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{{NoteTA|G1=物理學}}
[[File:Augustin Fresnel.jpg|thumb|150px|[[奧古斯丁·菲涅耳]]]]
[[File:Gustav Robert Kirchhoff.jpg|thumb|150px|[[古斯塔夫·基爾霍夫]]]]
在[[光學]]裏，'''菲涅耳-基爾霍夫衍射公式'''（{{lang|en|Fresnel-Kirchoff's diffraction formula}}）可以應用於[[光波]]傳播的理論分析模型或[[數值分析]]模型。<ref name = "Born and Wolf">M. Born and E. Wolf, Principles of Optics, 1999, Cambridge University Press, Cambridge</ref><ref>RS Longhurst, Gemoetrical and Physical Optics, 1969, Longmans, London</ref>從菲涅耳-基爾霍夫衍射公式，可以推導出[[惠更斯－菲涅耳原理]]，並且解釋一些惠更斯－菲涅耳原理無法解釋的物理現象與結果。菲涅耳-基爾霍夫衍射公式常被稱為「基爾霍夫衍射公式」（{{lang|en|Kirchoff's diffraction formula}}）。

從[[基爾霍夫積分定理]]，在假定一些近似之後，可以推導出菲涅耳-基爾霍夫衍射公式。

==惠更斯原理==
[[惠更斯原理]]是[[克里斯蒂安·惠更斯]]于1678年提出的关于波传播的理论。惠更斯原理表明，假设在时间<math>t=t_0</math>由主波源Q<sub>0</sub>发射出的球面波，在时间<math>t=t_1</math>传播到波前<math>\mathbb{S}</math>，那么位於波前<math>\mathbb{S}</math>的每一个面元素向量<math>\mathrm{d}\mathbf{S}</math>都可以被视为一个次波源，所有从这些次波源发射出的次波，在之后时间<math>t=t_2</math>波前的[[包絡線|包络面]]就是主波源Q<sub>0</sub>所发射出的球面波在时间<math>t=t_2</math>的波前。

==惠更斯-菲涅耳原理==
[[File:Fresnel-Kirchhoff Diffraction Formula spherical wavefront.svg|thumb|200px|從主波源Q<sub>0</sub>發射出的球面波，其[[波前]]<math>\mathbb{S}</math>的每一點Q都可以視为次波源，它们會發射出次波，在空間任意一點P的波擾是所有這些次波在該點P的相干疊加。]]
波动有两个基本属性：
:*它是波扰的传播
:*它具有时空周期性，能够[[相干性|相干]][[叠加]]。

惠更斯原理只阐述了前一条属性，[[奧古斯丁·菲涅耳]]将惠更斯提出的次波的概念加以延伸，提出用“次波相干叠加”的点子来解释衍射现象，这就是[[惠更斯-菲涅耳原理]]。这原理表明，[[波前]]<math>\mathbb{S}</math>的每个面元素向量<math>\mathrm{d}\mathbf{S}'</math>都可以视为次波源，它们会发射出次波，在空间任意一点P的波扰是所有这些次波在该点P的相干叠加。设定位於波前<math>\mathbb{S}</math>的任意一点Q，它在点P贡献的複[[振幅]]为<math>\mathrm{d}\psi(\mathbf{r},\mathbf{r}')</math>；其中，<math>\mathbf{r}</math>、<math>\mathbf{r}'</math>分别为点P、点Q的位置。在点P的总波扰为

::<math>\psi(\mathbf{r})=\oint_{\mathbb{S}}\,\mathrm{d}\psi(\mathbf{r},\mathbf{r}')</math>。

