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'''多重指標'''是數學中一種方便的表示法，它將指標中的單個整數推廣為多個整數，它可以簡化多元[[微積分]]、[[偏微分方程]]與[[分佈 (數學)|分佈]]理論中的計算，也便於操作[[冪級數]]。

==定義與運算==

一個<math>n</math>-維'''多重指標'''是一個由[[整數]]構成的[[向量]]

:<math>\alpha = (\alpha_1, \alpha_2,\ldots,\alpha_n)</math> 

設<math>\alpha, \beta</math>為多重指標，定義：

:<math>\alpha \pm \beta:= (\alpha_{1} \pm \beta_{1},\,\alpha_{2} \pm \beta_{2}, \ldots, \,\alpha_{n} \pm \beta_{n})</math>

:<math>\alpha \le \beta \quad \Leftrightarrow \quad \alpha_{i} \le \beta_{i} \quad \forall\,i</math>

:<math>| \alpha | = \alpha_{1} + \alpha_{2} + \cdots + \alpha_{n}</math>

應用最廣的是非負的多重指標，此時可以定義：

:<math>\alpha ! = \alpha_{1}! \cdot \alpha_{2}! \cdots \alpha_{n}!</math>

:<math>{\alpha \choose \beta} = \frac{\alpha!}{(\alpha - \beta)! \, \beta!}={\alpha_{1} \choose \beta_{1}}{\alpha_{2} \choose \beta_{2}}\cdots{\alpha_{n} \choose \beta_{n}}</math>（假設<math>\alpha \geq \beta</math>）

:設<math>x = (x_1, \ldots, x_n)</math>，定義<math>\mathbf{x}^\alpha = x_{1}^{\alpha_{1}} x_{2}^{\alpha_{2}} \ldots x_{n}^{\alpha_{n}}</math>

: <math>D^{\alpha} := D_{1}^{\alpha_{1}} D_{2}^{\alpha_{2}} \ldots D_{n}^{\alpha_{n}}</math>其中<math>D_{i}^{j}:=\partial^{j} / \partial x_{i}^{j}</math>

'''命題'''。若<math>i, k</math>是非負的<math>n</math>維多重指標，且<math>x=(x_1,\ldots, x_n)</math>，則

:<math> D^i x^k =
\begin{cases} 
  \frac{k!}{(k-i)!} x^{k-i} &  i\le k\\ 
   0 & i \nleq k
  \end{cases}
</math>

按定義直接操作即可證明。

==應用==
===多元微積分===
多重指標可以將單變元微積分的許多結果直接推廣到多變元。以下是幾個例子：

'''多元冪級數'''：有兩個以上變元的冪級數通常寫成
: <math> s(\mathbf{x}) = \sum_I a_I \mathbf{x}^I</math>
其中<math>I</math>是<math>n</math>-維多元指標而<math>\mathbf{x} = (x_1, \ldots, x_n)</math>，以簡化冗長的表法
: <math> s(x_1, \ldots, x_n) = \sum_{i_1, \ldots, i_n} a_{i_1 \ldots i_n} x_1^{i_1} \cdots x_n^{i_n} </math> 

'''多項展開'''

:<math> \left( \sum_{i=1}^{n}{x_i}\right)^k = \sum_{|\alpha|=k}^{}{\frac{k!}{\alpha!} \, \mathbf{x}^{\alpha}} </math>

'''萊布尼茨公式'''：設<math>u, v</math>存在夠高階的導數，則

:<math>D^{\alpha}(uv) = \sum_{\nu \le \alpha}^{}{{\alpha \choose \nu}D^{\nu}u\,D^{\alpha-\nu}v}</math>

'''[[泰勒展開式]]：'''對一多元[[解析函數]]''f''，當<math>|\mathbf{h}|</math>充分小時有下述展開

:<math>f(\mathbf{x}+\mathbf{h}) =  \sum_{|\alpha| \ge 0} \frac{D^{\alpha}f(\mathbf{x})}{\alpha !}\mathbf{h}^{\alpha}</math>
其實這不外是定義，多元指標在此提供了簡練的表示法。

對於存在夠高階導數的函數，我們也有帶餘項的[[泰勒展開式]]：
:<math>f(\mathbf{x}+\mathbf{h}) = \sum_{|\alpha| \leq n}{\frac{D^{\alpha}f(\mathbf{x})}{\alpha !}\mathbf{h}^{\alpha}}+R_n(\mathbf{x},\mathbf{h})</math>
其中的最後一項（餘項）有多種表法，例如[[柯西]]的積分表法：
:<math>R_n(\mathbf{x},\mathbf{h})= (n+1) \sum_{|\alpha| =n+1}\frac{\mathbf{h}^\alpha}{\alpha !}\int_0^1(1-t)^nD^\alpha f(\mathbf{x}+t\mathbf{h})\,dt</math>

===偏微分算子===
一個形式上的<math>n</math>變元<math>N</math>-階'''偏微分算子'''能以多重指標寫成

:<math>P(D) = \sum_{|\alpha| \le N}{}{a_{\alpha}(x)D^{\alpha}}</math>

'''分部積分'''：對有界定義域<math>\Omega \subset \mathbb{R}^n</math>上的緊[[支撐集|支集]][[光滑函數]]，我們有

:<math>\int_{\Omega}{}{u(D^{\alpha}v)}\,dx = (-1)^{|\alpha|}\int_{\Omega}^{}{(D^{\alpha}u)v\,dx}</math>

此公式用以定義[[分佈 (數學)|分佈]]與[[弱導數]]。



==文獻==
* Saint Raymond, Xavier (1991). ''Elementary Introduction to the Theory of Pseudodifferential Operators''. Chap 1.1 . CRC Press. ISBN 0-8493-7158-9

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