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'''奇异函数'''（{{lang-en|singularity function}}）是一类含有[[奇异点]]的[[不连续函数]]（在奇异点不连续），其在数学领域里的名称为[[广义函数]]或[[分布 (数学分析)|分布]]。<ref>{{citation|first=A. H.|last=Zemanian|title=Distribution Theory and Transform Analysis|publisher=McGraw-Hill Book Company|year=1965}}</ref><ref>{{citation|first=R. F.|last=Hoskins|title=Generalised Functions|publisher=Halsted Press|year=1979}}</ref><ref>{{citation|first=M.J.|last=Lighthill|title=Fourier Analysis and Generalized Functions|publisher=Cambridge University Press|year=1958}}</ref>这些函数以角括号标记，形如 <math>\langle x-a\rangle ^n</math>，其中''n''为整数。而“<math>\langle\rangle</math>”则被称为'''奇异括号'''。奇异函数的定义为：

:{| class="wikitable"
|-
! n
! <math>\langle x-a\rangle ^n</math>
|-
| <math>< 0</math>
| <math>\frac{d^{|n+1|}}{dx^{|n+1|}}\delta(x-a)\,</math>
|-
| -2
|<math>\frac{d}{dx}\delta(x-a)\,</math>
|-
| -1
|<math>\delta(x-a)\,</math>
|-
| 0
| <math>H(x-a)\,</math>
|-
| 1
| <math>(x-a)H(x-a)\,</math>
|-
| 2
| <math>(x-a)^2H(x-a)</math>
|-
| <math>\ge 0</math>
| <math>(x-a)^nH(x-a)</math>
|}

其中，<math>\delta (x)</math>表示[[狄拉克δ函数]]，即单位脉冲。<math>\delta(x)</math>的一次导数则被称为[[单位偶]]。<math>H(x)</math>为[[单位阶跃函数]]：x<0 时 H(x)=0，而 x>0 时 H(x)=1。H(0)的值则按具体的约定而定。需要注意的是只有n=0时H(0)的值才有影响。<math>\langle x-a\rangle^1</math>则称为[[斜坡函数]]。

== 积分 ==
对<math>\langle x-a\rangle ^n</math>的积分可按下式计算（x=a时积分结果取为0）：
:<math>\int\langle x-a \rangle^n dx = \begin{cases} \langle x-a \rangle^{n+1}, & n\le 0 \\ \frac{\langle x-a \rangle^{n+1}}{n+1}, & n \ge 0   \end{cases}</math>

== 参考文献 ==
{{reflist}}

[[Category:函数]]