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{{NoteTA|G1=物理學}}
{{Otheruses|subject=載流導線與其產生的磁場之間的關係|other=描述兩條載流導線相互作用的力的定律|安培力定律}}
{{向量字體常規}}
[[File:Ampere Andre 1825.jpg|thumb|200px|[[安德烈-瑪麗·安培]]。]]
'''安培定律'''（{{lang-en|'''Ampère's circuital law'''}}），又稱'''安培環路定律'''，是由[[安德烈-瑪麗·安培]]於1826年提出的一條[[靜磁學]]基本定律。安培定律表明，[[載流導線]]所載有的[[電流]]，與[[磁場]]沿著環繞導線的閉合迴路的路徑積分，兩者之間的關係為
: <math>\oint_\mathbb{C}  \mathbf{B} \cdot d\boldsymbol{\ell} =\mu_0 I_{enc}</math>；

其中，<math>\mathbb{C}</math>是環繞著導線的閉合迴路，<math>\mathbf{B}</math>是[[磁場]]（又稱為B場），<math>d\boldsymbol{\ell}</math>是微小線元素向量，<math>\mu_0</math>是[[磁常數]]，<math>I_{enc}</math>是閉合迴路<math>\mathbb{C}</math>所圍住的電流。

1861年，[[詹姆斯·馬克士威]]又將這方程式重新推導一遍，使得符合[[電動力學]]條件，並且發表結果於論文《[[論物理力線]]》內。馬克士威認為，[[電場|含時電場]]會生成磁場，假若[[電場]]含時間，則前述安培定律方程式不成立，必須加以修正。經過修正後，新的方程式稱為'''馬克士威-安培方程式'''，是[[馬克士威方程組]]中的一個方程式，以積分形式表示為
: <math>\oint_\mathbb{C} \mathbf{B} \cdot d\boldsymbol{\ell} = \mu_0 \int_\mathbb{S} \left(\mathbf{J} + \frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}\right) \cdot d\mathbf{a}</math>；

其中，<math>\mathbb{S}</math>是邊緣為<math>\mathbb{C}</math>的任意曲面，<math>\mathbf{J}</math>是穿過曲面<math>\mathbb{S}</math>的電流的[[電流密度]]，<math>\mathbf{ D }</math>是[[電位移]]，<math>d\mathbf{a}</math>是微小面元素向量。

== 右手定則 ==
載流迴圈所產生的[[磁場]]方向可以使用[[右手定則]]來判斷。其方法為將[[拇指]]外的四根手指向手掌彎的方向視為磁場方向，則拇指所指的方向即為電流的方向。

[[File:Manoderecha.svg|200px|thumb|安培右手定則：將右手的大拇指指向電流<math>I</math>方向，再將四根手指握緊電線，則彎曲的方向决定磁場<math>\mathbf{B}</math>的方向]]
右手定則也可以用來辨明一條電線四周磁場的方向。對於這用法，右手定則稱為「安培右手定則」，或「安培定則」。如右圖，安培右手定則表明，假若將右手的大拇指朝著電線的電流方向指去，再將四根手指握緊電線，則四根手指彎曲的方向為磁場的方向。

== 原版安培定律 ==
[[File:Electromagnetism.svg|200px|thumb|一條載流導線所載有的電流會產生磁場。]]
安培定律的歷史原版形式，連結了磁場與源電流。這定律可以寫成兩種形式，積分形式和微分形式。根據[[斯托克斯定理#.E2.84.9D.C2.B3.E2.80.89.E4.B8.8A.E7.9A.84.E6.96.AF.E6.89.98.E5.85.8B.E6.96.AF.E5.85.AC.E5.BC.8F|克耳文－斯托克斯定理]]（即{{Unicode|ℝ³}}上的斯托克斯公式），對於任意向量<math>\mathbf{F}</math>，
:<math>\int_\mathbb{S} \nabla\times \mathbf{F}\cdot d\mathbf{a}=\oint_{\mathbb{C}} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}</math>。

