查看“定向 (向量空間)”的源代码

{{Link style|time=2015-12-11T10:08:05+00:00}}
{{NoteTA
|G1=數學
}}
{{dablink|另见[[定向 (几何)]]}}
[[数学]]中，[[实数|实]][[向量空间]]的一个'''定向'''（{{lang|en|Orientation}}）是对哪些有序[[基 (线性代数)|基]]是“正”定向以及哪些是“负”定向的一个选取。在三维[[欧几里得空间]]中，两个可能的基本定向分别称为[[右手法则|右手系]]与左手系。但是定向的选取与基的[[手征性 (数学)|手征性]]是独立的（尽管右手基典型地选为正定向，但它们也可规定为负定向）。

==定义==

设 ''V'' 是一个实向量空间，''b''<sub>1</sub> 和 ''b''<sub>2</sub> 是 ''V'' 的两个有序基。[[线性代数]]中一个标准结论说存在惟一一个[[线性变换]] ''A'' : ''V'' &rarr; ''V''，将 ''b''<sub>1</sub> 变为 ''b''<sub>2</sub>。如果 ''A'' 的[[行列式]]为正，则称基 ''b''<sub>1</sub> 与 ''b''<sub>2</sub> 有相同定向（或一致定向）；不然它们有相反的定向。有相同定向的性质在 ''V'' 的所有有序基上定义了一个[[等价关系]]。如果 ''V'' 非零，恰好存在两个由这个等价关系决定的[[等价类]]。''V'' 上一个'''定向'''是将其中一类置为 +1 而另一类为 -1 的一个规定。

每个有序基在一个等价类之中。故选取 ''V'' 的一个有序基决定了一个定向：选取的这个基的定向类规定为正的。例如：'''R'''<sup>''n''</sup> 上的标准基在 '''R'''<sup>''n''</sup> 上给出了一个'''标准定向'''。''V'' 与 '''R'''<sup>''n''</sup> 之间选取一个线性[[同构]]可给出 ''V'' 的一个定向。

基中元素的顺序是关键。顺序不同的两个基可差某个[[置换]]。它们可能有相同或相反的定向，取决于这个置换的[[符号 (置换)|符号]] &plusmn;1。这是因为[[置换矩阵]]的行列式等于相应置换的符号。

===零维===

上面定义的定向概念对零维向量空间只有一个定向（因为空矩阵的行列式是 1）。但是对一个点规定不同的定向可能是有用的（例如，定向一维流形的边界）。定向的另一个与维数无关的定义如下：''V'' 的一个定向是从 ''V'' 的有序基集合到集合 <math>\{\pm 1\}</math> 的映射，使得在正行列式基变更下不变而在负行列式基变更下给变符号（关于同态 <math>GL_n \to \pm 1</math> 等变）。零维向量空间的有序基有一个元素（空集），从而从这个集合到 <math>\{\pm 1\}</math> 有两个映射。

一个微妙之处在于零维向量空间是自然定向的，所以我们可以谈论一个定向是正的（与典范定向相同）或负的（不同）。一个应用是将[[微积分基本定理]]理解为[[斯托克斯定理]]的一个特例。

对此的两种看法是：
* 零维向量空间是一个点，存在惟一映射从一个点到一个点，所以每个零维向量空间自然与 <math>R^0</math> 等价，从而是定向的。
* 一个向量空间的 0 次外幂是底域 <math>K</math>，在这里是 <math>R^1</math>，它有一个定向（由标准基给出）。

