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[[抽象代數]]的[[群論]]中，[[群]]''G''的'''外自同構群'''Out(''G'')是[[自同構]]群Aut(''G'')對[[內自同構]]子群Inn(''G'')的[[商群]]Aut(''G'')/Inn(''G'')。

''G''的一個自同構如不是內自同構，便稱為外自同構。外自同構群Out(''G'')的元素是''G''的內自同構子群Inn(''G'')在自同構群Aut(''G'')中的[[陪集]]，故其元素不是外自同構，同一元素可對應到某個外自同構和任何內自同構的[[複合函數|複合]]，因此不能定義''G''的外自同構群於''G''上的作用。不過因為內自同構都將群''G''的元素映射到同[[共軛類]]的元素，所以可定義出外自同構群在''G''的[[共軛類]]上的作用。

然而，若''G''為[[阿貝爾群]]，則''G''的[[內自同構]]群是平凡群，於是Out(''G'')可以自然地等同於Aut(''G'')，即是Out(''G'')的每個元素都對應唯一的自同構，因此Out(''G'')可以作用於''G''上。（而這時''G''的共軛類也各僅有一個元素。）

==一些有限群的外自同構群==
{| class="wikitable"
|-
! ''G''
! Out(''G'')
! <math>|\mbox{Out}(G)|</math>
|-
| <math>\mathbb Z</math>
| <math>\mathbb Z / 2\mathbb Z</math>
| 2
|-
| <math>\mathbb Z / n\mathbb Z</math>（''n'' > 2）
| <math>\mathbb (Z / n\mathbb Z)^\times</math>
| <math>\varphi(n)=n \prod_{p|n}\left(1-\frac{1}{p}\right)</math>（<math>\varphi(n)</math>是[[歐拉函數]]）
|-
| <math>\mathbb (Z / p\mathbb Z)^n</math>（''p''為[[素數]]，''n'' > 1）
| <math>\mathrm {GL}_n(p)</math>
| <math>\prod_{i=0}^{n-1}(p^n-p^i)</math>
|-
| [[對稱群 (n次對稱群)|對稱群]]<math>S_n</math>（''n'' ≠ 6）
| 平凡群
| 1
|-
| <math>S_6</math>
| <math>\mathbb Z / 2\mathbb Z</math>
| 2
|-
| [[交錯群]]<math>A_n</math>（''n'' ≠ 6）
| <math>\mathbb Z / 2\mathbb Z</math>
| 2
|-
| <math>A_6</math>
| <math>(\mathbb Z / 2\mathbb Z) \times (\mathbb Z / 2\mathbb Z)</math>
| 4
|}

==與中心對偶==
群''G''的外自同構群，在下述意義下可以視為對偶於''G''的[[中心 (群論)|中心]]Z(''G'')：''G''的元素''g''所對應的共軛作用<math>x\mapsto gxg^{-1}</math>是自同構，由此得映射<math>\sigma\colon G \to \mathrm{Aut}(G)</math>。這映射是[[群同態]]，[[核 (代數)|核]]是''G''的中心，而[[餘核]]是''G''的外自同構群（因這映射的[[像]]是''G''的內自同構群）。這關係可用[[正合列]]表示：
:<math>Z(G) \hookrightarrow G \overset{\sigma}{\to} \operatorname{Aut}(G) \twoheadrightarrow \operatorname{Out}(G).</math>

如果一個群只有平凡外自構群和平凡[[中心 (群論)|中心]]，即<math>\sigma</math>為[[群同構]]時，稱之為[[完備群]]。

==有限單群的外自同構群==
[[施賴埃爾猜想]]指任何有限[[單群]]的外自同構群，都是[[可解群|可解]]的。按照[[有限單群分類]]去逐一檢驗，這項猜想已得證，但至今未有直接證明。

==參考==
* {{Citation | last1=Rotman | first1=Joseph J. | title=An introduction to the theory of groups | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | isbn=978-0-387-94285-8 | year=1994}} (chapter 7).


[[Category:群論|W]]