查看“实射影平面”的源代码

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{| class=wikitable align=right
| valign=top width=120|[[File:ProjectivePlaneAsSquare.svg|120px]]<BR>射影平面的[[基本多边形]]。
| valign=top width=120|[[File:MöbiusStripAsSquare.svg|120px]]<BR>[[莫比乌斯带]]只有一条边，将相对开边反向黏合起来便成为闭合的射影平面。 
| valign=top width=120|[[File:KleinBottleAsSquare.svg|120px]]<BR>对照[[克莱因瓶]]，是莫比乌斯带相对开边同向黏合。
|}

在[[数学]]中，'''实[[射影平面]]'''（{{lang|en|real projective plane}}）是'''R'''<sup>3</sup>中所有过[[原点]]直线组成的空间，通常记作<math>\mathbb{R}P^2</math>，无歧义时也记为<math>P^2</math>。这是一个[[可定向性|不可定向]]、[[紧空间|紧致]]、[[边界|无边界]]二维流形（即一个[[曲面]]），它在[[几何]]中有基本的应用，但不能无自交地[[嵌入]]我们通常的三维[[欧几里得空间]]。它的[[亏格]]是1，故[[欧拉示性数]]也为1。

实射影平面有时描述为基于[[莫比乌斯带]]的构造：如果能把莫比乌斯带的（一条）边以恰当的方向黏合，将得到射影平面。等价地，沿着莫比乌斯带的边界黏合一个[[圆盘]]给出射影平面。

由于莫比乌斯带可构造为将[[正方形]]的一组对边反向黏合，从而实射影平面可以表示为单位正方形（[0,1] [[笛卡儿积|×]] [0,1]）将它的边界通过如下[[等价关系]]等同：

:(0, ''y'') ~ (1, 1 − ''y'')  对0 ≤ ''y'' ≤ 1 ,

以及

:(''x'', 0) ~ (1 − ''x'', 1)  对0 ≤ ''x'' ≤ 1,

即如右图所示。因为正方形同构于圆盘，故这也等价于将圆盘边界的对径点黏合。

== 构造 ==
考虑一个[[球面]]，设球面的[[大圆]]（假设地球是一个球形，那么赤道就是大圆）是“直线”，[[对径点]]对是“点”（一对对径点是通过大圆圆心的直线与大圆相交的两个点）。容易验证它们满足[[射影平面]]所需的公理：
*任何两个不同的大圆交于一对对径点；
*任何两个不同的对径点对位于惟一一个大圆上。

这就是'''实射影平面'''。

如果我们将球面上每个点与其对径点等同，则我们得到了实射影平面的一个表示，其中射影空间的“点”确实是点。

射影平面是球面在等价关系~下的商空间，这个等价关系~就是对径关系，即  x ~ y当且仅当y = −x。这个球面的商空间同构于'''R'''<sup>3</sup>中所有通过原点的直线的集合。

所得的曲面是一个2维[[紧空间|紧]][[可定向性|不可定向]]流形，有一点难以想象，因为它不能无自交地嵌入三维[[欧几里得空间]]中。

从球面到实射影平面的商映射事实上是一个（2对1）[[覆盖映射]]。从而实射影平面的[[基本群]]是二阶循环群，即整数模2群。可以取上图中的环路''AB''作为[[生成元]]。

==实射影平面浸入三维空间==
[[File:Steiner's_Roman_Surface.gif|thumb|罗马曲面动画示意图]]
射影平面不能[[嵌入]]（这要求没有自交）三维空间，不过可以[[浸入]]（局部邻域没有自交点）。[[伯伊曲面]]（[[:en:Boy's surface|Boy's surface]]）是浸入的一个实例。

[[罗马曲面]]（[[:en:Roman surface|Roman surface]]）是从射影平面到三维空间一个更加退化的映射，包含一个[[交叉帽]]（[[:en:cross-cap|cross-cap]]）。同样对具有一个交叉套的球面也成立。

射影平面不能嵌入三维欧几里得空间，可作如下证明：假设可以嵌入，由[[若尔当曲线定理|广义若尔当曲线定理]]它将在三维欧几里得空间中围出一个紧区域。向外的单位[[法向量]]场将给出边界流形的一个[[定向 (数学)|定向]]，但边界流形就是射影平面，它是不可定向的。这是一个矛盾，从而我们所假设的嵌入必定是错误的。

实射影平面的一个[[多面體半形]]表示是[[四面半六面體]]。

从相反的方向来看，[[立方體半形]]、[[十二面體半形]]以及[[二十面體半形]]、[[抽象多面體|抽象正则多面體]]（[[:en:abstract polytope|abstract regular polychora]]），都可以构造成射影平面中的正则图形。

==齐次坐标==
平面中的直线集合可以用[[齐次坐标]]表示。直线''ax''+''by''+''c''=0可以表示为[''a'':''b'':''c'']。这些坐标有[[等价关系]]，对所有非零''d''，[''a'':''b'':''c''] = [''da'':''db'':''dc'']。从而相同直线的不同表示''dax''+''dby''+''dc''=0有同样的坐标。坐标集合[''a'':''b'':1]给出了通常[[实平面]]，而坐标集合[''a'':''b'':0]定义了一个[[无穷远直线]]。

==嵌入4维空间 ==
射影平面可嵌入一个4维[[欧几里得空间]]。考虑<math>\mathbb RP^2</math>是2维球面<math>S^2 = \{(x,y,z) \in \mathbb R^3 : x^2+y^2+z^2 = 1\}</math>由对径关系<math>(x,y,z)\sim (-x,-y,-z)\,</math>得到的[[商空间|商]]。考虑由<math>(x,y,z)\longmapsto (xy,xz,y^2-z^2,2yz)</math>给出的函数<math>\mathbb R^3 \to \mathbb R^4</math>。将这个映射限制在区域<math>S^2</math>上，因为它是一个二次多项式，故可分解，给出一个映射<math>\mathbb RP^2 \to \mathbb R^4</math>，并且这个映射是嵌入。注意到这个嵌入有一个到<math>R^3</math>的投影，即[[罗马曲面]]。

==高阶亏格==
[[基本多边形]]一文提供了高阶[[亏格]]实射影平面的一个描述。

==又见==
*[[射影空间]]
*[[蒲不等式|实射影平面的蒲不等式]]（[[蒲保明]]）
== 参考文献 ==
* {{MathWorld|urlname=RealProjectivePlane|title=Real Projective Plane}}
* {{citation|author=尤承业|title=基础拓扑学讲义|publisher=北京大学出版社|year=2004年|id=ISBN 7-301-03103-3}}

[[Category:曲面|S]]
[[Category:几何拓扑学|S]]
[[Category:射影几何|S]]