==其它观点==

===多重线性代数===

对任意 ''n''-维实向量空间 ''V''，我们可构造 ''V'' 的 ''k''-次[[外幂]]，记作 &Lambda;<sup>''k''</sup>''V''。这是一个维数为 [[二项式系数|(''n'',''k'')]] 的向量空间。故向量空间 &Lambda;<sup>''n''</sup>''V'' （称为'''最高外幂'''）的维数为 1。即 &Lambda;<sup>''n''</sup>''V'' 就是实直线。这条直线上没有先天的选取哪个方向是正的。一个定向就是这样一个选取。任何非零[[线性形式]] &omega; on &Lambda;<sup>''n''</sup>''V'' 决定了 ''V'' 的一个定向，当  &omega;(''x'') > 0 时规定 ''x'' 是正定向的。为了与基本的看法联系起来，我们说正定向基是那些 &omega; 取正数的（因为 &omega; 是一个 ''n''-形式，我们可在 ''n'' 个向量的有序基上取值，给出 '''R''' 中一个元素）。形式 &omega; 称为一个'''定向形式'''（{{lang|en|orientation form}}）。如果 {''e''<sub>''i''</sub>} 是 ''V'' 先给定的基而 {''e''<sub>''i''</sub><sup>*</sup>} 是[[对偶基]]，则给出标准定向的定向形式是 ''e''<sub>1</sub><sup>*</sup>&and;''e''<sub>2</sub><sup>*</sup>&and;&hellip;&and;''e''<sub>''n''</sub><sup>*</sup>。

这与行列式观点的联系是：一个自同构 <math>T\colon V \to V</math> 的行列式可解释为在最高外幂上的诱导作用。

===李群论===

设 ''B'' 是 ''V'' 的所有有序基集合。则[[一般线性群]] GL(''V'') 自由传递[[群作用|作用]]在 ''B'' 上（花哨的语言，''B'' 是一个 GL(''V'')-[[torsor]]）。这意味着作为一个[[流形]] ''B'' （非典范地）同构于 GL(''V'')。注意到群 GL(''V'') 不是[[连通空间|连通]]的，而有两个[[连通分支]]，对于于变换的行列式的正负号（除了 GL<sub>0</sub>，这是平凡群故只有一个连通分支；这对应于一个零维向量空间的典范定向）。GL(''V'') 的[[单位分支]]记作 GL<sup>+</sup>(''V'')，由所有正行列式的变换组成。GL<sup>+</sup>(''V'') 在 ''B'' 上的作用不是传递的：有两个轨道，分别对应于 ''B'' 的连通分支。这两个轨道恰是上面所说的等价类。因为 ''B'' 没有特定的元素（即一个特别的基），故没有自然选取哪个分支是正的。将其与 GL(''V'') 对比，后者有一个特别的分支：单位分支。''B'' 与 GL(''V'') 之间选取一个特别的同胚等价于选取一个特别的基，从而决定了一个定向。

更形式地：<math>\pi_0(GL(V)) = (GL(V)/GL^+(V) = \{\pm 1\}</math>，<math>V</math> 中 
''n''-标架的[[斯蒂弗尔流形]]（[[:en:Stiefel manifold|Stiefel manifold]]）是一个 <math>GL(V)</math>-[[torsor]]，所以 <math>V_n(V)/GL^+(V)</math> 是 <math>\{\pm 1\}</math> 上一个 [[torsor]]，即它是两个点，选取其中一个便是一个定向。

==流形上的定向==
{{main|可定向性}}
我们也可以讨论[[流形]]上的定向。''n''-维可微流形 ''M'' 上每一点 ''p'' 有一个[[切空间]] ''T''<sub>''p''</sub>''M''，这是一个 ''n''-维实向量空间。每个这样的向量空间可规定一个定向。但是我们想知道是否可以选取定向使得它们从点到点“光滑变化”。由于某些[[拓扑]]限制，当在某些情形是可能的。在切空间上存在一个光滑定向的流形称为'''可定向'''的。关于流形的定向，参见[[可定向性]]一文。

==相关条目==
* [[定向 (幾何)]]
* [[旋转表示 (数学)|旋转表示]]
* [[手征性 (数学)|手征性]]
* [[置换的奇偶性]]
* [[笛卡儿坐标系]]

[[Category:线性代数]]
[[Category:几何学]]