所以，這兩種形式是等價的。

=== 積分形式 ===
[[电流]]<math>I</math>在一个曲面<math>\mathbb{S}</math>上的[[通量]]，等於[[磁場|磁場]]<math>\mathbf{B}</math>沿著<math>\mathbb{S}</math>的邊緣閉合迴路<math>\mathbb{C}</math>的路徑積分。採用[[國際單位制]]（後面會講述[[CGS單位制]]版本），原版安培定律的積分形式可以寫為<ref name=Griffiths>{{cite book |title=Introduction to Electrodynamics|author=David J Griffiths |page=225, 321-325|isbn=013805326X |publisher=Pearson/Addison-Wesley |year=1999 |edition=3rd Edition
}}</ref>：
:<math>\oint_{\mathbb{C}} \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell} = \mu_0 I</math>。

請注意到這方程式有些模糊之處，需要特別澄清：
*第一，邊界曲線<math>\mathbb{C}</math>的正向与曲面<math>\mathbb{S}</math>的侧符合右手规则。<Ref group="注">沿著閉合迴路<math>\mathbb{C} </math>線積分的方向有兩種（[[順時針方向]]及[[逆時針|逆時針方向]]）。還有，<math>I \!\ </math>是通過邊緣為閉合迴路<math>\mathbb{C} </math>的曲面<math>\mathbb{S}</math>的淨自由電流，包括以某方向通過的電流，減去以相反方向通過的電流。但是，兩種方向中，任何一種都可以選為正值。為了澄清這些模糊之處，必須使用[[右手定則]]：當右手食指朝著線積分方向指去時，伸直的大拇指會指向微小面元素向量，設定朝著這方向流動的電流為正值。</Ref>

*第二，（固定<math>\mathbb{C}</math>，）定理之成立與以<math>\mathbb{C}</math>為邊界的<math>\mathbb{S}</math>的選擇無關。<Ref group="注">通過邊緣為閉合迴路<math>\mathbb{C} </math>的曲面有無限多選擇（設想在一个閉合铁环上懸跨着一个肥皂泡，假若輕輕地往这个肥皂泡吹一口氣，則泡沫的形狀會變形）。不過選擇哪一曲面都無所謂，因為任何邊緣為<math>\mathbb{C} </math>的曲面皆可被證明為正確的選擇。</Ref>

安培定律可由[[必歐-沙伐定律]]和磁場的[[叠加原理|叠加性]]证明（請參閱[[必歐-沙伐定律#安培定律和高斯磁定律的導引|必歐-沙伐定律]]）。在[[静磁學]]中，安培定律的角色與[[高斯定律]]在[[靜電學]]的角色類似。當系統組態具有適當的[[對稱性]]時，我們可以利用這對稱性，使用安培定律來便利地計算磁場。例如，當計算一條直線的載流導線或一個無限長[[螺線管]]的磁場時，可以採用[[圓柱坐標系]]來匹配系統的圓柱對稱性。

=== 微分形式 ===
根據[[斯托克斯定理#.E2.84.9D.C2.B3.E2.80.89.E4.B8.8A.E7.9A.84.E6.96.AF.E6.89.98.E5.85.8B.E6.96.AF.E5.85.AC.E5.BC.8F|克耳文－斯托克斯定理]]，這方程式也可以寫為微分形式。只有當電場不含時間的時候，也就是說，當電場對於時間的偏微分等於零的時候，這方程式才成立。採用[[國際單位制]]，這方程式表示為
:<math>\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J } </math>。

磁场<math>\mathbf{B} </math>的旋度等于（产生该磁场的）传导电流密度<math>\mathbf{J} </math>。

== 電流分類 ==
電流可以細分為自由電流和束縛電流，而束縛電流又可分類為磁化電流和電極化電流。以方程式表示，總電流密度<math>\mathbf{J}</math>是
:<math>\mathbf{J} =\mathbf{J_f +J_M +J_P}</math>；

其中，<math>\mathbf{J}_ f </math>是自由電流密度或傳導電流密度，<math>\mathbf{J}_M</math>是磁化電流密度，<math>\mathbf{J}_ P </math>是電極化電流密度。