为了将这公式具体化，菲涅耳凭借直觉对<math>\mathrm{d}\psi(\mathbf{r},\mathbf{r}')</math>作出了如下假设：
*它应当正比于面元素的面积：
::<math>\mathrm{d}\psi(\mathbf{r},\mathbf{r}')\propto\mathrm{d}S'</math>。
*它应当正比于次波源的複振幅：
::<math>\mathrm{d}\psi(\mathbf{r},\mathbf{r}')\propto\psi(\mathbf{r}')</math>。
*次波源发射出的次波应是球面波，其中<math>k</math>是[[波数]]： 
::<math>\mathrm{d}\psi(\mathbf{r},\mathbf{r}')\propto\frac{e^{ikR}}{R}</math>；其中，<math>\mathbf{R}=\mathbf{r}-\mathbf{r}'</math>是从点Q到点P的位移向量。
*次波源发射出的次波是[[各向异性]]的。假设<math>\hat{\mathbf{n}}</math>是与面元素向量<math>\mathrm{d}\mathbf{S}'</math>同方向的单位向量，<math>\chi</math>是<math>\hat{\mathbf{n}}</math>与<math>\hat{\mathbf{R}}</math>之間的夾角，则倾斜因子<math>K(\chi)</math>与<math>\mathrm{d}\psi(\mathbf{r},\mathbf{r}')</math>的关系为
::<math>\mathrm{d}\psi(\mathbf{r},\mathbf{r}')\propto K(\chi)</math>。

根据以上假设可以得到如下菲涅耳衍射积分公式
:<math>\psi(\mathbf{r})=c\oint_{\mathbb{S}}\,\psi(\mathbf{r}')K(\chi)\frac{e^{ikR}}{R}\,\mathrm{d}S'</math>；

其中，<math>c</math>是比例常数。

==菲涅耳-基尔霍夫衍射公式==
在菲涅耳衍射积分公式提出六十余年后，[[古斯塔夫·基爾霍夫]]用严格的数学理论推导出菲涅耳-基尔霍夫衍射公式：<ref name="Hecht2002"/>
:<math>\psi(\mathbf{r})=-\ \frac{i\psi_0}{2\lambda}\oint_{\mathbb{S}}
\left(\frac{e^{ik(r'+R)}}{r'R} \right) [\cos\alpha+\cos\chi]
\,\mathrm{d}S'</math>；

其中，<math>\alpha</math>、<math>\chi</math>分別是<math>\hat{\mathbf{r}'}</math>、<math>\hat{\mathbf{R}}</math>與<math>\hat{\mathbf{n}}</math>之間的夾角。

推论從點光源Q<sub>0</sub>發射的單色光波，其波擾的數值大小與傳播距離成反比，在位置<math>\mathbf{r}'</math>以方程式表達為<math>\psi(\mathbf{r}') = \psi_0 e^{ikr'}/r' </math>。又在其發射出的球面波的波前任意位置，<math>\hat{\mathbf{r}'}</math>與<math>\hat{\mathbf{n}}</math>同向，夾角<math>\alpha=0</math>。設定比例常数<math>c=-i/\lambda</math>，
<math>K(\chi)=(1+\cos\chi)/2</math>，則可得到菲涅耳衍射积分公式。

==嚴格導引==
[[File:Kirchhoff Diffraction Formula Point P Outside Closed Surface.svg|thumb|200px|點P在閉合曲面<math>\mathbb{S}</math>之外。位於點P的波擾<math>\psi(\mathbf{r})</math>，可以以位於閉合曲面<math>\mathbb{S}</math>的所有波擾與其[[梯度]]表達。]]
[[基爾霍夫積分定理]]應用[[格林恆等式|格林第二恆等式]]來推導出[[波動方程式|齊次波動方程式]]的解答，這解答是以波動方程式在任意閉合曲面<math>\mathbb{S}</math>的每一個點的解答和其[[導數|一階導數]]來表達。<ref>G. Kirchhoff, Ann. d. Physik. 1883, 2, 18, p663</ref>

對於單頻率波，解答為
:<math>\psi(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi}\oint_\mathbb{S}
\left[\psi(\mathbf{r}')\nabla'\left( \frac{e^{ikR}}{R} \right)
-\left( \frac{e^{ikR}}{R} \right)\nabla'\psi(\mathbf{r}')\right]
\cdot\,\mathrm{d}\mathbf{S}'  </math>，

