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在[[數學]]內，'''墨卡托級數'''(Mercator series)或者'''牛頓-墨卡托級數'''(Newton–Mercator series)是一個[[自然對數]]的[[泰勒級數]]：
 
:<math>\ln (1+x) \;=\; x \,-\, \frac{x^2}{2} \,+\, \frac{x^3}{3} \,-\, \frac{x^4}{4} \,+\, \cdots.</math>

使用[[總和|大寫sigma表示]]則為

:<math>\ln (1+x) \;=\; \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n.</math>

當 &minus;1&nbsp;<&nbsp;''x''&nbsp;≤&nbsp;1時，此級數[[收斂級數|收斂]]於自然對數(加了1)。

==歷史==
這級數被[[尼古拉斯·墨卡托]]，[[牛頓]]和[[Gregory Saint-Vincent]]分別獨立發現。首先被墨卡托出版於其1668年時的著作''Logarithmo-technica''。

==推導==
這級數可以由[[泰勒公式]]導出，藉由不斷地計算第''n''次ln&nbsp;''x''在''x''&nbsp;=&nbsp;1時的微分，一開始是

:<math>\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}.</math>

或者，我們可以從有限的[[等比數列]]開始(''t''&nbsp;≠&nbsp;&minus;1)

:<math>1 - t + t^2 - \cdots + (-t)^{n-1} = \frac{1 - (-t)^n}{1+t}</math>

這可以導出

:<math>\frac{1}{1+t} = 1 - t + t^2 - \cdots + (-t)^{n-1} + \frac{(-t)^n}{1+t}.</math>

然後得到

:<math>\int_0^x \frac{dt}{1+t} = \int_0^x \left( 1 - t + t^2 - \cdots + (-t)^{n-1} + \frac{(-t)^n}{1+t} \right)\, dt</math>

接著逐項積分，

:<math>\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots + (-1)^{n-1}\frac{x^n}{n} + (-1)^n \int_0^x \frac{t^n}{1+t} \,dt.</math>

若&minus;1&nbsp;<&nbsp;''x''&nbsp;≤&nbsp;1，餘項會在<math>n \to \infty</math>時趨近於零。


這個表示法可以重複積分''k''次，得到

:<math>-xA_k(x)+B_k(x) \ln (1+x) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\frac{x^{n+k}}{n(n+1)\cdots (n+k)},</math>


這裡的

:<math>A_k(x) = \frac{1}{k!}\sum_{m=0}^k{k \choose m}x^m\sum_{l=1}^{k-m}\frac{(-x)^{l-1}}{l}</math>
和
:<math>B_k(x)=\frac{1}{k!}(1+x)^k</math>
都是''x''的多項式。<ref>{{Cite arXiv|first1=Luis A.|last1=Medina|first2=Victor H.|last2=Moll|first3=Eric S.|last3=Rowland|title=Iterated primitives of logarithmic powers|eprint=0911.1325|year=2009}}</ref>

==特例==
令墨卡托級數裡面的''x''&nbsp;=&nbsp;1，則我們會得到[[调和级数#交错调和级数|交錯調和級數]]

:<math>\sum_{k = 1}^\infty \frac{(-1)^{k + 1}}{k} = \ln 2.</math>

==複數級數==

下面的[[複數]]冪級數

: <math>z \,-\, \frac{z^2}{2} \,+\, \frac{z^3}{3} \,-\, \frac{z^4}{4} \,+\, \cdots</math>

是ln(1&nbsp;+&nbsp;''z'')的[[泰勒級數]]，這裡ln代表[[複對數]](complex logarithm)的 [[主要分支]](principal branch)。這個級數收斂於一個開放的[[單位圓盤]] |''z''|&nbsp;<&nbsp;1 以及圓 |''z''|&nbsp;=&nbsp;1 ， ''z''&nbsp;=&nbsp;-1除外 (根據[[阿貝爾判別法#复数项级数的阿贝尔判别法|阿貝爾判別法]])，而且這裡的收斂對每個半徑小於一的[[圓盤]]是[[一致收斂|一致的]] 。

== 參考資料==
{{Reflist}}

* {{mathworld|urlname=MercatorSeries|title=Mercator Series}}
* Eriksson, Larsson & Wahde. ''Matematisk analys med tillämpningar'', part 3. Gothenburg 2002. p.&nbsp;10.
* ''[http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/17thCentury/RouseBall/RB_Math17C.html Some Contemporaries of Descartes, Fermat, Pascal and Huygens]'' from ''A Short Account of the History of Mathematics'' (4th edition, 1908) by [[W. W. Rouse Ball]]

[[Category:級數]]
[[Category:對數]]