查看“多伽玛函数”的源代码

<math>\boldsymbol{m}</math>阶多伽玛函数'''是[[伽玛函数]]的第<math>(\boldsymbol{m+1})</math>个[[对数导数]]。

:<math>\psi^{(m)}(\zeta)=\left(\frac{d}{d\zeta}\right)^m\psi(\zeta)=\left(\frac{d}{d\zeta}\right)^{m+1}\ln\Gamma(\zeta)</math>

在这里 

:<math>\psi(\zeta)=\psi^{(0)}(\zeta) = \frac{\Gamma'(\zeta)}{\Gamma(\zeta)}</math>

是[[双伽玛函数]]，<math>\Gamma(\zeta)\!</math>是伽玛函数。函数<math>\psi^{(1)}(\zeta)\!</math>有时称为[[三伽玛函数]]。

{|  style="text-align:center"
|+ '''伽玛函数的对数，以及最初几个多伽玛函数'''
|[[File:Complex LogGamma.jpg|1000x140px|none]]
|[[File:Complex Polygamma 0.jpg|1000x140px|none]]
|[[File:Complex Polygamma 1.jpg|1000x140px|none]]
|[[File:Complex Polygamma 2.jpg|1000x140px|none]]
|[[File:Complex Polygamma 3.jpg|1000x140px|none]]
|[[File:Complex Polygamma 4.jpg|1000x140px|none]]
|-
|<math>
\ln\Gamma(\zeta)\!
</math>
|<math>
\psi^{(0)}(\zeta)\!
</math>
|<math>
\psi^{(1)}(\zeta)\!
</math>
|<math>
\psi^{(2)}(\zeta)\!
</math>
|<math>
\psi^{(3)}(\zeta)\!
</math>
|<math>
\psi^{(4)}(\zeta)\!
</math>
|}

==积分表示法==
多伽玛函数可以表示为：

:<math>\psi^{(m)}(\zeta)= (-1)^{m+1}\int_0^\infty 
\frac{t^m e^{-\zeta t}}{1-e^{-t}} dt</math>

当Re ''z'' &gt;0和''m'' &gt; 0时成立。对于''m'' = 0，参见[[双伽玛函数]]的定义。

==递推关系==
多伽玛函数具有以下的[[递推关系]]：
:<math>\psi^{(m)}(z+1)= \psi^{(m)}(z) + (-1)^m\; m!\; z^{-(m+1)}.</math>

==乘法定理==
[[乘法定理]]给出：

:<math>k^{m} \psi^{(m-1)}(kz) = \sum_{n=0}^{k-1} 
\psi^{(m-1)}\left(z+\frac{n}{k}\right)</math>

其中<math>m>1</math>。对于<math>m=0</math>，则是[[双伽玛函数]]：

:<math>k (\psi(kz)-\log(k)) = \sum_{n=0}^{k-1} 
\psi\left(z+\frac{n}{k}\right)</math>

==级数表示法==
多伽玛函数有以下的级数表示法：

:<math>\psi^{(m)}(z) = (-1)^{m+1}\; m!\; \sum_{k=0}^\infty 
\frac{1}{(z+k)^{m+1}}</math>

对''m'' > 0和任何不等于负数的复数''z''都成立。还可以用[[赫尔维茨ζ函数]]来表示：

:<math>\psi^{(m)}(z) = (-1)^{m+1}\; m!\; \zeta (m+1,z).</math>

==泰勒级数==
''z'' = 1时，泰勒级数为：

:<math>\psi^{(m)}(z+1)= \sum_{k=0}^\infty 
(-1)^{m+k+1} (m+k)!\; \zeta (m+k+1)\; \frac {z^k}{k!},</math>

当|''z''| < 1时收敛。在这里，&zeta;是[[黎曼ζ函数]]。这个级数可以很容易从赫尔维茨ζ函数的泰勒级数推出。这个级数也可以用来推导出一些[[有理ζ级数]]。

==参见==
* [[伽玛函数]]
* [[双伽玛函数]]

==参考文献==
* Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, ''[[Handbook of Mathematical Functions]]'', (1964) Dover Publications, New York. ISBN 978-0-486-61272-0 .  参见第[http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_260.htm &sect;6.4]节。



[[Category:伽玛及相关函数]]