About|數學上最常用的意義，即物件的個數|其他的意義|基數}}
{{数}}
在日常交流中，'''基數'''或'''量數'''是對應[[量詞]]的[[數]]，例如「一顆蘋果」中的「一」。與'''[[序數]]'''相對，序數是對應[[排列]]的數，例如「第一名」中的「一」及「二年級」中的「二」。

在[[數學]]上，'''基數'''或'''势'''，即[[集合]]中包含的[[元素]]的「个数」（參見[[势的比较]]），是日常交流中基數的概念在數學上的精確化（並使之不再受限於有限情形）。[[有限集合]]的基數，其意義與日常用語中的「基數」相同，例如<math>\{a, b, c\}</math>的基數是3。[[無限集合]]的基數，其意義在於比較兩個集的大小，例如整數集和有理數集的基數相同；整數集的基數比實數集的小。

== 歷史 ==
[[File:Aleph0.svg|thumb|[[阿列夫數]]Aleph-0,最小的無限基數]]
[[康托尔]]在1874年－1884年引入最原始的[[集合論]]（現稱[[樸素集合論]]）時，首次引入基數概念。
他最先考慮的是集合<math>\{1,2,3\}</math>和<math>\{2,3,4\}</math>，它們並非''相同''，但有''相同的基數''。驟眼看來，這是顯而易見，但究竟何謂兩個集合有相同數目的元素？

康托爾的答案，是透過所謂的[[對射|一一對應]]，即把兩個集合的元素一對一的排起來——若能做到，兩個集合的基數自然相同。這答案，容易理解但卻是革命性的，因為用相同的方法即可比較任意集合的大小，包括無窮集合。

最先被考慮的無窮集合是[[自然數]]集<math>\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}</math>及其無限[[子集]]。他把所有與<math>\mathbb{N}</math>能一一對應的集為[[可數集]]。令康托爾意外的是，原來<math>\mathbb{N}</math>的所有無限子集都能與<math>\mathbb{N}</math>一一對應。他把<math>\mathbb{N}</math>的基數稱為<math>\aleph_0</math>，是最小的[[艾禮富數]]。

康托爾發現，原來[[有理數]]集合與[[代數數]]集合也是可數的。於是乎在1874年初，他嘗試證明是否所有無限集合均是可數，其後他得出了[[實數]]集不可數的結論。原先的證明用到了涉及區間套的複雜論證，而在他1891年的論文中，他以簡單而巧妙的[[對角論證法]]重新證明了這一結果。實數集的基數，記作c，代表[[連續統假設|連續統]]。

接着康托爾構作一個比一個大的集合，得出一個比一個大的基數，而這些巨大集合的元素已不可如實數般書寫出來。因此關於基數的一般理論，需要一個新的語言描述，這就是康托爾發明集合論的主因。

康托爾隨後提出[[連續統假設]]：c就是第二個[[超限数|超窮基數]]<math>\aleph_1</math>，即継<math>\aleph_0</math>之後最小的基數。現已知這假設是不能證明的，即接受或否定它會得出兩套不同但[[邏輯]]上可行的[[公理化集合论]]。

== 动机 ==
在非正式使用中，'''基数'''就是通常被称为'''计数'''的东西。它们同一于开始于<math>0</math>的[[自然数]]（就是<math>0, 1, 2, \ldots</math>）。计数可以形式化地定义为[[有限集合|有限]]基数，而无限基数只出现在高等数学和逻辑中。

更正式地，一個非零的数可以用于两个目的：描述一个集合的大小，或描述一个元素在序列中位置。对于有限集合和序列，可以轻易的看出着两个概念是相符的，因为对于所有描述在序列中的一个位置的数，我们可以构造一个有正好大小的集合，比如3描述了<math>c</math>在序列<math>a,b,c,d,...</math>中的位置，并且我们可以构造有三个元素的集合<math>\{a,b,c\}</math>。但是在处理[[无限集合]]的时候，在这两个概念之间的区别是本质的—这两个概念对于无限集合实际上是不同的。考虑位置的方面會引申出序数的概念，而大小則被这里描述的'''基数'''所廣義化。

在基数的形式定义背后的直觀想法是，可以构造一个記號來指明集合的相对大小，而不需理會它有哪些種類的成员。对于有限集合这是容易的；只需简单的數算一个集合的成员数目。为了比较更大集合的大小，得借助更加巧妙的概念。

一个集合<math>Y</math>至少等大小于（或稱大于等于）一个集合<math>X</math>，如果有从<math>X</math>到<math>Y</math>的一个[[单射]]（一一映射）。一一映射对集合<math>X</math>的每个元素确定了一个唯一的集合<math>Y</math>的元素。通过例子就最易理解了；假设有集合<math>X = \{1,2,3\}</math>和<math>Y = \{a,b,c,d\}</math>，我们可以注意到有一个[[映射]]：
: <math>1 \to  a</math>
: <math>2 \to  b</math>
: <math>3 \to  c</math>
这是一对一的，使用上述的大小概念，我們因此總結出<math>Y</math>有大于等于<math>X</math>的势。注意元素<math>d</math>没有元素映射到它，但这是允许的，因为我们只要求一一映射，而不必须是一对一并且[[满射|完全]]的映射。这个概念的好处是它可以扩展到无限集合。

