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在[[數學]]中，一個[[範疇 (數學)|範疇]]''C''的'''子範疇'''是一個範疇''S''，其物件為''C''內的物件，態射為''C''內的態射，且有相同的單位態射與態射複合。直觀上來看，''C''的子範疇是一個從''C''中「移去」部份物件和態射的範疇。

== 形式定義 ==

令''C''為一範疇。''C''的'''子範疇'''''S''給定於
* ''C''中物件的子類，標記為ob(''S'')，
* ''C''中態射的子類，標記為hom(''S'')。使得
* 對每個在ob(''S'')內的''X''而言，單位態射id<sub>''X''</sub>會在hom(''S'')內。
* 對每個在hom(''S'')內的態射''f'' : ''X'' → ''Y''而言，源物件''X''和目標物件''Y''都會在ob(''S'')內。
* 對每對在hom(''S'')內的態射''f''和''g''而言，複合''f'' o ''g''會如其定義地在hom(''S'')內。

上述條件確定''S''本身也會是個範疇。其中存在一自然[[函子]]''I'' : ''S'' → ''C''，稱之為'''包含函子'''，單純為物件和態射的恆等函數。

一個範疇''C''的'''完全子範疇'''是一個''C''的子範疇''S''，會使得每對在''S''內的物件''X''和''Y''，
:<math>\mathrm{Hom}_\mathcal{S}(X,Y)=\mathrm{Hom}_\mathcal{C}(X,Y)</math>。
一個完全子範疇是一個包括著在''S''的物件間「所有」態射的範疇。對任一堆在''C''內的物件''A''，必存在唯一一個''C''的全子範疇，其物件為''A''內的所有物件。

== 內嵌 ==

給定一個''C''的子範疇''S''，其包含函子''I'' : ''S'' → ''C''在物件上是[[忠實函子|忠實]]且單射的。此函子為[[完全函子|完全]]的若且唯若''S''為一完全子範疇。

一個函子''F'' : ''B'' → ''C''被稱之為是一個'''內嵌'''若其為
* 一個忠實函子，且
* 在物件上是單射的。等價地說，''F''是一個內嵌若其在態射上為單射。一個函子''F''被稱之為'''完全內嵌'''，則是若其為一完全函子，且為一內嵌。

對任一（完全）內嵌''F'' : ''B'' → ''C''而言，''F''的值域是''C''的一個（完全）子範疇''S''，且''F''可導出一個由''B''和''S''間的[[範疇同構]]。

== 子範疇類型 ==

一個''C''的子範疇''S''被稱之為'''[[同構封閉]]的，若每一個在''C''內的[[同構]]''k'' : ''X'' → ''Y''（''Y''在''S''內）也會屬於''S''。一個同構封閉完全子範疇被稱之為是'''嚴格完全'''的。

一個''C''的子範疇是'''寬'''的，若其包括所有''C''的物件。一個寬子範疇基本上不會是完全的：一個範疇唯一的完全寬子範疇即是此一範疇本身。

一個'''塞爾子範疇'''是指一個[[阿貝爾範疇]]''C''的一非空完全子範疇''S''，其中對所有在''C''內的所有短[[正合序列]]

:<math>0\to M'\to M\to M''\to 0</math>

''M''會屬於''S''，若且唯若<math>M'</math>和<math>M''</math>也屬於''S''。

== 參考資料 ==
<references/>

== 另見 ==

* [[反射子範疇]]

[[Category:範疇論|Z]]