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在[[数学]]中，某个[[序列]]的'''子序列'''是从最初序列通过去除某些元素但不破坏余下元素的相对位置（在前或在后）而形成的新序列。 

正式地说，假设 ''X'' 是集合而 (''a''<sub>''k''</sub>)<sub>''k'' &isin; ''K''</sub> 是 ''X'' 中的序列，其中若 (''a''<sub>''k''</sub>) 是有限序列，则 ''K'' = {1,2,3,...,''n''}；若 (''a''<sub>''k''</sub>) 是无限序列，则''K'' = <MATH>\mathbb{N}</MATH>  。则 (''a<sub>k</sub>'') 的子序列是形如 <math> (a_{n_r}) </math> 的序列，这里的 (''n<sub>r</sub>'') 是在索引集合 ''K'' 中严格递增序列。

== 定義 ==
假設有一條數列<math>X_n=(x_1,x_2,x_3,x_4,\cdots)</math>。可以在里面抽出指定的項組成新的子數列，<math>X_n'=(x_2,x_4,x_6,x_8,\cdots)</math>。

因為<math>X_n=(x_n)</math>，<math>n\in\N</math>是自然數，而且它会隨着項數增加而增加，所以它的子數列<math>X_n'=(x_{n_k})</math>，<math>n_k\in\N</math>都會隨着項數增加而增加。

注意：子數列的次序必須和主數列的次序一样。

'''例子'''

<math>X_n=(1,2,3,4,5,6,7,8\cdots)</math>，只抽出雙數項，就會有子數列。<math>X_n'=(2,4,6,8\cdots)</math>。

== 性質 ==
有二种定义
=== 定义一 ===
令 <math>(a_n)_{n \in \mathbb{N}}</math> 为一实序列及 <math>n_1 < n_2 < n_3 < \cdots</math> 为一组[[自然数]]序列。那么，序列

::::<math>a_{n_1} , a_{n_2} , a_{n_3} , \cdots</math>

是 <math>(a_n)</math> 的一子序列。其符号表示为 <math>(a_{n_j})</math>，其中 <math>j \in \mathbb{N}</math> 是子序列的索引。

'''證明'''

比任何<math>\varepsilon>0</math>，根據定理得知，會有一個自然數<math>N\in\N</math>，所對應的第<math>n\geq N</math>項符合，<math>|x_n-x|<\varepsilon</math>。

根據子數列的定義，它都會和所對應的第<math>n_k\geq n\geq N</math>項符合，<math>|x_{n_k}-x|<\varepsilon</math>。

因此，子數列都趨向<math>x</math>。

=== 定义二 ===
令 <math>(y_n)_{n \in \mathbb{N}}</math> 及 <math>(a_n)_{n \in \mathbb{N}}</math> 各自为某个序列。那么，<math>(y_n)</math> 是 <math>(a_n)</math> 的一子序列，如果：

# <math>(y_n)</math> 是由 <math>(a_n)</math> 的元素所组成。
# 存在一严格递增[[函数]] <math>f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}</math>，使得对所有 <math>n \in \mathbb{N}</math>， <math>y_n = a_{f(n)}</math>

== 例子 ==
令 <math>(a_n)_{n \in \mathbb{N}}</math> 为一序列

::::<math> \left( \frac{1}{n} \right)_{n \in \mathbb{N}} = \left( 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \cdots \right) </math>

那么，以下序列

::::<math>(y_n)_{n \in \mathbb{N}} = \left( \frac{1}{n^2} \right)_{n \in \mathbb{N}} = \left( 1, \frac{1}{4}, \frac{1}{9}, \cdots \right)</math>

是 <math>(a_n)</math> 的子序列之一。对应定义里的自然数子序列 <math>(n_{1}, n_{2}, n_{3}, \cdots)</math> 为 <math>(n^2)_{n \in \mathbb{N}}</math>，而所对应的映射函数为 <math>f(n) = n^2</math>。


== 参考文献 ==
*{{en}}{{ Citation |last1= Stephen Abbott |title=Understanding Analysis |publisher=Springer |year=2010 |isbn=978-1441928665}}


==参见==
*[[序列]]
*[[子序列极限]]
*[[上极限和下极限]]
*[[Erdős–Szekeres定理]]

==引用==
<references />
{{planetmath|id=3300|title=subsequence}}


[[Category:初等数学]]
[[Category:数学分析]]
[[Category:序列]]