我们可以把这个概念扩展到一个類似於等式的关系。两个[[集合]]X和<math>Y</math>被称为有相同的'势'，如果存在<math>X</math>和<math>Y</math>之间的[[双射]]。通过[[康托尔－伯恩斯坦－施罗德定理|Schroeder-Bernstein定理]]，这等价于有从<math>X</math>到<math>Y</math>和从<math>Y</math>到<math>X</math>的两个一一映射。我们接着記之为 <math>| X | = | Y |</math>。<math>X</math>的基数自身经常被定义为有着 <math>| a | = | X |</math> 的最小序数<math>a</math>。这叫做[[冯·诺伊曼基数指派]]；为使这个定义有意义，必须证明所有集合都有同某个[[序数]]一样的势；这个陈述就是[[良序定理|良序原理]]。然而即使不給集合的勢指派一個名字，討論集合之間[[势的比较|相對的勢]]還是可以的。

一個经典例子是无限旅馆悖论，也叫做[[希尔伯特旅馆悖论]]。假设你是有无限个房间的旅馆主人。旅馆客满，而又来了一个新客人。可以让在房间1的客人转移到房间2，房间2的客人转移到房间3，以此类推，腾空房间1的方式安置这个新客人。我们可以明确的写出这个映射的一个片段：
: <math>1 \longleftrightarrow   2</math>
: <math>2 \longleftrightarrow   3</math>
: <math>3 \longleftrightarrow   4</math>
: ...
: <math>n \longleftrightarrow   n+1</math>
: ...
在这种方式下我们可以看出集合<math>\{1,2,3,...\}</math>和集合<math>\{2,3,4,...\}</math>有相同的势，因为已知这两个集合之间存在双射。这便給"无限集合"提供了一個合適的定義，即是與自身某個真子集有著相同的勢的任何集合；在上面的例子中<math>\{2,3,4,...\}</math>是<math>\{1,2,3,...\}</math>的真子集。

当我们考虑这些大对象的时候，我们还想看看计数次序的概念是否符合上述为无限集合定义的基数。事實上是不一致的；通过考虑上面的例子，我们可以看到如果有“比无限大一”的某个对象存在，它必须跟起初的无限集合有一样的势。這時候可以使用另一種稱為[[序数]]的形式概念，它是建基于计数并依次考虑每个数的想法上。而我们會发现，势和序（ordinality）的概念对于无限的情況是有分歧的。

可以证明[[实数]]的势大于刚才描述的自然数的势。透過[[对角论证法]]可以一目瞭然；跟势相關的经典问题（比如[[连续统假设]]）主要关注在某一对无限基数之间是否有別的基数。現時数学家已经在描述更大更大基数的性质。

因为基数是数学中如此常用的概念，有各种各样的名字指涉它。势相同有时也叫做[[等势]]、均势或等多（equipotence, equipollence, equinumerosity）。因此称有相同势的两个集合为等势的、均势的或等多的（equipotent, equipollent, equinumerous）。

== 定義 ==

首先，給出集合<math>X</math>和<math>Y</math>，我們稱<math>X</math>的勢小於等於<math>Y</math>，記作 <math>| X | \leq  | Y |</math>，當且僅當存在由<math>X</math>到<math>Y</math>的[[單射]]；稱<math>X</math>的勢與<math>Y</math>相等，記作 <math>| X | = | Y |</math>， 當且僅當存在由<math>X</math>到<math>Y</math>的[[雙射]]（即一一對應）。

[[康托尔-伯恩斯坦-施罗德定理]]指出如果 <math>| X | \leq  | Y |</math> 及 <math>| Y | \leq  | X |</math> 則 <math>| X | = | Y |</math>。 

假設[[選擇公理]]，所有集合都可[[良序]]，且對於所有集合<math>X</math>與<math>Y</math>，有 <math>| X | \leq  | Y |</math> 或 <math>| Y | \leq  | X |</math>。因此，我們可以定義[[序數]]，而
集合<math>X</math>的'''基數'''則是與<math>X</math>等勢的最小[[序數]]<math>\alpha</math>。 

（若不接受選擇公理，我們也可對非良序集<math>X</math>定義基數，就是所有與<math>X</math>等勢的集的階中最小者。）

=== 有限集的基数 ===
[[自然數]]的一種定義是<math>0=\{ \},1=\{0\},2=\{0,1\},3=\{0,1,2\},\ldots ,N=\{0,1,\ldots ,N-1\}</math>。可以見到，與數<math>N</math>等勢的集必有<math>N</math>個元素。如集合<math>\{2, 3, 5\}</math>的基数为<math>3</math>。

以下是有限集的三個等價定義：它與某自然數等勢；它只有一個等勢的序數，就是它的基數；它沒有等勢的真子集。

=== 无限集的基数 ===
最小的無限集合是自然數集。<math>\{1, 2, 3, 4,\ldots , n, \ldots \}</math>与<math>\{2, 4, 6, 8, \ldots , 2n, \ldots \}</math>基数相同，因为可以让前一集合的<math>n</math>与后一集合的<math>2n</math>一一对应。从这个例子可以看出，对于一个无穷集合来说，它可以和它的一个[[真子集]]有相同的基数。