從微觀而言，所有的電流基本上是一樣的。但是，由於實用原因，物理學家會將電流分類為自由電流和束縛電流，對於每一類電流有不同的處理方式。例如，束縛電流通常發生於原子尺寸。物理學家或許想要使用較簡單但適用於較大尺寸狀況的理論。因此，較微觀的安培定律，以B場<math>\mathbf{B}</math>和微觀電流（包括自由電流和束縛電流）來表達的定律，有時候會被替代為等價的形式，以[[磁場#B場與H場|附屬磁場]]（又稱為H場）<math>\mathbf{H}</math>和自由電流來表達的形式。後面[[#等價證明|證明段落]]，會有詳細的關於自由電流和束縛電流的定義，與兩種表述等價的證明。

=== 自由電流 ===
通常在教科書內所提及的单独的“電流”二字，都是指的自由電流，即自由载流子（电子及阴阳离子）的定向移动。例如，通過一條導線或一個[[電池]]的電流。自由电流与后面提到的束缚电流明顯不同，后者出現於可以被[[磁化]]或[[電極化]]的宏觀物質裏（每一種物質都會或多或少地被電極化或磁化）。

=== 磁化電流 ===
當一個物質被磁化的時候（例如，將此物質置入外磁場），電子仍舊會束縛於它們所屬的原子。但是，它們的物理行為會有所改變（會與感受到的磁場耦合），產生微觀電流。將這些電流總合在一起，會有如同宏观電流一般的效應，環繞於磁化物體內部或表面。稱這電流為'''磁化電流'''，是束縛電流的一部分。稱磁化電流的密度為「體磁化電流密度」<math>\mathbf{J}_M</math>，用方程式定義為
:<math>\mathbf{J}_M\ \stackrel{def}{=}\ \nabla\times\mathbf{M}</math>；

其中，<math>\mathbf{M}</math>是[[磁化強度]]（單位體積的[[磁偶極矩]]）。

=== 電極化電流 ===
束縛電流的另外一種來源是電極化電流。感受到電場的作用，可電極化物質內的正束縛電荷和負束縛電荷會以原子距離相互分離。假設電場隨著時間而變化，[[束縛電荷]]也會隨著時間而移動，因而產生「電極化電流」，稱其密度為「電極化電流密度」<math>\mathbf{J}_P</math>，用方程式定義為
:<math>\mathbf{J}_P\ \stackrel{def}{=}\ \frac{\partial \mathbf{P}}{\partial t}</math>；

其中，<math>\mathbf{P}</math>是[[電極化強度]]。

注意到電極化強度的定義式
:<math>\nabla\cdot\mathbf{P}\ \stackrel{def}{=}\  - \rho_b</math>；

其中，<math>\rho_b</math>是「體束縛電荷密度」。

取電極化電流密度的[[散度]]：
:<math>\nabla\cdot\mathbf{J}_P=\frac{\partial}{\partial t} (\nabla\cdot\mathbf{P})</math>。

所以，電極化電流密度與體束縛電荷密度的關係為
:<math>\nabla\cdot\mathbf{J}_P= - \frac{\partial\rho_b}{\partial t}</math>。

== 原版安培定律的不足處 ==
原版安培定律只適用於[[靜磁學]]。在[[電動力學]]裏，當物理量含時間，有些細節必須仔細檢查。思考安培方程式，
:<math>\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J }</math>；

其中，<math>\mathbf{B}</math>是B場，<math>\mu_0</math>是[[磁常數]]，<math>\mathbf{J }</math>是總電流。

取[[散度]]於這方程式，則會得到
:<math>\nabla\cdot(\nabla \times \mathbf{B}) = \mu_0 \nabla\cdot\mathbf{J }</math>。

應用一個[[向量恆等式列表|向量恆等式]]，[[旋度]]的散度必定等於零。所以，
:<math>\nabla\cdot(\nabla \times \mathbf{B}) =0</math>。

