查看“外微分”的源代码

{{Unreferenced|time=2013-11-29T12:34:40+00:00}}
{{微積分學}}

[[数学]]上，[[微分拓扑]]的'''外微分'''[[算子]]，把一个函数的[[微分]]的概念推广到更高阶的微分形式的微分。它在[[流形]]上的[[积分]]理论中极为重要，并且是[[德拉姆上同调|德拉姆]]和[[Alexander-Spanier上同调]]中所使用的微分算子。其现代形式是由[[嘉当]]发明的。

== 定义 ==

一个''k''阶的微分形式的外微分是一个''k''+1阶的微分形式。

对于一个''k''-形式&omega; = ''f<sub>I</sub> dx<sub>I</sub>''在'''R'''<sup>''n''</sup>上，其定义如下：

::<math>d{\omega} = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f_I}{\partial x_i} dx_i \wedge dx_I.</math>

对于一般的''k''-形式 &Sigma;<sub>''I''</sub> ''f''<sub>''I''</sub> ''dx''<sub>''I''</sub> （其中[[多重指标]]''I''取遍所有{1, ..., ''n''}的[[基数]]为''k''的有序子集），我们只作了线性推广。注意如果上面有<math>i = I</math>则<math>dx_i \wedge dx_I = 0</math>

（参看[[楔积]]）。

== 性质 ==

外微分满足三个重要性质：

* [[线性]]

* [[楔积]]法则（参看[[导子|反求导]]）

::<math>d(\omega \wedge \eta) = d\omega \wedge \eta+(-1)^{{\rm deg\,}\omega}(\omega \wedge d\eta)</math>

* ''d''<sup>2</sup> = 0，蕴涵了[[混合偏导数]]的恒等式的公式，所以总有

::<math>d(d\omega)=0 \, \!</math>

可以证明外微分由这些性质和其与 0-形式（函数）上的微分的一致性唯一决定。

''d'' 的[[核 (代数)|核]]由''闭形式''组成，而其[[像 (数学)|像]]由''恰当形式''组成
（参看''[[恰当微分]]''）。

== 坐标不变公式 ==

给定一个''k''-形式''&omega;''和任意光滑[[向量场]]''V<sub>0</sub>,V<sub>1</sub>, &hellip;, V<sub>k</sub>''我们有 

:<math>d\omega(V_0,V_1,...V_k)=\sum_i(-1)^i V_i\omega(V_0,...,\hat V_i,...,V_k)</math>

::<math>+\sum_{i<j}(-1)^{i+j}\omega([V_i,V_j],V_0,...,\hat V_i,...,\hat V_j,...,V_k)</math>

其中<math>[V_i,V_j]</math>表示[[李括号]]，而帽子记号表示省略该元素: <math>\omega(V_0,...,\hat V_i,...,V_k)=\omega(V_0,..., V_{i-1},V_{i+1}...,V_k).</math>

特别的有，对于1-形式，我们有：
:<math>d\omega(X,Y)=X(\omega(Y))-Y(\omega(X))-\omega([X,Y]).</math>

更一般的，[[李导数]]由李括号定义：

:<math>\mathcal{L}_XY=[X,Y]</math>,

而一般[[微分形式]]的李导数和外微分密切相关。区别主要是记号上的；各种两者之间的恒等式可以在[[李导数]]条目找到。

== 微积分中的外微分 ==

下面的对应关系揭示了[[向量微积分]]的诸多公式实际上只是上述外微分的三个法则的特殊情况而已。

===[[梯度]]===

对于一个0-形式，也就是一个[[光滑函数]]''f'': '''R'''<sup>''n''</sup>&rarr;'''R'''，我们有

:<math>df = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}\, dx_i.</math>
所以，对于向量场<math>V</math> 
:<math>df(V) = \langle \mbox{grad }f,V\rangle,</math>

其中''grad f''代表''f''的[[梯度]]而''<&bull;, &bull;>是[[标量积]]。

===[[旋度]]===

对于一个1-形式<math>\omega=\sum_{i} f_i\,dx_i</math>在'''R'''<sup>'''3'''</sup>上，

:<math>d \omega=\sum_{i,j}\frac{\partial f_i}{\partial x_j} dx_j\wedge dx_i,</math>

它限制到三维情况<math>\omega= u\,dx+v\,dy+w\,dz </math>就是 

:<math>d \omega = \left(\frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y} \right) dx \wedge dy 
+ \left(\frac{\partial w}{\partial y} - \frac{\partial v}{\partial z} \right) dy \wedge dz 
+ \left(\frac{\partial u}{\partial z} - \frac{\partial w}{\partial x} \right) dz \wedge dx.</math>

因此，对于向量场<math>U</math>, <math>V=[u,v,w]</math>和<math>W</math>我们有
<math>d \omega(U,W)=\langle\mbox{curl}\, V \times U,W\rangle </math>
其中''curl V''代表''V''的[[旋度]]
×是[[向量积]]，而''<&bull;, &bull;>''是[[标量积]]。

===[[散度]]===

对于一个2-形式<math> \omega = \sum_{i,j} h_{i,j}\,dx_i\wedge dx_j,</math>

:<math>d \omega = \sum_{i,j,k} \frac{\partial h_{i,j}}{\partial x_k} dx_k \wedge dx_i \wedge dx_j.</math>

对于三维，若<math> \omega = p\,dy\wedge dz+q\,dz\wedge dx+r\,dx\wedge dy</math>我们得到

:{|
|-
|<math>d \omega\,</math>
|<math> = \left( \frac{\partial p}{\partial x} + \frac{\partial q}{\partial y} + \frac{\partial r}{\partial z} \right) dx \wedge dy \wedge dz </math>
|-
|
|<math>= \mbox{div}V\, dx \wedge dy \wedge dz,</math>
|}

其中''V''是一个[[向量场]]定义为<math> V = [p,q,r].</math>

==范例==
对于1-形式<math>\sigma = u\, dx + v\, dy</math> on '''R'''<sup>''2''</sup>我们有

:<math>d \sigma = \left(\frac{\partial{v}}{\partial{x}} - \frac{\partial{u}}{\partial{y}}\right) dx \wedge dy</math>

这刚好就是在[[格林定理]]中被积分的2-形式。

[[向量微積分]]的恆等式：
:<math> \nabla \times ( \nabla f )  = 0</math>
與
:<math>\nabla \cdot ( \nabla \times \mathbf{F} ) = 0 </math>
皆是外微分第三性質——<math>d^2=0\,</math> 的特例。

==参看==
*[[联络形式#外共变导数|外共变导数]]
*[[格林定理]]
*[[斯托克斯定理]]

[[Category:微分几何|W]]
[[Category:微分形式]]
[[Category:微分算子]]
[[Category:导数的推广]]

[[pl:Forma różniczkowa#Różniczka zewnętrzna formy]]
[[ru:Дифференциальная форма#Связанные определения]]