或者
:<math>\psi(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi}\oint_\mathbb{S}
\left[\psi(\mathbf{r}')\frac{\partial}{\partial n'}\left( \frac{e^{ikR}}{R} \right)
-\left( \frac{e^{ikR}}{R} \right)\frac{\partial \psi(\mathbf{r}')}{\partial n'}\right]
\,\mathrm{d}S'  </math>；

其中，<math>\mathbf{r}</math>、<math>\mathbf{r}'</math>分別是從點Q<sub>0</sub>到點P、點Q的位移向量，<math>\psi(\mathbf{r})</math>是在點P的波擾，<math>\mathbf{R}=\mathbf{r}- \mathbf{r}'</math>是從點Q到點P的位移向量，<math>R</math>是其數值大小，<math>k</math>是[[波數]]，<math>\nabla'</math>是對於源位置<math>\mathbf{r}'</math>的[[梯度]]，<math>\mathrm{d}\mathbf{S}'</math>是從閉合曲面<math>\mathbb{S}</math>向外指出的微小面元素向量，<math>\frac{\partial}{\partial n'}</math>是閉合曲面<math>\mathbb{S}</math>的[[法向導數]]。

在推導基爾霍夫衍射公式的過程中，基爾霍夫做了以下假定：
*點波源與孔隙之間的距離<math>r'</math>超大於波長<math>\lambda=2\pi/k</math>。
*<math>R</math>超大於波長<math>\lambda</math>。

===點波源===
從點波源Q<sub>0</sub>發射的單頻率波，其能量與傳播距離平方成反比，波擾的數值大小與傳播距離成反比，在點Q的波擾以方程式表達為
:<math>\psi(\mathbf{r}') = \psi_0\frac{e^{ikr'}}{r'} </math>；

其中，<math>\psi_0</math>是複值波幅。

假設點P在閉合曲面<math>\mathbb{S}</math>之外，應用[[基爾霍夫積分定理]]的方程式，可以得到在點P的波擾：
:<math>\psi(\mathbf{r}) =\frac{\psi_0}{4\pi}\oint_{\mathbb{S}}
\left[\left(\frac{e^{ikr'}}{r'} \right)\nabla'\left( \frac{e^{ikR}}{R} \right)
-\left( \frac{e^{ikR}}{R} \right)\nabla'\left(\frac{e^{ikr'}}{r'} \right)\right]
\cdot\,\hat{\mathbf{n}}\mathrm{d}S'</math>；

其中，<math>\hat{\mathbf{n}}</math>是與<math>\mathrm{d}\mathbf{S}'</math>同方向的單位向量。

注意到球面出射波的[[梯度]]為
:<math>\nabla'\left( \frac{e^{ikR}}{R} \right)
=-\left( \frac{e^{ikR}}{R} \right)\left(ik-\ \frac{1}{R}\right)\hat{\mathbf{R}}</math>、
:<math>\nabla'\left(\frac{e^{ikr'}}{r'} \right)
=\left( \frac{e^{ikr'}}{r'} \right)\left(ik-\ \frac{1}{r'}\right)\hat{\mathbf{r}'}</math>。

從基爾霍夫所做的假定，<math>k\gg 1/R</math>、<math>k \gg 1/r'</math>（例如，假設距離大約為1mm，則對於波長在0.4μm至0.7μm之間的[[可見光]]，可以做這假定；但對於波長在1mm至1m之間的[[微波]]，這假定不適用），則上述兩個公式近似為
:<math>\nabla'\left( \frac{e^{ikR}}{R} \right)
=-ik\left( \frac{e^{ikR}}{R} \right)\hat{\mathbf{R}}</math>、

:<math>\nabla'\left(\frac{e^{ikr'}}{r'} \right)
=ik\left( \frac{e^{ikr'}}{r'} \right)\hat{\mathbf{r}'}</math>。

