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'''完备空间'''或者'''完备[[度量空间]]'''是具有下述性质的[[空间 (数学)|空间]]：空间中的任何[[柯西序列]]都收敛在该空间之内。

== 例子 ==
* [[有理数]]空间不是完备的，因为<math>\sqrt{2}</math>的有限位小数表示是一个[[柯西序列]]，但是其极限<math>\sqrt{2}</math>不在有理数空间内。
* [[实数]]空间是完备的
* [[开区间]](0,1)不是完备的。序列(1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ...)是柯西序列但其不收敛於(0, 1)中任何的点。
* 令''S''为任一集合，''S<sup>'''N'''</sup>''为''S''中的所有序列。如下定义''S<sup>'''N'''</sup>''上任意两个序列(''x<sub>n</sub>'')和(''y<sub>n</sub>'')的距离：如果存在某个最小的N，使<math>x_N \neq y_N</math>，那么定义距离为1/N；否则（所有的对应项都相等）距离为0。按此方式定义的度量空间是完备的。该空间[[同胚]]于[[离散空间]]''S''的可数个副本的[[积]]。

== 相关定理 ==
* 任一[[紧致空间|紧致]]度量空间都是完备的。实际上，一个度量空间是紧致的当且仅当该空间是完备且[[完全有界]]的。
* 完备空间的任一子空间是完备的当且仅当它是一个[[闭子集]]。
* 若''X''为一集合，''M''是一个完备度量空间，则所有从''X''映射到''M''的[[有界函数]]''f''的集合B(''X'', ''M'')是一个完备度量空间，其中集合B(''X'', ''M'')中的距离定义为：
: <math>d(f,g) := \sup\left\{\,d(f(x),g(x)) : x\in X \,\right\}</math>。

* 若''X''为一拓扑空间，''M''是一个完备度量空间，则所有从''X''映射到''M''的[[连续]]有界函数''f''的集合C<sub>b</sub>(''X'',''M'')是B(''X'', ''M'')（按上一条目的定义）中的闭子集，因而也是完备的。

* [[贝尔纲定理]]：任一完备度量空间为一[[贝尔空间]]。就是说，该空间的可数个[[无处稠密]]子集的并集无[[内点]]。

== 完备化 ==
=== 定义 ===
对任一度量空间''M''，我们可以构造相应的完备度量空间''M' ''（或者表示为<math>\bar{M}</math>），使得原度量空间成为新的完备度量空间的[[稠密集|稠密子空间]]。''M' ''具备以下[[泛性質|普适性质]]：若''N''为任一完备度量空间，''f''为任一从''M''到''N''的[[一致连续|一致连续函数]]，则存在唯一的从''M' ''到''N''的一致连续函数''f' ''使得该函数为''f''的扩展。新构造的完备度量空间''M' ''在[[等距同构]]意义下由该性质所唯一决定，称为''M''的'''完备化空间'''。

以上定义是基于''M''是''M'''的稠密子空间的概念。我们还可以将'''完备化空间'''定义为包含''M''的最小完备度量空间。可以证明，这样定义的完备化空间存在，唯一（在等距同构意义下），且与上述定义等价。

对於[[交换环]]及於其上的[[模]]，同样可以定义相对於一个[[理想 (环论)|理想]]的完备性及完备化。详见条目[[完备化 (环论)]]。

=== 构造 ===
类似于从有理数域出发定义无理数的方法，我们可以通过[[柯西序列]]给原空间添加元素使其完备。

对''M''中的任意两个柯西序列''x=''(''x''<sub>''n''</sub>)和''y=''(''y''<sub>''n''</sub>)，我们可以定义它们间的[[距离]]：
d(''x'',''y'') = lim<sub>''n''</sub> d(''x''<sub>''n''</sub>,''y''<sub>''n''</sub>)（实数域完备所以该极限存在）。按此方式定义的度量还只是[[伪度量]]，这是因为不同的柯西序列均可收敛到0。但我们可以象很多情况中所做的一样（比如从''L<sup>p</sup>''到<math>\mathcal{L}^p</math>），将新的度量空间定义为所有柯西序列的集合上的[[等价类]]的集合，其中等价类是基于距离为0的[[关系]]（易于验证该关系是[[等价关系]]）。这样，令''ξ<sub>x</sub>'' = {''y''是''M''上的柯西序列：<math>y_n\rightarrow x</math>}，''M' ''={''ξ<sub>x</sub>：x ∈ M''}，原空间''M''就以''x''<math>\rightarrow</math>''ξ<sub>x</sub>''的映射方式[[嵌入(数学)|嵌入]]到新的完备度量空间''M' ''中。易于验证，''M''等距同构于''M' ''的稠密子空间。

[[康托法]]构造实数是该完备化方法的一个特例：实数域是有理数域作为以通常的差的绝对值为距离的度量空间的完备化空间。

=== 性质 ===
[[格奧爾格·康托爾|康托爾]]的[[實數]]建構是上述構造的特例；此時實數集可表為有理數集對絕對值的完備化。倘若在有理數集上另取其它的絕對值，得到的完備空間則為[[p進數]]。

若將上述流程施於[[賦範向量空間]]，可得到一個[[巴拿赫空間]]，原空間是其中的稠密子空間。若施於一個[[內積空間]]，得到的則是[[希爾伯特空間]]，原空間依然是其稠密子空間。

== 相关概念 ==
* 完备与闭：前面讲，完备类似于闭，那么，“完备”与“闭”的区别在何处呢？它们的区别在于，完备是空间或集合的性质，而闭是[[子集]]的性质。通常我们说某个集合是[[闭集]]或[[开集]]，实际上是指该集合是''R<sup>1</sup>''或某个[[拓扑空间]]的[[闭子集]]或[[开子集]]。例如，开区间(0, 1)是[[全集]](0, 1)或<math>(0, 1)\cup(2, 3)</math>的闭子集，因为(0, 1)在这两个全集中的[[导集]]是其自身。但(0, 1)是''R<sup>1</sup>''的开子集。闭子集可以用[[收敛序列]]定义，因为收敛序列的[[极限点]]总是在全集中的，极限点在子集中与否决定该子集是否为闭子集。与此相对，完备性的定义中没有全集的概念，这也是为什么在其定义中必须用[[柯西序列]]而不能用[[收敛序列]]，因为在[[收敛序列]]的定义中必有极限点，若该极限点不在度量空间中，则[[收敛序列]]中的点到该极限点距离是未定义的。

== 参见 ==
* [[数学分析术语]]

== 引用 ==
* {{cite book|title=Functional analysis an introduction|year=2004|publisher=American Mathematical Soc.|location=Providence, RI|isbn=9780821836460|last=Tsolomitis|first=Yuli Eidelman ; Vitali Milman ; Antonis}}
* 张恭庆，林源渠，''泛函分析讲义'' (1987)北京大学出版社，ISBN 978-7-301-00489-0

[[Category:点集拓扑学|W]]
[[Category:数学分析]]
[[Category:度量几何]]