這意味著電流密度的散度等於零：
:<math>\nabla\cdot\mathbf{J }=0</math>。

在[[靜磁學]]內，這是正確的。但是，出了靜磁學範圍，當電流不穩定的時候，這就不一定正確了。

[[File:Amperian_Loop.jpg|thumb|200px | 一個正在充電的[[電容器]]，左邊的圓形金屬板，被一個假想的封閉圓柱表面<math>\mathbb{S}</math>包圍。這圓柱表面的右邊表面<math>\mathbb{R}</math>處於電容器的兩塊圓形金屬板之間，左邊表面<math>\mathbb{L}</math>處於最左邊。沒有任何傳導電流通過表面<math>\mathbb{R}</math>，而有電流<math>I</math>通過表面<math>\mathbb{L}</math>。]]

舉個經典例子，如圖右，一個正在充電的[[電容器]]，其兩片金屬板會隨著時間分別累積異性電荷。設定表面<math>\mathbb{L}</math>的邊緣為閉合迴路<math>\mathbb{C}</math>。應用安培定律，
: <math>\oint_\mathbb{C}  \mathbf{B} \cdot d\boldsymbol{\ell} =\mu_0 I_{enc}</math>。

在這裡，<math>I_{enc}</math>是通過任意曲面的電流，只要這曲面符合一個條件：邊緣為閉合迴路<math>\mathbb{C}</math>。所以，這任意曲面可以是表面<math>\mathbb{L}</math>，而<math>I_{enc}</math>是<math>I</math>；或者這任意曲面可以是封閉圓柱表面減去左邊表面<math>\mathbb{S} - \mathbb{L}</math>，而由於通過這任意曲面的電流是<math>0</math>，<math>I_{enc}</math>是<math>0</math>。選擇不同的曲面會得到不同的答案，這在物理學裏，是絕對不允許發生的事。

為了解決上述難題，安培定律必須加以修改延伸。應用[[流體力學]]的方法，馬克士威摹想磁場為[[電介質]][[渦旋]]（{{lang|en|vortex}}）大海，而位移電流即為大海內的電極化電流<ref name=Siegel>
{{cite book |title=Innovation in Maxwell's Electromagnetic Theory: Molecular Vortices, Displacement Current, and Light |page=96-98 |isbn=0521533295 |author=Daniel M. Siegel
|publisher=Cambridge University Press |year=2003 }}</ref>。在他於1861年發表的論文《論物理力線》裡面，馬克士威將位移電流項目加入了安培定律<ref>{{cite journal |url=http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b8/On_Physical_Lines_of_Force.pdf
|author=James C. Maxweel |year=1961 |title=On Physical Lines of Force|journal=Philosophical Magazine and Journal of Science}}</ref>。

=== 位移電流 ===
{{main|位移電流}}
在[[自由空間]]內，位移電流跟電場隨著時間的變化率有關；而在電介質內，上述貢獻仍舊存在，但另外一個重要貢獻則與電介質的電極化有關。雖然電荷不能自由地運動於電介質，感受到外電場的作用，[[分子]]的束縛電荷可以做微小的運動。因此，正值和負值的束縛電荷會產生小距離的分離，造成[[電極化]]的增加，這可以用變量[[電極化強度]]<math>P</math>來表達。電極化強度隨著時間的變化所產生的效應就是電極化電流。

位移電流密度<math>\mathbf{J}_D </math>定義為<ref name=Griffiths />
:<math>\mathbf{J}_D\ \stackrel{def}{=}\ \frac {\partial\mathbf{D}}{\partial t}</math>；

其中，<math>\mathbf{D} </math>是[[電位移]]，定義為
:<math> \mathbf{D}\ \stackrel{def}{=}\ \varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P}</math>；

其中，<math>\varepsilon_0</math>是[[電常數]]，<math> \mathbf{P}</math>是電極化強度。

所以，位移電流密度分為兩個部分：
:<math> \mathbf{J}_D = \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + \frac{\partial \mathbf{P}}{\partial t}</math>。

這方程式右手邊的第一個項目是馬克士威修正項目，在任何地方都可存在，甚至在[[真空]]也可以存在。馬克士威修正項目並不涉及任何真實的電荷運動，但是，它描述一個含時電場的物理行為，就好像是真實的電流。第二個項目是電極化電流密度，與電介質內單獨分子的[[極化性]]有關。

== 原本定律的延伸：馬克士威-安培方程式 ==
將馬克士威修正項目加入安培方程式：
:<math>\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J }+ \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}</math>  ;