所以，在點P的波擾
:<math>\begin{align}\psi(\mathbf{r})  & =-\ \frac{i\psi_0}{2\lambda}\oint_{\mathbb{S}}
\left(\frac{e^{ik(r'+R)}}{r'R} \right)(\hat{\mathbf{r}'}\cdot\hat{\mathbf{n}}+\hat{\mathbf{R}}\cdot\hat{\mathbf{n}})
\,\mathrm{d}S' \\
& =-\ \frac{i\psi_0}{2\lambda}\oint_{\mathbb{S}}
\left(\frac{e^{ik(r'+R)}}{r'R} \right) (\cos\alpha+\cos\chi)
\,\mathrm{d}S' \\
\end{align}</math> <span style="vertical-align:bottom">；</span>

其中，<math>\alpha</math>、<math>\chi</math>分別是<math>\hat{\mathbf{r}'}</math>、<math>\hat{\mathbf{R}}</math>與<math>\hat{\mathbf{n}}</math>之間的夾角。

這就是菲涅耳-基爾霍夫衍射公式，或基爾霍夫衍射公式。<ref name="Hecht2002">{{cite book|last =Hecht |first=Eugene|title=Optics|year=2002| location=United States of America | publisher=Addison Wesley| edition= 4th| isbn=0-8053-8566-5 | language=en|pages=pp. 510-512}}</ref>

===傾斜因子===
[[File:Kirchhoff Diffraction Formula Circular Surface.svg|thumb|200px|傾斜因子<math>K(\chi)</math>為<math>[1+\cos(\chi)]/2</math>。]]
如右圖所示，假設閉合曲面<math>\mathbb{S}</math>是圓球面，點波源Q<sub>0</sub>與圓球面<math>\mathbb{S}</math>的圓心同點。在圓球面<math>\mathbb{S}</math>的任意位置，<math>\hat{\mathbf{r}'}</math>與<math>\hat{\mathbf{n}}</math>同向，所以，
:<math>\cos\alpha=1</math>。

注意到<math>r'</math>是圓球面<math>\mathbb{S}</math>的半徑，對於這積分，<math>r'</math>值不變，可以從積分裏提出。在點P的波擾為
:<math>\psi(\mathbf{r}) =-\ \frac{i\psi(\mathbf{r}')}{\lambda}\oint_{\mathbb{S}}
\left(\frac{e^{ikR}}{R}\right)K(\chi)\,\mathrm{d}S'</math>；

其中，<math>K(\chi)=\frac{1+\cos\chi}{2}</math>為傾斜因子。

應用[[惠更斯－菲涅耳原理]]，所得到在點P的波擾的方程式，就是這方程式。但是，惠更斯－菲涅耳原理無法解釋相位差與傾斜因子的物理原因。傾斜因子使得次波的波幅會因為傳播方向而不同；朝著主波方向，波幅較大；逆著主波方向，波幅較小。這解釋了為甚麼波動只會朝著前方傳播的物理現象。<ref name="Hecht2002"/>

===惠更斯－菲涅耳原理===
仔細詮釋惠更斯－菲涅耳原理的方程式：從點波源Q<sub>0</sub>發射的波幅為<math>\psi_0</math>的球面波，在點Q的波擾為<math>\psi(\mathbf{r}')=\psi_0 e^{ikr'}/r'</math>；而從點Q發射的次波，將傾斜因子與相位差納入考量，所貢獻出的波擾，在點P為 
:<math>-\ \frac{i\psi(\mathbf{r}')}{\lambda}\left(\frac{e^{ikR}}{R}\right)K(\chi)</math>。

總合所有與點Q同[[波前]]的點次波源在點P所貢獻出的波擾，就可以得到<math>\psi(\mathbf{r}) </math>。

換另一種直接方法來詮釋，從點波源Q<sub>0</sub>發射的球面波，在點P的波擾為
:<math>\psi(\mathbf{r}) =\psi_0 \frac{e^{ikr}}{r}</math>。