以下是无限集的四個等價定義：它不與任何自然數等勢；它有超過一個等勢的序數；它有至少一个真子集和它等勢；存在由自然數集到它的單射。

== 基數算術 ==
我們可在基數上定義-{若干}-[[算術]]運算，這是對自然數運算的推廣。

給出集合<math>X</math>與<math>Y</math>，定義 <math>X + Y = \{(x,0): x \in  X\} \cup  \{(y,1): y \in  Y\}</math>，則基數和是
:<math>|X| + |Y| = |X + Y|</math>。
若<math>X</math>與<math>Y</math>不相交，則 <math>|X| + |Y| = |X \cup  Y|</math>。

基數積是
:<math>|X| |Y| = |X \times  Y|</math>
其中<math>X \times  Y</math>是<math>X</math>和<math>Y</math>的[[笛卡儿积]]。

基數指數是
:<math>|X|^{|Y|} = |X^{Y}|</math>
其中<math>X^{Y}</math>是所有由<math>Y</math>到<math>X</math>的[[函數 (數學)|函數]]的集合。

在有限集時，這些運算與自然數無異。一般地，它們亦有普通算術運算的性質：

* 加法和乘法是[[交换律|可交換的]]，即 <math>|X|+|Y|=|Y|+|X|</math> 及 <math>|X||Y|=|Y||X|</math>
* 加法和乘法符合[[結合律]]，<math>(|X|+|Y|)+|Z|=|X|+(|Y|+|Z|)</math>及 <math>(|X||Y|)|Z|=|X|(|Y||Z|)</math>
* [[分配律]]，即 <math>(|X|+|Y|)|Z|=|X||Z|+|Y||Z|</math>。
* <math>|X|^{|Y| + |Z|} = |X|^{|Y|} |X|^{|Z|}</math>
* <math>|X|^{|Y| |Z|} = (|X|^{|Y|})^{|Z|}</math>
* <math>(|X||Y|)^{|Z|} = |X|^{|Z|} |Y|^{|Z|}</math>

無窮集合的加法及乘法（假設選擇公理）非常簡單。若<math>X</math>與<math>Y</math>皆非空而其中之一為無限集，則

:<math>|X| + |Y| = |X||Y| = \max\{|X|, |Y|\}</math>

注意<math>2^{| X |}</math>是<math>X</math>的[[幂集]]之基數。由[[对角论证法]]可知<math>2^{| X |} > | X |</math>，是以並不存在最大的基數。事实上，基数的[[类 (数学)|类]]是[[真类]]。

還有些關於指數的性質：
* <math>|X|^{0} = 1</math>（特别地，<math>0^{0} = 1</math>）。
* <math>0^{|Y|} = 0</math>，若<math>Y</math>非空。
* <math>1^{|Y|} = 1</math>。
* 若<math>|X| \leq  |Y|</math>，則 <math>|X|^{|Z|} \leq  |Y|^{|Z|}</math>。
* 若 <math>|X|</math> 和 <math>|Y|</math> 俱有限且大於1，而<math>Z</math>是無窮集，則 <math>|X|^{|Z|} = |Y|^{|Z|}</math>。
* 若X是無窮而<math>Y</math>是有限及非空，則 <math>|X|^{|Y|} = |X|</math>。

== 基數序列及連續統假設 ==
{{main|连续统假设}}
對每一個基數，存在一個最小比它大的基數。這在自然數當然是對的。自然數集的基數是<math>\aleph_0</math>，康托尔稱下一個為<math>\aleph_1</math>，相类似的，还定义了如下一个[[序列]]：<math>\aleph_0, \aleph_1,\ldots,\aleph_n \ldots</math>。

注意<math>c=2^{\aleph_0}</math>。连续统假设猜想，就是<math>c=\aleph_1</math>。

連續統假設是與一般集論公理（即Zermelo-Fraenkel公理系統加上選擇公理）是獨立的。

更一般的假設，即<math>\aleph_{n+1}=2^{\aleph_n}</math>。

[[连续统假设#广义连续统假设|广义连续统假设]]，就是對所有無窮基數<math> \aleph </math>，都不存在介乎<math>\aleph </math>與<math>2^\aleph  </math>之間的基數。

== 參考文獻 ==
{{refbegin}}
* Hahn, Hans, ''Infinity'', Part IX, Chapter 2, Volume 3 of ''The World of Mathematics''. New York: Simon and Schuster, 1956.
* [[Paul Halmos|Halmos, Paul]], ''[[Naive Set Theory (book)|Naive set theory]]''. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
{{refend}}

== 外部链接 ==
* https://web.archive.org/web/20010528181608/http://logweb.terrashare.com/text/logic/infini.txt
* [http://www.ii.com/math/cardinals/ Infinite Ink: Cardinal Numbers]

[[Category:集合论|J]]
[[Category:基数| ]]
{{集合论}}

[[ru:Кардинальное число]]