或者，使用H場<math>\mathbf{H}</math>和位移電流<math>\mathbf{D}</math>來表達，
:<math>\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J }_f+ \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}</math>。

這就是'''馬克士威-安培方程式'''，可以補救原本安培定律的限制。

假若使用B場<math>\mathbf{B}</math>的馬克士威-安培方程式，由於習慣，時常會稱<math>\varepsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}</math>項目為位移電流密度。由於增添了位移電流，馬克士威能夠推論（正確地）[[光波]]是一種電磁波（請參閱[[電磁波]]條目）。

=== 等價證明 ===
:{| class="toccolours collapsible collapsed" width="80%" style="text-align:left"
!馬克士威-安培方程式的等價證明
|-
|這裏證明方程式
:<math>\mathbf{\nabla} \times \mathbf{B}=\mu_0\mathbf{J} + \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}</math>。

等價於方程式

:<math>\nabla\times \mathbf{H} = \mathbf{J}_f + \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}</math>，

注意到只處理微分形式，而不處理積分形式。但這已足夠了。因為，根據[[斯托克斯定理|克耳文-斯托克斯定理]]，微分形式等價於積分形式。

回想電位移的定義式為
:<math>\mathbf{D}\ \stackrel{def}{=}\ \epsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P}</math>。

還有，<math>\mathbf{H}</math>的定義式為
:<math>\mathbf{H}\ \stackrel{def}{=}\ \frac{1}{\mu_0} \mathbf{B} - \mathbf{M}</math>。

將這兩個定義式代入[[磁場#B場與H場|H場]]<math>\mathbf{H}</math>的馬克士威-安培方程式，
:<math>\nabla\times \left(\frac{1}{\mu_0} \mathbf{B} - \mathbf{M} \right)= \mathbf{J}_f + \epsilon_0\frac{\partial  \mathbf{E}}{\partial t}+ \frac{\partial \mathbf{P}}{\partial t}</math>。

經過一番運算，可以得到
:<math>\nabla\times \left(\frac{1}{\mu_0} \mathbf{B} \right)= \mathbf{J}_f +\nabla\times\mathbf{M}+ \frac{\partial \mathbf{P}}{\partial t}+ \epsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}= \mathbf{J}_f +\mathbf{J}_M +\mathbf{J}_P + \epsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}</math>。

稍加整理，即可得到[[磁場]]<math>\mathbf{B}</math>的馬克士威-安培方程式
:<math>\mathbf{\nabla} \times \mathbf{B}=\mu_0\mathbf{J} + \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}</math>。
|}

== CGS單位制的安培方程式 ==
採用[[CGS單位制]]，安培方程式的積分形式，包括馬克士威修正項目，可以寫為
:<math>\oint_\mathbb{C} \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell} = \frac{1}{c} \int_S \left(4\pi\mathbf{J}+\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\right) \cdot \mathrm{d}\mathbf{a}</math>；

其中，<math>c</math>是[[光速]]。

其微分形式可以寫為
:<math>\mathbf{\nabla} \times \mathbf{B} = \frac{1}{c}\left(4\pi\mathbf{J}+\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\right)</math>。

== 参见 ==
* [[電荷守恆定律]]

== 註釋 ==
{{Reflist|group="注"}}

== 參考文獻 ==
{{reflist}}

== 外部連結 ==
* {{cite web|last=Morgan|first=Kirby|title=安培定律|publisher=[http://www.physnet.org Project PHYSNET]|url=http://35.9.69.219/home/modules/pdf_modules/m138.pdf|deadurl=yes|archiveurl=https://web.archive.org/web/20090226225357/http://35.9.69.219/home/modules/pdf_modules/m138.pdf|archivedate=2009-02-26}}
* {{cite web|last=Smith|first=Walter Fox |title =安培定律之歌
| publisher=[http://www.haverford.edu/physics-astro/songs/ PhysicsSongs.org]
| url =http://www.haverford.edu/physics-astro/songs/ampere.PDF }}

{{电磁学}}
[[Category:电磁学|A]]
[[Category:静磁学|A]]
[[Category:物理定律|A]]
[[Category:基本物理概念|A]]