假若這兩種詮釋都正確，則從這兩種<math>\psi(\mathbf{r}) </math>的表達式分別計算出的結果，應該可以被核對為相等：
:<math>\psi_0 \frac{e^{ikr}}{r}=-\ \frac{i}{\lambda}\oint_{\mathbb{S}_1}
\left(\frac{\psi_0 e^{ikr'}}{r'}\right) \left(\frac{e^{ikR}}{R}\right)K(\chi)\,\mathrm{d}S'</math>。

為了簡易計算，假設<math>r\gg r'</math>，則以下近似成立：
:<math>R\approx r-r' \cos(\theta)</math>、
:<math>R^2\approx r^2-2rr' \cos(\theta)</math>、
:<math>K(\chi)=\frac{1+\cos(\chi)}{2}\approx \frac{1+\cos(\theta)}{2}</math>；

其中，<math>\theta</math>為<math>\mathbf{r}'</math>與<math>\mathbf{r}</math>之間的夾角。

所以，在點P的波擾可以近似為
:<math>\begin{align}\psi(\mathbf{r}) & \approx -\ \frac{i\psi_0}{2\lambda} \frac{e^{ik(r'+r)}}{r'r}\int_0^{\pi} e^{-ikr'\cos(\theta)}[1+\cos(\theta)]2\pi r'^2\sin(\theta)\mathrm{d}\theta \\
 & \approx -\ \frac{ik\psi_0 r'e^{ik(r'+r)}}{2r}\int_0^{\pi} e^{-ikr'\cos(\theta)}[1+\cos(\theta)]\sin(\theta)\mathrm{d}\theta \\ 
 & \approx -\ \frac{ik\psi_0 r'e^{ik(r'+r)}}{2r}\ \frac{2[\sin(kr')+i\cos(kr')]}{kr'} \\
 & \approx \psi_0\frac{e^{ikr}}{r} \\ 
\end{align}</math><span style="vertical-align:bottom">。</span>

===有限尺寸波源===
假設波源為有限尺寸，位於曲面<math>\mathbb{S}</math>的波擾表達為<math>\psi(\mathbf{r}')</math>，則位於點P的波擾為
:<math>\psi(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi}\oint_\mathbb{S}
\left[\psi(\mathbf{r}')\frac{\partial}{\partial n'}\left( \frac{e^{ikR}}{R} \right)
-\left( \frac{e^{ikR}}{R} \right)\frac{\partial \psi(\mathbf{r}')}{\partial n'}\right]
\,\mathrm{d}S'  </math>。

假定<math>k\gg 1/R</math>，則
:<math>\psi(\mathbf{r})=-\ \frac{1}{4\pi}\oint_\mathbb{S}\left( \frac{e^{ikR}}{R} \right)
\left[ik\psi(\mathbf{r}')\cos{(\hat{\mathbf{R}},\hat{\mathbf{n}}})
+\frac{\partial \psi(\mathbf{r}')}{\partial n'}\right]
\,\mathrm{d}S'  </math>。

這是基爾霍夫衍射公式最廣義的形式。解析涉及到有限尺寸波源的問題，必須用體積分來將波源的每一點所給出的貢獻總合在一起。

==純量理論==
光波是傳播於空間的[[電磁輻射]]，理當被視為一種電磁場向量現象。但是，基爾霍夫的理論是純量理論，將光波當作純量處理，這可能會造成偏差。因此，物理學者做了很多實驗來檢查結果是否準確。他們發現，只要孔徑尺寸比波長大很多、孔徑與觀察屏之間的距離不很近，則使用純量理論可以得到相當準確的答案。但是對於某些問題，例如高解析度光柵衍射，純量理論就不適用，必須使用向量理論。<ref>{{cite book
 | last =Goodman
 | first =Joseph
 | title =Introduction to Fourier Optics
 | publisher =Roberts and Company Publishers
 | edition =3rd
 | date =2004
 | pages =pp. 35
 | isbn =978-0974707723 
}}</ref>

==參閱==
*[[帕松光斑]]
*基爾霍夫衍射公式
*[[基爾霍夫積分定理]]

==参考文献==
{{Reflist}}

{{光學}}
{{DEFAULTSORT:F}}
[[Category:衍射]]